Дискретка_Экзамен_Ответы / комб / 2 Размещения с повторениями
.docx2.6. Размещения с повторениями
Размещением с повторениями n-элементного множества по k местам называется k-элементная последовательность, состоящая из элементов n-элементного множества М, причём элементы в последовательности могут повторяться. Количество мест может превышать количество элементов в множестве.
Теорема 2.4. Количество всех различных размещений с повторениями n-элементного множества М по k местам равно nk.
Доказательство. Для того чтобы получить одно размещение с повторениями, нужно выполнить одно за другим k действий: заполнить 1-ое место в последовательности, 2-ое место и так до k-го места. Для выполнения каждого действия можно взять любой элемент из множества М и поставить его на соответствующее место, т.е. каждое из k действий можно выполнить n способами. По правилу произведения все k действий могут быть выполнены nn…n=nk способами, следовательно, количество всех различных размещений с повторениями n-элементного множества по k местам равно nk.
Алгоритм 2.4 порождения размещений с повторениями n-эле-ментного множества по k местам.
Вход: i – заполняемое место в последовательности R.
Выход: последовательность всех размещений с повторениями n-эле-ментного множества М по k местам.
Глобальные параметры: М – n-элементное множество;
R – формируемое размещение с повторениями;
n – мощность множества.
k – количество мест.
Размещение с повторениями (i)
xМ
Ri := x
i=k
+
R
Размещение с повторениями (i+1)
Конец
Рис.2.9. Рекурсивный алгоритм порождения размещений с повторениями
n-элементного множества по k местам
Пусть задано множество {1,2,3} и требуется получить все его размещения с повторениями по двум местам.
размещение
(1,1)
2
размещение 3 размещение
(1,?)
(1,2)
4
размещение
(1,3)
1
размещение
(2,1)
6
размещение
5 размещение
7 размещение
(?,?)
(2,?)
(2,2)
8
размещение
(2,3)
9
размещение
(3,1)
10
размещение
11 размещение
(1,?) (3,2)
12
размещение
(3,3)
Рис.2.10. Схема получения всех размещений с повторениями
по алгоритму 2.4