для заочников 1 курс библиотека
.pdf61
Вариант 25
|
|
2x |
|
|
ж |
1 |
2 |
ц |
1. Найти область определения функции y = |
|
|
+log2 |
з |
+ x |
ч. |
||
x |
2 |
1 |
2 |
|||||
|
-1 |
|
и |
- x |
ш |
2. Найти производные: а)
в) |
|
ж |
1 ц |
; г) |
мx = sin |
( |
t +1 , |
||
y = |
п |
) |
|||||||
|
sinзcos |
|
|
ч |
|
н |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||
|
|
и |
|
ш |
|
пy =1-cos(t +1). |
|||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
y = |
|
|
2-x |
; б) |
y = |
1 |
; |
|
x |
||||||||
|
|
arccos(lnx) |
||||||
|
|
|
arctgx |
|
|
3. Используя логарифмическую производную, найти производные
3
функции: а) y = 5x4 жз x цч Ч(x+1)75 ; б) y = (cos(2x+1))ex .
и x-1ш
4. |
Найти производную неявной функции 3y -ex sin y +15x2 = 0 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ctg |
px |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
1+ax -1 |
; б) limзж |
|
x |
чц |
3 |
x |
5 |
+3x |
2 |
+5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
5. |
Найти пределы: а) |
lim |
|
|
|
|
|
2- |
|
|
; в) lim |
|
|
|
. |
||||||||||
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
x®0 |
|
|
|
x®3 и |
3 |
ш |
|
|
x®Ґ (x+1)(x2 -1) |
|||||||||||||
6. |
Исследовать функцию |
и построить |
график |
|
|
функции: |
|||||||||||||||||||
а)y = sin xsin2x ; б) y = |
x2 |
+ |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x
7.Среди всех конусов периметр осевого сечения которых равен 8, найти конус с наибольшим объемом и найти объем.
8.На графике функции y = x3 -2x -1 найти точки, в которых
касательные к ней перпендикулярны прямой x+ y = 0.
9. Найти yўў(0), если y = 2sinx cos(sin x).
10. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции
y = |
x-4 |
в точке с абсциссой x = 3 . |
x-2 |
0 |
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте алгоритм исследования функции на выпуклость и точки перегиба.
2.Дайте определение бесконечно малых величин, эквивалентных бесконечно малых.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = 2x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 26 |
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Найти область определения функции y = |
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
sin |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
||||||||||||||||||||
2. |
|
|
Найти |
производные: |
а) |
|
y = arctg(x+ |
|
); б) y = x + xx ; |
||||||||||||
|
|
1+ x2 |
|||||||||||||||||||
|
|
( |
1-3x |
) |
2 |
|
м |
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) y = |
|
|
|
|
; г) нпx |
e sint, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
пy = et +cost. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
функции: а) |
y = зж2log3x ex чцcosx ; б) |
y = 5 |
|
(x-1)6 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
ш |
|
|
x2 (x-3)4 |
|
|
|
|
|
4. Найти производную неявной функции x+ y2 -sin(x+ y)= 0.
|
|
|
|
|
|
limx ln x+1 -ln x |
|
|
ж 2- xц |
|
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
||||||||||
5. |
Найти пределы функций: |
а) |
x®Ґ |
( |
( |
) |
( |
)); |
б) |
limз |
|
ч |
; |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 и |
2+ xш |
|
|
||||
в)lim |
x3 -4x2 +5x-2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x®1 x3 -5x2 +7x-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
Исследовать и построить |
график |
|
функции: |
а) |
|
|
(x+2); |
б) |
||||||||||
|
y = |
x2 |
|||||||||||||||||
y = (x2 -4)(x+1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
Найти |
наибольшее и |
|
наименьшее |
значение |
|
функции: |
|||||||||||
y = e2x-1 + 2e1-2x |
+ 7x-3, xО[0,14;1]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. |
Найти расстояние между графиками функций y = x2 |
и y = x-1. |
|
|
|||||||||||||||
9. |
|
Найти |
дифференциал |
второго |
порядка |
для |
|
функции |
y = ln(x+ 1+ x2 ).
10. Найти асимптоты функции |
y = |
x4 |
. |
|
x3 -1 |
|
Контрольные вопросы
1.Дайте определение точек перегиба графика функции.
2.Сформулируйте теорему Лагранжа.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = log3 x .
63
Вариант 27
1. Найти область определения функции y = 3x-1+ x2 . ln x
2. |
|
|
Найти |
|
производные: |
|
а) |
|
y = e-x2 ex ; |
|
б) |
|
y = lntgx2 -cos xЧln x ; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y = arctg(x+ |
|
x3 ); г) |
|
t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
нпx = sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опy = cos |
|
t +1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
|
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
функции: а) y = (arcsinx)arccosx ; б) y = |
|
x(x-2)5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(x+7)4 (x-3) |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. |
Найти производную неявной функции ln(x+ y)- x2 y2 = 0. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
Найти |
пределы |
функций: |
|
а) lim |
|
|
|
|
|
|
-1 |
; |
б) |
|
x |
2 +1 |
; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
sin2x |
lim |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x® |
p |
|
|
3 tgx -1 |
|
|
x®Ґ 2x |
+ x+1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
ж x2 -1цx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
limз |
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x®Ґ и x |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
|
Исследовать и |
построить |
график |
|
|
функции: |
а) |
y =16x(x-1)3 ; |
|||||||||||||||||||||||||
б) y = x+ e-x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7. |
|
|
|
Найти |
|
|
все |
|
значения |
|
a |
|
при |
|
|
|
|
которых |
|
функция |
||||||||||||||
y = |
1 |
e2x |
+(1-a)ex -ax+sin2 |
имеет критические точки и найти их. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Найти уравнение касательной функции y = xln x |
в точке x0 |
= e . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Найти приближенное значение функции y = ex2 -x |
при x =1,2 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
10. Найти асимптоты графика функции |
y = |
|
x4 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте теорему Ферма.
2.Какая функция называется дифференцируемой?
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = 5x3 .
64
Вариант 28
1. Найти область определения функции y = 1x- x +log2(x2 +5x-6).
2. Найти |
производные: а) y = |
tgx+ctgx |
; б) y = ln(cos2 x)ex+1 ; |
||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
tgx-ctgx |
|
в) y = 3 |
|
|
|
|
; г) нмx = sint +et , |
||
arcsin(x+ |
|
|
) |
||||
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
оy = lnt +cost. |
3.Используя логарифмическую производную, найти производные функции: а) y = (arctgx)sin x ; б) y = x3x-14x-45x-5 .
4.Найти производную неявной функции ln(xy)+exy -(x+ y)3 = 0 .
5. |
|
|
Найти пределы |
функций: |
а) lim |
|
|
sin2x |
-1 |
; |
б) |
lim |
|
|
|
x |
2 +1 |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x® |
p |
|
|
3 tgx -1 |
|
|
|
x®Ґ 2x |
+ x+1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в)lim |
x3 +2x2 + x+1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x®Ґ 3x3 -5x+6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
|
|
Исследовать и |
построить |
график |
|
функции: |
а) |
y =16x(x-1)3 ; |
|||||||||||||||||||||
б) y = x+ e-x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
|
|
Найти |
|
все |
значения |
a , |
|
при |
которых |
|
|
|
|
функция |
|||||||||||||||
y = |
1 |
e2x +(1-a)ex |
-ax+sin2 имеет критические точки и найти их. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
Найти уравнение касательной функции y = xln x в точке x0 = e . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
9. |
Найти асимптоты графика функции y = 5 |
x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
10. С помощью дифференциала найти значение функции y = 3 |
|
при |
||||||||||||||||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||||||||||||||
x0 = 25. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1. |
Перечислите свойства бесконечно больших функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. |
|
|
Поясните, |
|
как |
раскрыть |
неопределенности |
типа |
|
0 |
, |
Ґ |
|
при |
||||||||||||||||
|
|
|
0 |
Ґ |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
вычислении пределов? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
|
Используя определение производной функции, найти |
|||||||||||||||||||||||||||
производную функции y =tg4x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
65
Вариант 29
1.Найти область определения функции y = log3 (x3 +1)+ x2 -9 .
x-2
|
2. Найти производные: а) y = |
1 |
arccosx; б) |
y = arctg4 |
1 |
; в) y = |
sin4 x2 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x+ 2 |
|
x-3 |
|
|
м |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
пx = |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
н |
|
+t + 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
п |
|
2 |
-3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оy = t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Используя логарифмическую производную, найти производные функции: а) y = (sinx)cosx ; б) y = 5x(x-1)2 (x-3)3 .
4.Найти производную неявной функции 2x+y -sin(x2 + y2 )+3x2 = 0 .
5. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = |
2x +2-x |
, |
|
ln2 |
|||
|
|
||
xО[-1;2]. |
|
6. Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8. Найти минимум суммы квадратов длин всех сторон параллелограмма.
7. Исследовать и построить график функции: а) y = x2 + 4 ; x2 -1
б) y = sin2 x .
8. Найти пределы функций: а) lim |
|
|
5- x |
-2 |
; |
б) lim |
x-sin2x |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x®1 |
|
|
2- x -1 |
x®0 x-sin5x |
||||||
в)lim |
p -2arctgx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x®Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9. Составить уравнение касательной и |
нормали |
в точке x0 =1 к |
|||||||||||
графику функции y = ln x. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. Найти асимптоты графика функции |
y = |
|
|
|
x2 . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 -1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Перечислите свойства бесконечно малых функций.
2.Поясните, как раскрыть неопределенность типа Ґ-Ґ; 0ЧҐ при
вычислении пределов.
3. Используя определение производной функции, найти производную функции y = 3x .
|
|
66 |
|
|
||
|
|
|
Вариант 30 |
|||
1. |
Найти область определения функции y = |
logsinx |
-arcsin(x2 -4). |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
2. |
Найти |
производные: а) y = 2log4 (x2 +x+1) ; б) y = lnsin2 (x2 +3x |
||||
в) y |
= arctgxЧsin2 |
мx = arccost, |
||||
7x ; г) п |
||||||
|
|
н |
|
|
||
|
|
|
поy = 1+t2 .
4. |
Найти пределы функций: а) |
lim |
1+ x2 |
; б) |
ж x+1 |
цx ; |
|||||
|
|
|
x |
3 |
sin x |
|
limз |
1- x |
|
ч |
|
|
|
|
x®0 |
|
x®0 и |
ш |
|||||
в)lim |
x2 -4x5 -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x®Ґ x5 + x3 - x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Исследовать и построить график функции: а)
б) y = x2e-x2 .
6. Найти угол между касательной к функциям точке их пересечения.
7. Найти наибольшее и наименьшее значение функции
y = -x , x2 +1
xО[-5;0].
8.Найти производную неявной функции (x2 + y2 )x+y -sinx = 0 .
x2
9.Найти экстремумы функции y = x3e- 2 .
10. Найти уравнение |
касательной и нормали в точке |
ж |
|
3 |
ц |
к |
||||
|
||||||||||
M з |
3; |
|
ч |
|||||||
|
||||||||||
|
|
|
|
|
и |
2 |
ш |
|
||
графику функции y = |
|
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x2 +1 |
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте теорему сравнения бесконечно малых и больших величин.
2.Поясните, как раскрыть неопределенность типа 1Ґ при вычислении пределов.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = log4 x .
67
Учебное издание
Методические указания по выполнению индивидуальных заданий при подготовке
к промежуточным итоговым аттестациям для студентов 1 курса заочной формы обучения
Составители: Окунева Галина Леонидовна Лавриненко Тамара Николаевна Рябцева Светлана Васильевна
Подписано в печать |
. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 4. Уч.-изд. л. 3,0 |
|
|
Тираж 100 экз. Заказ № |
Цена |
Отпечатано в Белгородском государственном технологическом университете им. В.Г. Шухова
308012, г. Белгород, ул. Костюкова, 46