Работа 3. Цепь переменного синусоидального тока с последовательным соединением катушки и конденсатора. Резонанс напряжений.

Цель работы: изучить явления, происходящие в неразветвленных цепях переменного синусоидального тока при изменении соотношений величин индуктивности и емкости; ознакомиться с явлением резонанса напряжений.

Пояснения к работе

Рассмотрим процессы в цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора (рис. 3.1).

PV_C

Рис.3.1. Схема цепи с последовательным соединением

катушки и конденсатора

Реальная катушка обладает индуктивным сопротивлениемx_L=Lи активным сопротивлениемr = ,где–угловая частота переменного тока, L–индуктивность катушки,– удельное электрическое сопротивление провода катушки,l– длина провода,S – площадь поперечного сечения провода. При прохождении тока через катушку, электрическая энергия расходуется на нагревание провода катушки. Скорость преобразования электрической энергии в тепловую учитывается с помощью величины, называемой активной мощностьюP = rI².Измерив ток и активную мощность катушки, можно вычислить активное сопротивление катушки .Его можно определить также, пропуская через катушку постоянный ток. В цепи постоянного тока катушка обладает только активным сопротивлением, так как угловая частота=2=0иx_L = L=0.Поэтому ,гдеU–постоянное напряжение, приложенное к катушке, а I– сила постоянного тока, протекающего через катушку.

Эквивалентная схема замещения катушки может быть представлена в виде последовательного соединения резистивного и индуктивного идеальных элементов (рис. 3.2).

в

U_ак

Рис.3.2. Эквивалентная схема замещения катушки

Напряжение на катушкеU_кможно разложить на две составляющие – активнуюU_аки индуктивнуюU_LВекторная диаграмма напряжений и тока для катушки приведена на рис. 3.3.

Напряжение U_к можно измерить на выводах катушки с помощью вольтметра, токI– с помощью амперметра. Угол сдвига фаз между током и напряжением катушки_кможно определить из формулыP_к = U_к I cos_к,если измерить с помощью ваттметра активную мощность катушкиP_к.Составляющие напряженияU_к,U_LиU_акможно вычислить из треугольника напряжений ОАВ (рис.3.3):U_ак=U_кcos_к или определить графически, опустив перпендикуляр из конца вектораU_к(точка А на рис. 3.3) на линию вектораI.

А

Рис.3.3. Векторная диаграмма напряжения и тока для катушки

Конденсатор в цепи переменного тока обладает емкостным сопротивлением ,гдеC– емкость конденсатора. Следует указать, что в конденсаторе также имеются активные потери энергии в диэлектрике. Однако величина этих потерь настолько мала, что ими можно пренебречь. На схеме замещения конденсатор можно представит в виде идеального емкостного элемента с параметромС,равным емкости конденсатора.

Последовательное соединение катушки и конденсатора изображено в виде схемы замещения на рис. 3.4.

U

U_ак

U_L

U_C

Рис.3.4. Схема замещения цепи с последовательным

соединением катушки и коденсатора

При подключении такой цепи под напряжениеUв ней возникает токI.

Вектор активной составляющей напряжений на катушке будет совпадать по направлению с вектором тока İ(рис.3.5), так как соответствующие синусоиды мгновенных значений совпадают по фазе:

i = I_msint и U = i r =I_m r sint. (3.1)

Вектор индуктивного напряжения =İх_Lопережает по фазе вектор токаİна (рис. 3.6), так как синусоида напряженияU_Lна индуктивности опережает по фазе синусоиду тока i на .

U_L = L= I_mt sin(t + 90˚). (3.2)

Вектор емкостного напряжения =İх_Cотстает по фазе от вектора токаİна (рис. 3.7), так как синусоида напряжения на емкости при нулевых начальных условиях отстает от синусоиды токаi на .

. (3.3)

İ

Рис.3.5. Векторная диаграмма напряжения и тока

при активной нагрузке цепи.

İ

Рис. 3.6. Векторная диаграмма напряжения и тока

при индуктивной нагрузке цепи

Рис. 3.7. Векторная диаграмма напряжения и тока

при емкостной нагрузке цепи

Для рассматриваемой цепи уравнений по второму закону Кирхгофа имеет следующий вид:

, (3.4)

где

Согласно уравнению (3.4) и рис.3.5 – 3.7, векторная диаграмма напряжений цепи (рис.3.4) будет иметь вид, показанный на рис. 3.8, где вектор совпадает по фазе с вектором İ, а вектор опережает по фазе на 90˚ вектор тока İ.Сумма векторов и дает вектор напряжения катушки:

,

Опережающий по фазе ток на угол_к.

Вектор отстает по фазе на 90˚от вектора тока İ.Сумма векторов _,,дает вектор напряжения сети ,опережающий ток по фазе на угол.

Разделив и умножив стороны треугольника (рис.3.8) на величину тока İ,получим подобные треугольники сопротивлений и мощностей (рис.3.9, 3.10).

Из треугольника сопротивлений (см. рис.3.9) найдем полное сопротивлениеZиcosцепи

Z=. (3.5)

cos = . (3.6)

Рис. 3.8. Векторная диаграмма тока и напряжений

для цепи с последовательным соединением

элементов r, L, C при x_L>x_C

X_L

X_L-X_C

φ

Рис. 3.9. Треугольник сопротивлений для цепи с последовательным

соединением элементов r, L, C.

Из векторной диаграммы напряжений (см.рис.3.8) получим формулу токаI,которая является выражением закон Ома для последовательной цепи переменного тока:

. (3.7)

Из диаграммы мощностей (рис.3.10) получим соотношение между полнойS,активнойPи реактивнымиQ_LиQ_cмощностями

. (3.8)

Q_C=I²X_C

Q_L=I²X_L

Рис. 3.10. Треугольник мощностей для цепи с последовательным

соединением элементов r, L, C.

Изменяя величину емкости в цепи, можно изменять соотношение между емкостными и индуктивными сопротивлениями и напряжениями:

и U_L=I ω L

и получать различные значения угла сдвигаφмежду вектором токаİи вектора напряжения сети согласно уравнению (3.6). Если величинаL>имеем:ωL>иU_L>U_C,т.е. в цепи преобладает индуктивное сопротивлениеx_Lинапряжение ,поэтому вектор токаİотстает по фазе от вектора напряжение сетина уголφ(см.рис. 3.8).

ЕслиL<,наоборот, преобладает емкостное сопротивлениеx_Cи напряжение ,поэтому вектор токаİопережает по фазе вектор напряжения сети (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Векторная диаграмма тока и напряжений

для цепи с последовательным соединением

элементов r, L, C при x_L<x_C

При величине индуктивности

(3.9)

индуктивное сопротивление будет равно емкостному:

(3.10)

а, следовательно, будут равны между собою индуктивное и емкостное напряжения (рис. 3.12).

Ix_L=Ix_С ; U_L=U_C. (3.11)

Мы получим резонанс напряжения, т.е. полную взаимную компенсацию индуктивного и емкостного напряжений:

При резонансе напряжений угол сдвигаφ=0,следовательно:

cos φ=1 (3.12)

Вектор напряжения (рис. 3.12).

Полное сопротивление цепи при резонансе z_резпринимает минимальное значениеz_рез= r,так какx_L-x_C=0,а,следовательно, ток при резонансеI_рези активная мощность принимают максимальные значения:

,

(3.13)

φ_к

φ=0

Рис. 3.12. Векторная диаграмма тока и напряжений

при резонансе напряжений (x_L= x_C)

Реактивная мощность равна нулю

Q = I(U_L-U_C)= 0; Q_L-Q_C=0. (3.14)

ИндуктивноеU_Lи емкостноеU_Cнапряжения враз больше напряжения сетиU:

Поэтому резонанс напряжений может оказаться опасным для установки. При испытании таких цепей требуется особая осторожность. Явление резонанса напряжений, т.е. взаимной компенсации реактивных напряжений (U_L-U_C= 0),а последовательно, и реактивных мощностей (Q_L-Q_C)объясняется тем, что мгновенные значения напряжений на индуктивности U_Lи на емкостиU_Cв любой момент времени равны и имеют противоположные знаки. Отсюда следует, что если, например, индуктивность берет энергию из сети для создания магнитного поля, то в этот момент конденсатор, разряжаясь, отдает энергию в сеть.

Происходит взаимная компенсация энергии, потребляемой ими из сети.

Таким образом, при резонансе полная энергия, потребляемая из сети, расходуется только на нагревание резисторного элемента цепи.

Кривые зависимости Zсопротивления цепи от величины емкостиСпоказаны на рис. 3.13. При величина Zминимальна и равнаZ_рез= r.

На рис. 3.13 показана также кривая зависимости токаIиcosφот величины емкости C.ПриC= C_резтокIимеет максимальное значение,при всех других значениях емкости

cosφ

С

Рис. 3.13. Графика зависимости полного сопротивления цепи Z

тока I и коэффициента мощности cosφ от емкости,

(при L= const)

Из выражения (3.10) видно, что резонанс напряжений в цепи может быть получен изменением индуктивности Lили емкостиCпри неизменной частоте сетиf или изменением частоты сети при заданных постоянныхLиC.

Построение векторных диаграмм.

При последовательном соединении элементов цепи через каждый из них протекаетодин и тот же токI.Поэтому при построении векторных диаграмм для таких цепей вектор тока принимается за базовый (исходный). Векторные диаграммы строят циркулем методом засечек по известным из опыта напряжениям: U_a– на зажимах резистора,U_к– на зажимах катушки,U_с– на зажимах конденсатора иU– на зажимах всей цепи. Все величины на диаграммах изображаются в масштабе.

В качестве примера рассмотрим построение векторной диаграммы для цепи с последовательным соединением резистора (реостата) и катушки. Напряжение на резистореU_a, совпадающее по фазе с токомI,откладывают в масштабе по линии тока. Из конца вектора радиусом, равным напряжению на катушке U_к,делают первую засечку. Вторая засечка делается радиусом, равным общему напряжению цепиUиз начала вектора .В точке пересечения засечек будут находиться концы векторов и (рис. 3.14.а). Активную и индуктивную составляющую напряжений на катушке и определяют, опуская перпендикуляр на ось вектора токаİиз конца вектора .

Векторная диаграмма для цепи с последовательным соединением катушки и конденсатора, строится аналогично и приведена на рис. 3.14.б.

İ

а б

Рис. 3.14. Построение векторных диаграмм методом засечек.

Рис. 3.15. Схема соединений электрической цепи с последовательным

включением катушки и батареи конденсаторов.

Порядок выполнения работы.

1. Собрать электрическую цепь по схеме рис. 3.15.

2. Произвести исследование явления резонанса напряжений по следующей методике.

Изменяя величину емкости включением тумблеров, установить емкость С₀,при которой ток в цепиIи активная мощностьPимеют максимальные значения (явление близкое к резонансу напряжений). Произвести измерения напряжения Uв цепи, напряжения на катушкеU_к,напряжения на конденсатореU_с,токаIв цепи и мощности P.Изменяя затем емкость ступенями на 1 – 2 мкф, произвести измерения для 3 – 4 точек при емкостях, меньших С₀,и для3 – 4 точек при емкостях, больших С₀.

3. Результаты измерений для каждой установленной величины емкости занести в табл.3.1.

Таблица 3.1

№ п/п

Измерено

Вычислено

U, В

UК, В

UС, В

I, В

r, Ом

Z, Ом

P, Вт

X, Ом

cosφ

ХC, Ом

С, мкФ

ZК, Ом

XL, Ом

L, мГн

cosφк

1 2 …

4. По данным опытов вычислить величины, указанные в табл. 3.1 (полное сопротивление цепиZ, активное сопротивление r,реактивное сопротивление x,коэффициент мощности цепиcosφ,емкостное сопротивлениеx_C,емкостьC,полное сопротивление катушкиz_к,индуктивное сопротивление катушкиz_L,индуктивность катушкиL,коэффициент мощностиcosφ_к).

Формулы для вычислений

; ;;;

; ; ;

;

5. По данным табл. 3.1 построить кривыеI=f₁(C), cosφ=f₂(С); z=f₃(С).

6. Построить векторные диаграммы тока и напряжений для трех отсчетов: приx_L>x_C,при максимальном значении тока в цепи(x_L≈x_C),приx_L<x_C.

Контрольные вопросы:

1. Что называется индуктивным и емкостным сопротивлением и от чего они зависят?

2. Как вычисляется полное сопротивление неразветвленной цепи переменного тока?

3. Как вычисляется действующее значение тока в цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и емкостного элементов?

4. Что такое коэффициент мощности цепи переменного тока и почему нужно стремиться к его повышению при потреблении электрической энергии?

5. При каком условии возникает резонанс напряжений в цепи переменного синусоидального тока? Чем характеризуется это явление?

6. Объясните, какую опасность может представлять резонанс напряжений в электрических цепях?

7. Каким должно быть соотношение индуктивного и емкостного сопротивлений, чтобы ток в цепи опережал напряжение? Поясните это при помощи векторной диаграммы.

8. Н

   

   

   ачертите схему замещения цепи, для которой изображена векторная диаграмма.

İ

Что нужно дополнительно включить в эту цепь, чтобы получить в ней резонанс напряжений?

9. В цепи переменного тока частотой f=50 Гц с последовательно включенными катушкой и конденсатором имеет место резонанс. Определить напряжение на катушке и конденсаторе, если U=20В, r=10Ом, c=1мкФ. Вычислить индуктивность катушки.