Дискретка_Экзамен_Ответы / графы / 4 Графы

4. ГРАФЫ

4.1. Основные понятия

Первая работа по теории графов принадлежит Л.Эйлеру, и опубликована она была в 1736 г., однако термин “граф” впервые появился в книге венгерского математика Д. Кенига в 1936 г.

Дадим определение графа.

Пусть V - непустое множество, V^{2} - множество всех его двухэлементных подмножеств. Пара (V,E), где ЕV^{2} называется графом (неориентированным графом).

Граф называется конечным, если множество V конечно. В дальнейшем под термином “граф” будем понимать конечные графы.

Элементы множества V называются вершинами графа, а элементы множества Е называются рёбрами графа.

Число вершин графа G=(V,E) называется его порядком.

Исходя из определения графа, каждому ребру соответствует двухэлементное подмножество вершин. Если подмножество {v₁,v₂} соответствует ребру е, то ребро е инцидентно вершинам v₁ и v₂, а вершины v₁ и v₂ смежны. Вершины v₁ и v₂ называются концевыми вершинами ребра е. Два ребра, инцидентные одной вершине, называются смежными. Таким образом, смежность есть отношение между однородными элементами графа, а инцидентность – отношение между разнородными элементами графа.

Множество вершин, смежных с вершиной v, называется множеством смежности вершины v и обозначается Г(v). Если AV, то Г(А) – множество всех вершин, смежных с вершинами из А .

Количество рёбер, инцидентных вершине v, называется степенью вершины v и обозначается d(v). d(v)=|Г(v)|. Если степени всех вершин равны k, то граф называется регулярным степени k .

Граф можно представить графически в виде диаграммы: каждая вершина представляется точкой или окружностью, а каждое ребро представляется линией, соединяющей его концевые вершины.

Граф G=(V,E), V={v₁,v₂,v₃,v₄}, E={{v₁,v₂}, {v₁,v₄}, {v₂,v₃}, {v₂,v₄}, {v₃,v₄}} представлен диаграммой на рис.4.1. Один и тот же граф может быть представлен различными диаграммами, так как расположение вершин не имеет значения. На рис.4.2 представлена другая диаграмма графа G.

v₁ v₂ v₂

v₃ v₄ v₁ v₄ v₃

Рис.4.1. Диаграмма графа G Рис.4.2. Диаграмма графа G

Часто рассматриваются следующие родственные графам объекты.

1. Если элементами множества E являются упорядоченные пары, то граф называется ориентированным (или орграфом). В этом случае элементы множества Е называются дугами. Если дуга (v₁,v₂) E, то вершины v₁ и v₂ называются её началом и концом соответственно. Дуга имеет направление от начала к концу. На диаграмме направление дуги указывается стрелочкой. На рис.4.3 приведён пример диаграммы орграфа. Число дуг, выходящих из вершины, называется полустепенью исхода, а число входящих дуг – полустепенью захода. Орграф называется симметричным, если полустепень исхода каждой вершины равна полустепени захода.

v₁ v₂

v₃ v₄

Рис.4.3. Диаграмма орграфа

2. Если элементом множества E может быть пара одинаковых (не различных) элементов множества V, то такой элемент множества E называется петлёй, а граф называется псевдографом. На рис.4.4 приведён пример диаграммы псевдографа.

v₁ v₂

v₃ v₄

Рис.4.4. Диаграмма псевдографа

3. Если E является мультимножеством, содержащим несколько одинаковых элементов, то эти элементы называются кратными рёбрами, а граф называется мультиграфом. На рис.4.5 приведён пример диаграммы мультиграфа.

v₁ v₂

v₃ v₄

Рис.4.5. Диаграмма мультиграфа

4. Если элементом множества E являются не обязательно двухэлементные, а любые подмножества множества V, то такие элементы множества E называются гиперрёбрами, а граф называется гиперграфом. На диаграмме гиперграфа гиперребро представляет собой замкнутую линию, охватывающую инцидентные гиперребру вершины. Диаграмма гиперграфа GG=(V,E), V={v₁,v₂,v₃,v₄}, E={{v₁,v₂,v₄}, {v₁,v₂}, {v₃,v₄}} представлена на рис.4.6.

v₁ v₂

v₃ v₄

Рис.4.6. Диаграмма гиперграфа

5. Если задана функция F: VM и/или H: EM, то множество М называется множеством весов, а граф называется взвешенным. На диаграмме весами отмечаются вершины и/или рёбра. В качестве весов обычно используются числа или символы. На рис.4.7 приведён пример диаграммы взвешенного графа.

v₁ 10 6 v₂ 20

15

1 4

90 22

v₃ v₄ 30

Рис.4.7. Диаграмма взвешенного графа