разрядная операция отрицания равнозначности), и если он отличен от нуля, то его значение и есть номер искажённого информационного разряда.

Применение корректирующего кода Хэмминга означает, что каждое слово памяти содержит не 16 бит, а 21 бит. Пять лишних битов в каждом слове — это биты чётности. Они недоступны пользователю, так как зарезервированы для образования корректирующего кода.

Линейные групповые коды

В практике построения надёжных средств вычислительной техники широкое распространение находят линейные групповые коды, отличающиеся достаточно просто реализуемыми функциями декодирования и несложным способом задания.

Линейным групповым кодом называется конечная аддитивная коммутативная группа , элементами которой являются двоичные векторы, в качестве операции группы выбрана операция суммы по модулю 2.

Линейные групповые коды могут быть заданы двумя способами:

перечислением векторов;

матричным представлением.

Матричное представление позволяет компактно описывать линейные коды большой мощности и однозначно задавать процедуру их декодирования.

Максимальный набор линейно-независимых двоичных векторов образует порождающую матрицу некоторого кода. Любой вектор кода, не принадлежащий матрице, может быть получен как сумма некоторого числа векторов порождающей матрицы.

Линейные групповые коды обычно задаются порождающей матрицей, представленной в так называемой левой канонической форме:

которого равна , то её формат в матрице определяет мощность линейного группового кода, определяемую по формуле . Структура матрицы влияет на обнаруживающую и корректирующую способность линейного кода.

107

1.Выписать все векторы линейного группового кода.

2.Для каждого ненулевого вектора найти его вес в смысле Хэмминга. Минимальный вес нену-

левого вектора и равен .

Справедливость алгоритма вытекает из принадлежности нулевого вектора линейному групповому коду. Действительно, расстояние в смысле Хэмминга между нулевым вектором и вектором с

Порождающую матрицу группового линейного кода длины с информационными разрядами можно построить, руководствуясь следующими правилами:

1.Все векторы порождающей матрицы должны быть различны и линейно-независимы.

2.Нулевой вектор не должен входить в число векторов порождающей матрицы.

Порождающая матрица линейного кода, построенная в соответствии с приведёнными рекомендациями, должна быть проверена на соответствие полученного кода требуемой обнаруживающей и корректирующей способности. Для этого по полученной матрице выписываются все векторы линейного кода и находится . Отметим, что любой проверочный столбец порождающей матрицы линейного кода представляет собой сумму по модулю 2 некоторого числа информационных столбцов порождающей матрицы.

Приведём рекомендации по построению линейного группового кода заданной мощности с заданной обнаруживающей (корректирующей) способностью (без ограничения на общую длину кода). Такая задача достаточно часто возникает при разработке средств вычислительной техники повышенной надёжности.

В ходе вычислений находят вектор ( ), который в общем случае называется синдромом и его вид характеризует наличие или отсутствие ошибок в векторе кода. Если синдром нулевой, то ошибок нет, если синдром ненулевой, то ошибки есть.

Исправление ошибок осуществляется по виду ненулевого вектора синдрома. Для линейных кодов, исправляющих -кратную ошибку, каждому вектору ошибки кратности соответствует свой вектор синдрома. Для установления однозначного соответствия между номером ошибочного разряда и видом вектора синдрома достаточно построить матрицу ошибок, которая получается из проверочной части матрицы и приписанной снизу единичной матрицы соответствующего размера.

Значение синдрома совпадает с одной из строк проверочной матрицы. Номер этой строки и

требующими построения матриц ошибок всех кратностей и сопоставления каждому вектору ошибки своего вектора синдрома.

Циклические коды

Циклические коды являются разновидностью линейных групповых кодов и относятся к систематическим кодам. Первоначально были созданы для упрощения процедуры декодирования. Однако высокая эффективность к обнаружению ошибок таких кодов обеспечила их широкое применение на практике. Двоичный вектор циклического кода удобно рассматривать не как комбинацию нулей и единиц, а в виде полинома некоторой степени

Представление двоичных векторов в виде полиномов позволяет свести действие над векторами к действиям над многочленами. При этом:

сложение многочленов сводится к сумме по модулю 2 коэффициентов при равных степенях переменной ;

умножение производится по обычному правилу умножения степенных функций, однако полученные коэффициенты при данной степени складываются по модулю 2;

деление осуществляется по правилам деления степенных функций, при этом операция вычитания заменяется суммированием по модулю 2.

Основным свойством циклических кодов является следующее: если вектор принадлежит циклическому коду, то любой вектор, полученный из рассматриваемого с помощью циклических сдвигов, также принадлежит циклическому коду.

Идея построения циклических кодов базируется на понятии неприводимого многочлена. Многочлен называется неприводимым, если он делится только на самого себя и на единицу, и не делится ни на какой другой многочлен. Иными словами, неприводимый многочлен нельзя представить в виде произведения многочленов низших степеней. На неприводимый многочлен без остатка делится многочлен . Неприводимые многочлены играют в теории циклических кодов роль образующих полиномов.

110

Таким образом, любой вектор циклического кода может быть образован умножением некоторого вектора натурального двоичного кода на одночлен степени с добавлением к полученному

расположение информационных разрядов в каждом векторе кода строго упорядочено — они зани-

Любой вектор циклического кода получается как сумма по модулю 2 векторов его порождающей матрицы. Так как циклический код является групповым, то нулевой вектор всегда приписывается циклическому коду как единичный элемент группы.

Необходимо отметить, что каждый циклический код, заданный некоторой порождающей матрицей, можно представить в нескольких вариантах, отличающихся друг от друга длиной и количеством информационных разрядов (при одинаковых обнаруживающих способностях). Эти варианты так называемых укороченных циклических кодов получаются вычёркиванием последних строк и такого же количества столбцов слева в порождающей матрице ( ) циклического кода. При этом число проверочных разрядов остаётся неизменным, а длина кода и число его информационных разрядов уменьшаются соответственно на величину, равную числу вычеркнутых строк и столбцов порождающей матрицы.

Построение циклических кодов с заданными параметрами связано с выбором образующего неприводимого полинома. Образующий полином выбирается исходя из следующего условия: степень полинома должна быть равна числу проверочных разрядов циклического кода.

На практике часто возникает задача построения циклического кода заданной мощности и заданной обнаруживающей и корректирующей способностей.

Рекомендации для построения кода следующие:

где ( ) — полином информационного вектора порождающей матрицы; — одночлен степени ;

5. Построенная порождающая матрица проверяется на выполнение следующих условий:

а) вес в смысле Хэмминга любого вектора порождающей матрицы должен удовлетворять соотношению , где — минимальное расстояние в смысле Хэмминга рассматриваемого циклического кода;

б) вес в смысле Хэмминга проверочного вектора, являющегося суммой по модулю 2 любых двух проверочных векторов и порождающей матрицы, должен удовлетворять соот-

ношению

6. Если порождающая матрица циклического кода удовлетворяет всем приведённым условиям, то выписываются все векторы циклического кода и определяется в соответствии с известными правилами для линейных групповых кодов. Если код не соответствует требованиям, то выбирается другой порождающий полином той же степени , и процедура образования циклического кода повторяется для нового полинома.

Обнаружение ошибок с помощью циклических кодов производится следующим образом. Любой вектор циклического кода делится на образующий полином без остатка. Поэтому критерием наличия ошибки в векторе циклического кода является появление ненулевого остатка от деления вектора циклического кода на образующий полином. Ненулевой остаток является опознавателем ошибки в векторе циклического кода, однако его вид не указывает на место расположения ошибки в кодовом векторе. Исправление ошибок базируется на следующем алгоритме:

1.Принятый кодовый вектор разделить на образующий полином.

2.Подсчитать число единиц в полученном остатке. Если число единиц не превышает корректирующей способности кода, то принятый вектор сложить по модулю 2 с полученным остатком. Результат суммирования даст исправленный кодовый вектор. Если число единиц остатка больше корректирующей способности кода, то осуществить циклический сдвиг искажённого вектора влево на один разряд, а затем произвести деление на образующий полином. Если полученный остаток содержит единиц не больше корректирующей способности циклического кода, то произвести суммирование сдвинутого циклически вектора с остатком. Результат суммирования сдвинуть циклически на один разряд вправо. Полученный вектор уже не содержит ошибок и является вектором циклического кода.

3.Если после первого циклического сдвига и последующего деления остаток содержит единиц больше, чем корректирующая способность кода, то повторять процедуру п. 2 алгоритма до тех пор, пока не будет получен остаток с числом единиц, не превышающим корректирующей способности кода. В этом случае результат последнего циклического сдвига суммируется с остатком, и полученный вектор циклически сдвигается на столько разрядов вправо, на сколь-

112

ко был сдвинут влево исходный принятый вектор с ошибкой. В итоге получается исправленный кодовый вектор.

113