§5. Вращение тела вокруг неподвижной оси

Пусть за бесконечно малый промежуток времени твердое тело повернулось вокруг осина угол(см. рис. 1.4). Вектор радиуса вращения обозначим, радиус–вектор точки––, а перемещение некоторой точкитвердого тела –.

Вектором угла поворота называется вектор, направленный по оси вращения, а его величина равна углу поворота, измеренного в радианах.Направление вектора определяют по правилу буравчика. Вращаем буравчик по направлению вращения тела при этом направление его поступательного движение укажет направление вектора угла поворота .

Из рис. 1.4 видно, что величина бесконечно малого перемещения и угол поворотасвязаны соотношением

. (1.25)

Справедливо также и векторное равенство:

. (1.26)

Для характеристики быстроты изменения угла поворота вводят понятие вектора угловой скорости. Угловая скорость есть производная от угла поворота по времени:

. (1.27)

Вектор угловой скорости направлен по оси вращения, его направление совпадает с направлением вектора бесконечно малого поворота .

Вектор углового ускорения характеризует быстроту изменения вектора угловой скорости, и находится как производная от вектора угловой скорости по времени:

. (1.28)

Направление вектора совпадает с направлением вектора бесконечно малого изменения угловой скорости.При ускоренном характере вращения тела направление вектора углового ускорение совпадает с направлением векторов бесконечно малого угла поворота и угловой скорости, при замедленном характере вращения вектор углового ускорения направлен против вектора угловой скорости.

Уравнением вращения тела вокруг неподвижной оси является зависимость вектора угла поворота от времени:

.

При решении задач используется проекция этого равенства на ось вращения (ось OZ). Ось OZ направляют по вектору угла поворота.

Примеры уравнений вращения тела вокруг неподвижной оси

Равномерное вращение тела ():

, (1.29)

где величина угла поворота в начальный момент времени,величина вектора угловой скорости.

Вращением с постоянным угловым ускорением ():

, (1.30)

где проекция вектора углового ускорения на ось OZ.

§6. Связь между линейными и угловыми величинами

Модуль вектора перемещения и изменение угла поворотасвязаны соотношением:

, (1.31)

где радиус–вектор точки,ее радиус вращения (см. рис. 1.4).

Вектор линейной скорости и вектор угловой скоростисвязаны векторным равенством:

. (1.32)

В скалярном виде справедливо равенство:

. (1.33)

Для вектора полного ускорения справедливы соотношения (1.20)–(1.23), и, кроме того, имеем следующее векторное равенство:

, (1.34)

где вектор тангенциального ускорения,вектор нормального ускорения.

Проекции вектора на ортыи(см. рис. 1.3) равны:

, . (1.35)

Модуль полного ускорения равен:

. (1.36)

§7. Плоское движение твердого тела

Плоское движение – такое движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях неподвижных в некоторой системе отсчета. Примером плоского движения служит качение цилиндра по плоскости. Такое движение твердого тела можно представить как результат сложения двух движений, поступательного и вращательного. Выберем две системы отсчета и(см. рис. 1.5). Пусть система, связанная жестко с точкойтвердого тела движется поступательно относительно системы(см. рис 1.5). При плоском движении тела его положение в процессе движения определяется положением такого сечения тела, которое лежит в плоскости траекториинекоторой точки.

Положение сечения в системе отсчетаопределяется радиус–векторомпроизвольной ее точкии угломмежду осьюи векторомточки. Заметим, что для абсолютно твердого тела модуль векторане зависит от времени (векторможет только вращаться). Поэтому движение рассматриваемого сеченияв системеописывается уравнениями:

. (1.37)

Для точки рассматриваемого сечения векторыив системах отсчетаисвязаны соотношением:

_, (1.38)

и для бесконечно малых перемещений имеем равенство:

, (1.39)

гдеперемещение точкив системе,перемещение точкив системе,перемещение начала отсчета (точка) системыотносительно.

Скорость точки в системе отсчетаи угловая скорость ее в системесвязаны соотношением:

. (1.40)

Из (1.40) видно, что скорость любой точки рассматриваемого сечения складывается из скорости поступательного движения произвольной точкиэтого сечения и линейной скорости, обусловленной вращением векторавокруг точки.

Очевидно, что векторы илежат в плоскости сечения. Следовательно, можно найти такую точку(не обязательно принадлежащую данному телу), линейная скорость которой в системеравна нулю. Это достигается тогда, когда(см. рис. 1.6). Ось, перпендикулярная сечениюи проходящая через точку, называют мгновенной осью вращения. В этом случае плоское движение тела сводится к чисто вращательному движению вокруг мгновенной оси.