Дискретка_Экзамен_Ответы / мн-ва / 1 Методы доказательства теоретико-множественных тождеств

1.5. Методы доказательства теоретико-множественных тождеств

Равенство, левая и правая части которого представляют собой выражения в алгебре подмножеств, верное для любых входящих в них множеств, называют теоретико-множественным тождеством . Рассмотрим различные методы доказательства теоретико-множественных тождеств.

1.5.1. Метод двух включений

Пусть левая часть теоретико-множественного тождества определяет множество X , а правая часть – множество Y . Чтобы доказать равенство множеств X и Y , достаточно доказать два включения XY и YX , т.е. доказать, что из предположения xX (для произвольного x) следует, что xY , и, наоборот, из предположения xY следует, что xX.

Докажем этим методом тождество:

АВ = (АВ)-(АВ).

Пусть xАВ. Тогда, согласно определению симметрической разности, x(A-B)(B-A). Это означает, что x(A-B) или x(В-А). Если x(A-B), то хА и хВ, т.е. хАB и при этом хАВ. Если же х(В\А), то хВ и хА, откуда хАB и хАВ. Итак, в любом случае из х(А-В)(В-А) следует хАB и хАВ, т.е. и х(АВ)- (АВ). Таким образом, доказано, что

АВ  (АВ)-(АВ).

Покажем обратное включение (АВ)-(АВ)  АВ.

Пусть х(АВ)-(АВ). Тогда хАВ и хАВ. Из хАВ следует, что хА или хВ. Если хА, то с учетом хАВ имеем хВ, и поэтому хА-В. Если же хВ, то опять-таки в силу хАВ получаем, что хА и хВ-А. Итак, хА-В или хВ-А, т.е. х(А-В) (В-А). Следовательно,

(АВ)-(АВ)  АВ.

Оба включения имеют место и тождество доказано.

1.5.2. Метод эквивалентных преобразований

Теоретико-множественные тождества можно доказывать, используя свойства операций над множествами. Для этого нужно преобразовать левую часть в правую, или правую – в левую, или правую и левую часть в некоторое третье выражение.

Докажем этим методом тождество:

(AB)(AC)= A(BC).

Преобразуем левую часть к правой:

(AB)(AC)=((AB)(AC))=(A(BC))()=(A(BC))() ()==(A(BC))( (())=((A(BC)))((A(BC))()) = ((A(BC)) (A())=(A(BC)) (A)=

= A((BC) )= A((BC)-(BC))= A(BC).

1.5.3. Метод характеристических функций

Характеристическая функция _А множества А для хU определяется следующим образом: _А(x)=1, если xA и _А(x)=0, если xA.

Для характеристической функции _А множества А справедливо тождество:

_А²(x)=_А(x).

_АВ(x)= _А(x)_*_В(x).

_АВ(x)= _А(x)+_В(x)-_А(x)_*_В(x).

(х)=1-_А(x).

_А-В(x)= _А(x)-_А(x)_*_В(x),

_АВ(x)= _А(x)+_В(x)-2_*_А(x)_*_В(x).

Докажем этим методом тождество:

(AB)C=(AC)(BC).

C одной стороны,

_(AB)C(х)=_(AB)(х)_*_C(х)=(_A(х)+_В(х)-2_*_A(х)_*_В(х))_*_С(х)=_A(х)_*_С(х)+_В(х)_*_С(х)-2_*_A(х)_*_В(х)_*_С(х).

С другой стороны,

_{(AC)(BC)}(x)=_AC(x)+_BC(x)-2_*_AC(x)_*_BC(x)=_A(x)_*_C(x)+_B(x)_*_C(x)-2_*_A(x)_*_C(x)_*_B(x)_*_C(x)=

=_A(x)_*_C(x)+_B(x)_*_C(x)-2_*_A(x)_*_B(x)_*_C(x).

1.5.4. Метод логических функций

В результате выполнения операций объединения, пересечения, разности, симметрической разности и дополнения из исходных множеств получаем новые множества, которые определяются следующим образом (см. п.1.3.“Операции над множествами“):

АВ = {x | xA или xB}

АВ = {x | xA и xB}

А-В = {x | xA и xB}

АВ = {x | xA и xB или xВ и xА}

= {x | xА}

Из этих определений с учётом того, что xА = не xA , следует справедливость следующих равенств:

xАВ = xA или xB

xАВ = xA и xB

xА-В = xA и не xB

xАВ = xA и не xB или xВ и не xА

x = не xА

Если полученные функции имеют одну и туже таблицу истинности, то тождество верно.

Докажем этим методом тождество:

(AB)C=(AC)(BC).

Для левой части,

x((AB)C) = x(AB) и xC = (xA и не xB или xВ и не xА) и xC

Для правой части,

x(AC)(BC) = x AC и не xBC или xВC и не xAC =

= xA и xС и не (xВ и xС) или xВ и xС и не (xA и xB)

Логические функции для левой и правой части тождества получены и их таблицы истинности (табл.1.2) совпадают, следовательно, тождество верно.

Таблица 1.2

Таблица истинности

XА	xВ	xС	Левая часть	Правая часть
0	0	0	0	0
0	0	1	0	0
0	1	0	0	0
0	1	1	1	1
1	0	0	0	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	0
1	1	1	0	0

1.5.5. Теоретико-множественный метод

Этот метод основан на вычислении теоретико-множественного тождества при определённых значениях входящих в него множеств, и, если при этих значениях множеств теоретико-множественное тождество истинно, то оно истинно и при любых других значениях входящих в него множеств.

Пусть теоретико-множественное тождество содержит n исходных множеств А₁,А₂, … ,А_n и каждая пара множеств находится в общем положении. Тогда универсум разбивается на множество В={В₁,В₂, … ,В_m} попарно-непересекающихся подмножеств. Каждому подмножеству В_j можно поставить в соответствие n-разрядный двоичный вектор, в котором i-ый разряд равен 1, если хотя бы один элемент множества А_i принадлежит подмножеству В_j , иначе i-ый разряд равен 0. Следовательно, количество m подмножеств, на которые разбивается универсум, равно количеству двоичных n-разрядных векторов, т.е. m=2ⁿ .

Определим множество А_i как множество, содержащее в себе в качестве элементов элементы множества В, объединение которых равно множеству А_i . Элемент В_jB будет принадлежать множеству А_i, если двоичный код числа j содержит единицу в i-ом разряде. Обозначим множество B_j натуральным числом j , тогда множество А_i будет представлять собой конечное множество натуральных чисел. Таким образом определим значения множеств А₁,А₂, … ,А_n и подставим их в левую и правую части тождества вместо исходных множеств А₁,А₂, … ,А_n . Вычислим множества, определяемые левой и правой частью тождества, и, если эти множества окажутся равными, то тождество верно.

Докажем этим методом тождество:

(AB)C=(AC)(BC).

Тождество содержит три исходных множества А, В и С, которые, в общем случае, разбивают универсум на 2³ подмножеств, соответствующих 3-х разрядным двоичным векторам. В таблице 1.3 представлены двоичные вектора и соответствующие им номера подмножеств.

Находим значения множеств А, В и С.

Просматривая столбец таблицы 1.3, соответствующий множеству А, обнаруживаем единицы в строках, соответствующих подмножествам 1, 3, 5 и 7, т.е. А={1,3,5,7}. Аналогичным образом определяем значения множеств В и С: В={2,3,6,7}, С={4,5,6,7}.

Таблица 1.3

Разбиение универсума множествами А, В и С на подмножества

Исходные множества				Номер Подмножества
С	В	А
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	2
0	1	1	3
1	0	0	4
1	0	1	5
1	1	0	6
1	1	1	7

Разбиение универсума множествами А, В и С на подмножества показано на рис.1.2 с помощью кругов Эйлера.

А 1 3 2 В

5 7 6

0

4 С

Рис.1.2. Разбиение универсума множествами А, В и С

на подмножества

Далее в левую и правую части тождества вместо исходных множеств А, В и С подставляем значения множеств А, В и С:

левая часть

(AB)C=({1,3,5,7}{2,3,6,7}){4,5,6,7}= {1,5,2,6}{4,5,6,7}={5,6}

правая часть

(AC)(BC)= ({1,3,5,7}{4,5,6,7})({2,3,6,7}{4,5,6,7})={5,7}{6,7}={5,6}

Значения левой и правой части совпадают, следовательно, тождество верно.