Дискретка_Экзамен_Ответы / графы / 4 способы задания графа

4.2. Матричные способы представления графов

Любой граф может быть представлен в матричной форме.

Матрицей смежности графа G=(V,E) называется матрица A порядка nn, где n=|V|. Элемент матрицы смежности а_ij=1, если (v_i,v_j)Е, v_i,v_jV и a_ij=0, если (v_i,v_j)Е. В матрице смежности строки и столбцы соответствуют вершинам графа.

На рис. 4.8 представлены граф в виде диаграммы и его матрица смежности.

а v₁ v₂

v₃ v₄

б

А=

Рис.4.8. Граф в виде диаграммы и матрица смежности:

а – диаграмма графа;

б – матрица смежности

Для неориентированных графов матрица смежности симметрична относительно главной диагонали.

Матрицей инцидентности графа G=(V,E) называется матрица B порядка nm, где n=|V|, m=|E|. Элементы матрицы инцидентности b_ij определяются следующим образом: b_ij=1, если i-я вершина является началом j-й дуги, b_ij=-1, если i-я вершина является концом j-й дуги, b_ij=0, если i-я вершина и j-я дуга не инцидентны.

Для неориентированных графов в матрице инцидентности элементам достаточно присваивать только два символа (1 и 0).

В матрице инцидентности строки соответствуют вершинам графа, а столбцы – рёбрам (дугам).

Для графа, представленного на рис.4.8, матрица инцидентности имеет вид:

В=

На рис.4.9 приведён пример диаграммы орграфа и его матрицы смежности и инцидентности.

а v₁ v₂

v₃

v₅ v₄

б в

А= В=

Рис.4.9. Диаграмма орграфа, матрицы смежности и инцидентности:

а – диаграмма орграфа;

б – матрица смежности;

в – матрица инцидентности

Матрицей дуг (списком дуг) графа G=(V,E) называется матрица С порядка 2m, где m=|E|. Элементы матрицы С определяются следующим образом: с_1k= v_i и с_2k= v_j , если e_k=(v_i,v_j), т.е. если i-я вершина является началом k-й дуги, а j-я вершина является концом k-й дуги.

Для графа, представленного на рис.4.9, матрица дуг имеет вид:

C=

Для представления взвешенного графа c взвешенными дугами вместо единичных элементов матрицы смежности удобно записать веса соответствующих дуг, а веса несуществующих дуг полагать равными . Такая матрица называется матрицей весов. Если граф представлен матрицей инцидентности или матрицей дуг, то задать веса дуг можно m-разрядным вектором (m – количество дуг в графе), в котором i-й элемент определяет вес i-й дуги. Если в графе взвешены вершины, то задать веса вершин можно n-разрядным вектором (n – количество вершин в графе), в котором i-й элемент определяет вес i-й вершины.

Для хранения в памяти ЭВМ матриц смежности, инцидентности, матриц дуг и матриц весов удобно использовать двумерные массивы.