алгем теория

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :

16. Общее уравнение плоскости.

17. Уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости проходящей через 3 точки.

21

18. Общее уравнение прямой в пространстве. Уравнение прямой проходящей через 2 точки.

19. Каноническое и параметрическое уравнение прямой в пространстве.

22

24

21. Пересечение прямой и плоскости.

22.Уравнение прямой проходящей через 2 точки на плоскости. Каноническое и параметрическое уравнение прямой на плоскости.

25

23. Уравнение прямой с угловым коэф. Взаимное расположение прямой на плоскости.

Теорема. Пусть

и

– общие уравнения двух прямых на координатной плоскости Оху. Тогда

1)если , то прямые и совпадают;

2)если , то прямые и параллельные;

3)если , то прямые пересекаются.

Доказательство. Условие равносильно коллинеарности нормальных векторов данных прямых:

26

. Поэтому, если , то и прямые пересекаются.

Если же , то , , и уравнение прямой принимает вид:

или , т.е. прямые совпадают. Заметим, что коэффициент пропорциональности , иначе все коэффициенты общего уравнения были бы равны нулю, что невозможно.

Если же прямые не совпадают и не пересекаются, то остается случай , т.е. прямые параллельны.

Теорема доказана.

Заметим, что если прямые пересекаются, то для нахождения координат их точки пересечения достаточно решить систему двух уравнений с двумя неизвестными:

. (4)

Следствие. Пусть – определитель системы (4). Если , то прямые пересекаются в одной точке и система (4) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера:

где , .

Если , то прямые или параллельны и тогда система (4) не имеет решений, или прямые совпадают

итогда система (4) имеет бесконечно много решений.

Доказательство. По определению определителя второго порядка

.

Если , то и , т.е. прямые пересекаются и координаты точки пересечения можно найти по формулам Крамера (5).

Если же , то и , т.е. либо прямые параллельны и тогда система не может иметь ни одного решения, либо прямые совпадают и тогда система (4) состоит из одного уравнения и решениями такой системы являются координаты любой точки, лежащей на прямой, а их бесконечно много.

следствие доказано.

27

Пример. Выяснить взаимное расположение двух прямых

и и если они пересекаются, найти их точку пересечения.

Решение. Решим систему

.

Определитель системы

,

следовательно прямые пересекаются. Вычисляем координаты точки пересечения:

, ,

, .

Ответ. Прямые пересекаются в точке .

24. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от прямой до плоскости.

В векторной форме уравнение плоскости имеет вид

, .

Если нормальный вектор плоскости – единичный,

, ,

тогда уравнение плоскости можно записать в виде

(нормальное уравнение плоскости).

– расстояние от начала координат до плоскости, , , – направляющие косинусы нормали

, , ,

28

где – углы между нормалью плоскости и осями координат соответственно.

Общее уравнение плоскости (8) может быть приведено к нормальному виду умножением на нормирующий множитель , знак перед дробью противоположен знаку

свободного члена в (8).

Расстояние от точки до плоскости (8) находится по формуле, полученной подстановкой точки в нормальное уравнение

Решение. Вектор имеет вид . По формуле (6) составим общее уравнение искомой плоскости

.

Найдем нормирующий множитель

.

Умножая уравнение плоскости почленно на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение плоскости

,

где коэффициенты при – соответствующие направляющие косинусы нормали, расстояние от начала координат до плоскости .

Ответ: общее уравнение плоскости: ; нормальное уравнение:

.

Пример 17. Даны точки , , . Найти расстояние от точки до плоскости .

Решение. Составим уравнение плоскости

,

29

.

Расстояние от до плоскости

.

Ответ: расстояние от до плоскости ед. длины.

25. Кривые второго порядка. Окружность.

30