- •1. МНОЖЕСТВА
- •1.1. Отношения между множествами
- •1.2. Разбиения множеств
- •1.3. Произведение множеств
- •1.4. Отображения
- •1.5. Ответы, указания, решения к разделу 1
- •2. КОМБИНАТОРИКА
- •2.1. Задачи
- •2.2 Ответы, указания, решения к разделу 2
- •3. МАТЕМ. АТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА
- •3.1. Основные равносильности.
- •3.2. Высказывания
- •3.3. Ответы, указания, решения к разделу 3.2
- •3.4. Предикаты
- •3.5. Ответы, указания, решения к разделу 3.4.
- •4. КОДИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ
- •Ответы, указания, решения к разделу 4
- •5. ГРАФЫ
- •Ответы, указания, решения к разделу 5
- •Библиографический список
36
Ответ. 97072 + 7843 = 104915, или 97073 + 7842 = 104915.
5.ГРАФЫ
№5.1. Доказать, что, если число ребер графа с n вершинами больше Сn2 , то он связный..
№5.2. Доказать, что не существует графа, степени всех вершин которого попарно различны..
№5.3. Найти все попарно неизоморфные графы с четырьмя вершинами и тремя ребрами.
№5.4. Установить какие из графов рис. 35 изоморфны.
|
|
● |
|
● |
|
● |
● |
|
|
|
||||||||||
|
● |
|
|
|
● |
● |
|
|
|
● |
|
|
|
|||||||
|
● |
|
|
● |
● |
|
|
● |
|
|
|
|||||||||
|
● |
|
|
● |
● |
|
|
● |
|
|
|
|||||||||
|
|
● |
|
● |
|
|
|
● |
|
|
● |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
G1 |
|
|
|
|
G2 |
|
|
|
||||||||
|
● |
|
|
|
|
|
● |
|
|
● |
|
|
● |
● |
||||||
● |
● ● ● ● ● |
● ● |
|
|
|
|
● ● |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
● |
|
|
|
|
|
● |
|
|
|
● |
|
|
● |
● |
|||||
|
|
|
|
|
G3 |
|
|
|
|
|
|
G4 |
|
|
|
Рис. 35. Разновидности графов
№ 5.5. Дополнением графа G называется граф G , который содержит те же вершины, что и граф G, и имеющий те и только те ребра, которые необходимо добавить графу G, чтобы он стал полным.
Приведите пример графа с 4-мя вершинами, изоморфного своему дополнению (самодополнительного). Доказать, что число вершин самодополнительного графа равно 4к или 4к + 1.
№ 5.6. По заданной матрице смежности (проверить!) построить граф или орграф. Составьте матрицу инцидентности.
37
|
0111111 |
|
0110110 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
1001110 |
|
10001101 |
|||
|
1010000 |
|
|
|
0110011 |
|
1) |
|
|
2) |
|
|
|
1100101 |
0110101 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1110100 |
|
|
110100 0 |
|
|
|
1100000 |
|
1010100 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0111000 |
|
|
1001001 |
|
|
|
|
|
00 11 0 1 1 |
|
|
0 11 0 11 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 0 11 0 11 |
|
|
01 1 0 0 0 0 |
|
|
1 0 0 1 0 11 |
|
|
3) |
|
11 0 0 1 11 |
|
4) |
||
|
|
|
|
|||
|
0 1 0 0 0 11 |
|
0 11 0 0 1 0 |
|||
|
|
0 0 1 1 0 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 0 0 0 1 |
|
|
|
1 1 1 0 0 10 |
|
1 1 11 0 0 0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 0 1 0 1 0 |
|
|
0 1 1 0 1 0 0 |
|
№5.7. В каждой строке матрицы смежности одинаковое нечетное число ненулевых элементов. Доказать, что число вершин графа четно.
№5.8. Найти кратчайший путь Хо-Х9 для взвешенного графа.
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х0 |
Х1 |
|
Х2 |
|
Х3 |
|
Х4 |
|
Х5 |
|
Х6 |
|
Х7 |
|
Х8 |
|
|
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
Х0 |
|
4 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х1 |
4 |
|
5 |
|
|
9 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х2 |
7 |
5 |
|
|
|
|
|
|
12 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х4 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х5 |
|
3 |
12 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Х6 |
|
|
8 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Х7 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х0 |
|
Х1 |
|
Х2 |
|
Х3 |
|
Х4 |
|
Х5 |
|
|
Х6 |
|
|
Х7 |
Х8 |
Х9 |
||
|
|
|
|
Х0 |
|
|
|
41 |
|
71 |
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х1 |
|
41 |
|
|
|
51 |
|
|
|
91 |
|
31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
|
71 |
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
121 |
|
|
81 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х3 |
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х4 |
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х5 |
|
|
|
31 |
|
121 |
|
|
|
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151 |
|
|
|
|
Х6 |
|
|
|
|
|
81 |
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
75 |
|
|
|
|
Х7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
|
|
Х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
|
|
61 |
|
|
|
|
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
151 |
|
|
75 |
|
|
71 |
|
61 |
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х0 |
|
Х1 |
|
Х2 |
|
Х3 |
|
Х4 |
|
Х5 |
|
|
Х6 |
|
|
Х7 |
|
Х8 |
|
Х9 |
|
|
|
|
Х0 |
|
|
|
24 |
|
27 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х1 |
|
24 |
|
|
|
25 |
|
|
|
29 |
|
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
|
27 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
122 |
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х3 |
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х4 |
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х5 |
|
|
|
23 |
|
122 |
|
33 |
|
26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
Х6 |
|
|
|
|
|
28 |
|
101 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
152 |
|
|
|
|
Х7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
112 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
Х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
|
|
|
|
|
26 |
|
|
|
|
|
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
152 |
|
27 |
|
26 |
|
|
г)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х0 |
Х1 |
Х2 |
|
Х3 |
Х4 |
Х5 |
Х6 |
Х7 |
Х8 9 |
||
|
|
|
Х0 |
|
|
34 |
73 |
|
35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х1 |
|
34 |
|
35 |
|
|
|
39 |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
|
73 |
35 |
|
|
|
|
|
12 |
38 |
|
|
|
|
|
|
Х3 |
|
35 |
|
|
|
|
|
20 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
Х4 |
|
|
39 |
|
|
20 |
|
36 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
Х5 |
|
|
33 |
12 |
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х6 |
|
|
|
38 |
|
10 |
|
|
|
|
39 |
15 |
|
|
|
|
Х7 |
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
37 |
|
|
|
Х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
36 |
|
|
|
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
37 |
36 |
|
д) |
|
|
|
|
Х0 |
Х1 |
Х2 |
|
Х3 |
Х4 |
Х5 |
Х6 |
Х7 |
Х8 |
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Х0 |
|
|
44 |
74 |
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х1 |
|
44 |
|
54 |
|
|
|
91 |
34 |
|
|
|
|
|
|
|
Х2 |
|
7 |
5 |
|
|
22 |
|
42 |
84 |
|
|
|
|
|
|
|
Х3 |
|
54 |
|
22 |
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
|
|
|
Х4 |
|
|
94 |
|
|
|
|
|
64 |
|
41 |
|
|
|
|
|
Х5 |
|
|
34 |
42 |
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х6 |
|
|
|
84 |
|
40 |
|
|
|
|
94 |
45 |
|
|
|
|
Х7 |
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
74 |
|
|
|
Х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
94 |
|
|
64 |
|
|
|
Х9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
74 |
64 |
|
е) |
|
25 |
|
|
|
|
|
Х0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Х0 • |
|
• |
|
|
ж) |
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
5 |
|
10 |
|
|
|
3 |
|
6 |
10 |
10 |
|
|
|
|
|
• |
|
• |
|
|
|
|
• |
|
• |
|
• |
• |
|
|
|
|
|
5 |
10 |
|
15 |
|
|
2 |
|
5 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
15 |
7 9 |
• |
|
9 |
6 3 8 4 5 11 |
|
|
|
|
||||||
|
• |
• |
|
|
|
|
• |
|
• |
|
• |
• |
|
|
|
|
|
10 |
20 |
10 |
18 |
|
|
5 |
|
7 |
5 |
9 |
|
|
|
|
|
|
• |
|
• |
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
Х9 |
|
|
|
|
|
|
Х9 |
|
|
|
|
|
Рис. 36. Графы для задачи 5.8 № 5.9. Найти остовное дерево наименьшего веса для графа, заданного матрицей
|
Х0 |
Х1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
Х5 |
Х6 |
Х7 |
Х8 |
Х9 |
Х0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Х1 |
|
|
5 |
|
|
|
8 |
|
|
5 |
Х2 |
|
|
|
4 |
3 |
|
7 |
|
|
|
Х3 |
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4 |
Х4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Х5 |
|
|
|
|
|
|
6 |
5 |
|
|
Х6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
Х7 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
11 |
|
Х8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
Х9 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
№5.10. Выполнить поиск в глубину из различных стартовых вершин для графов предыдущей задачи..
№5.11. Для данного графа (рис. 37) выполнить поиск в ширину из вершины v5, а затем из вершины v8.
39
V13
V2
V14 |
|
V4 |
V6
V |
V3 |
V8
V9 V5
V7 V11
V10
Рис.37. Орграф к задаче 5.11
5.12. Составьте все возможные планы маршрута путешествия по историческим местам, если автотуристам надо проехать из пункта М в пункт Н, осмотрев все памятники архитектуры не более одного раза. Как называется такой маршрут (рис.38)?
••
М• |
• |
•Н |
|
• |
|
• |
|
• |
|
|
• |
Гис. 38. Расположение памятников архитектуры
№5.13. Пусть ориентированный граф G(V, Х) с множеством вершин V= {1, 2,3,4,5,6, 7} задан списком дуг Х. 1. Постройте реализацию графа G.
2. Постройте матрицу инцидентности графа G.
3. Постройте матрицу смежности G.
4. Задайте соответствующий неориентированный граф матрицей смежности.
5. Укажите степени вершин полученных графов.
V12
а) Х= {(1, 2), (2, 3), (4, 3), (4, 5), (6, 5), (7, 6), (7, 1), (7, 2), (6, 4), (4, 4), (2, 7), (6, 4), (5, 2)}; б) Х={(1, 4), (2, 1), (4, 3), (4, 5), (2, 6), (7, 1), (7, 6), (3, 2), (5, 4), (3, 4), (6, 2), (5, 5)}; в) Х= {(1, 5), (2, 3), (4, 5), (4, 6), (5, 6), (5, 1), (6, 6), (3, 2), (5, 4), (6, 4), (7, 2), (6, 7), (7, 5)}; г) Х = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 6), (5, 2), (6, 4), (7, 4), (7, 2), (7, 5)};
д) Х = ((1, 1), (1, 3), (2, 5), (2, 6), (3, 6), (3, 1), (3, 6), (3, 7), (4, 4), (4, 6), (5, 2), (6, 3), (6, 5)}; е) Х= {(1, 3), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 5), (3, 6), (2, 7), (4, 1), (4, 6), (4, 2), (6, 4), (6, 3), (7, 2), (7, 6)).
№ 5.14. Составьте сценарий и по нему постройте сетевой граф, иллюстрирующий порядок выполнения операций, для того чтобы а) выпустить газету;
б) провести шахматный турнир на первенство вуза; в) подготовить и провести в вузе КВН; г) посадить и вырастить картофель; д) организовать работу торговой точки; е) изготовить табурет.
№5.15. Решите задачи «о переправах», изобразите решение графом.
1.Три генерала — Строгий, Лихой и Грозный — со своими адъютантами переправлялись через реку с помощью двухместной лодки. Адъютант может либо перевозить своего генерала, либо переправляться с другим адъютантом. Однако ни один из генералов не разрешил своему адъютанту ни оставаться с другим генералом вдвоем на берегу, ни переправляться с ним через реку. Как они переправились через реку?
2.Трое мужчин и три женщины должны переправиться через реку. У них была одна лодка, которая вмещала только двух человек. Грести умели все мужчины и только одна женщина. Кроме того, женщины требовали,