для заочников 1 курс библиотека
.pdf
|
|
|
|
51 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. Найти область определения функции y = |
x2 +2x+1 |
|
+lg(x2 -3x+2). |
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x-1 |
||||
2. |
Найти производные: |
а) |
y = cos(ex +x2 -3); б) y = |
x2 sinx |
; |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2x |
|
|
|
|
м |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
в) y = |
ln(x2 -sinx)arcsinx ; г) |
|
|
|
|
|
|
||||
нпx |
= 3+t |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
пy = t -t2 +2. |
||||||||
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции (y2 + x)sinxy = 0.
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) |
y = йln(x-2)щsinx ; б) |
y = |
1 |
4 |
(x-3)5 |
Ч |
( |
2x+3 |
) |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
л |
ы |
2 |
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Найти |
пределы |
функции: |
|
а) |
lim |
ж x-2 |
ц |
; |
б) |
lim |
cos7x-cos x |
; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
ч |
|
|
|
x |
2 |
-49 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
и x+3 |
ш |
|
|
|
x®7 |
|
|
||||
в)lim |
|
x x3 -2x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x®Ґ 3x5 + 4x4 -8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить ее график: а) (x-3)(y -1) = x2 -1;
б) y = ln2 x -3.
7. |
Найти цилиндр наибольшего объема, вписанный в конус с |
||||||||||
высотой 10 и радиусом 5. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
Найти |
наибольшее |
|
и |
наименьшее |
значение функции |
|||||
|
|
|
|
|
й |
p щ |
|
|
|
||
y = 2cos2x-cos4x |
на отрезке |
к0; |
|
ъ. |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
л |
ы |
|
|
|
||
9. |
Найти промежутки убывания функции y = - |
1 |
x3 - |
1 |
x2 +12x+1. |
||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
||
10. Является ли прямая |
y = 3x-3 касательной к графику функции |
||||||||||
y = x2 - x- |
1 |
? Почему? |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Перечислите классы простейших функций и приведите их графики.
2.Докажите правило вычисления производной суммы двух функций.
3.Используя определение производной функции, найти
производную функции y = 1 .
3x-1
|
|
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 16 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Найти область определения функции y = |
|
x2 |
|
|
+lg(x2 -6x+9). |
|||||||||
x |
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-4 |
|
|
||
2. |
Найти производные: |
|
а) y = arcsin(cos x) ; |
б) y = arctg2 (ln(x-1)); |
|||||||||||
в)пмx = tg(t +1), г) |
y = |
|
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
н |
|
x |
2 |
- x |
3 |
+ x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
пy = t2 -1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции 3xy -ln(y + x) = 2.
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) y = (2cosx x)tg x ; б) y= |
|
|
x2 -25 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
cosx(x-6) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. Hайти пределы: а) |
lim |
|
|
a3 - x3 |
|
; б) |
ж x2 -1 |
ц x |
; в) |
lim |
x3 |
- x5 |
. |
||||||||
|
|
2 |
-2ax+ x |
2 |
|
limз |
|
|
|
|
ч |
|
|
5 |
+5 |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
+3 |
|
|
||||||||||||||
|
x®a a |
|
|
|
x®Ґ и x |
|
ш |
|
x®Ґ 10x |
|
|
6. Исследовать функцию и построить ее график: а) y = (x-3)(x2 -4); б)
y= sin x+ x2 .
7.Найти цилиндр наибольшего объема, вписанного в шар радиуса R .
8.При каких a прямая y =1-ax является касательной к графику
функции y = x+ e-2x .
9. Найти критические точки функции y = sin5xcos3x-cos5xsin3x .
10. Найти значений производной функции y = e2+x + x в точке
x2 -1
x0 = -2 .
Контрольные вопросы
1.Что такое обратная функция? Приведите примеры.
2.Дайте определение предела функции в точке.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 17 |
|||||||||||||
1. |
Найти область определения функции y = arcsin |
x2 +1 |
+ |
|
. |
||||||||||||||||||
x2 -1 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-1 |
|||
2. |
Найти |
производные: а) y = |
|
|
|
3x-1 |
; б) y = (3arctg2x +ln(1+4x2 ))4 ; |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x3 +9x-1 |
||||||||||||
|
|
3 |
2xЧtg(3x- x |
2 |
); г) |
ж |
1 ц |
||||||||||||||||
в) y |
= sin |
|
|
y = lnзarccos |
|
|
|
|
ч . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
2x ш |
|||||||||||
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные: |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) y = (ctgx)arcsinx ; б) y= |
3 |
|
x-1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x
4.Найти производную неявной функции xy = ex -cos(x +3y).2 (x+4)5
5. |
Hайти пределы: а) |
lim |
4x |
|
; б) |
|
ж |
|
|
|
2 |
|
ц1-3x ; в) |
|
x4 -5x+1. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limз1- |
2x+5 |
|
ч |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x®0 arctg2x |
|
x®Ґ и |
|
|
ш |
|
x®Ґ 3 x12 +2x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
6. |
Исследовать |
функцию |
и |
построить |
ее |
|
график: |
а) |
y = 4xe- |
|
; |
||||||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||
б) y = (2x-3)2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Исследовать |
функцию |
y = |
4x+1 |
|
на |
непрерывность |
в точках |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x+4)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x1 = -4 , x2 = -4, x3 = 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
Найти |
|
наименьшее значение |
|
|
a, |
|
при |
котором |
уравнение |
|||||||||||||||||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
|
|
p ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
+ |
|
|
= a имеет на интервале з |
0; |
|
ч |
, хотя бы одно решение. |
||||||||||||||||||||
|
sin x |
|
2-2sin x |
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
2 ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
9. |
При |
каких |
a |
функция |
|
y = eax |
удовлетворяет |
|
уравнению |
2yўўў+3yўў-8yў+3y = 0 .
10. Найти точки экстремума функции y = 4x- 2ex -e2x -5 .
Контрольные вопросы
1.Докажите правило вычисления производной произведения двух функций.
2.Что такое замечательные пределы функции? Приведите примеры.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = x5 .
|
|
|
|
54 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Найти область определения функции y = |
|
|
x2 +5x -4x+6 |
+lgx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-2 |
||||
2. |
Найти производные: а) y = (4tg2x -tg2x)5 ; |
б) y = ln(2x2 -1)tge2 x ; |
||||||||||||||
мx = arctg3t, |
г) |
|
|
4x+3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в)п |
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
пнy = ln(1+9t2 ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3 x3 -4x-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
|||||||||||||||
функций: а) y = (ctgx) |
sin2 x |
; б) y = |
(x-1)3 (x+2x2 )10 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x-5)6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную неявной функции ctgx+ ln |
|
|
= 0 . |
||||||||||||
|
4y +1 |
|
|
x-3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
5. Hайти пределы: а) |
|
; б) |
ж |
1 |
-5xцx |
; в) |
lim |
||
|
lim |
|
|
limз |
1 |
|
ч |
|
|
|
x®3 sin(x-3) |
|
x®0 и |
+3xш |
|
x®Ґ |
6. Исследовать функцию и построить ее график:
б) y = 3ln x . x
x3 +5x+2 .
3x3 +4x2 -1
а) y = |
|
4x3 |
; |
|
|
||
9 |
(3- x2 ) |
7. Исследовать функцию |
y = |
3x-1 |
на непрерывность |
в точках |
|||||
|
(x2 -4)x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 = 0, x2 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Равнобедренный треугольник с периметром P =12 |
вращается |
||||||||
вокруг основания. Найти основание a , |
при котором полученное тело |
||||||||
вращения имеет наибольший объем. |
|
|
|
|
|
|
|
||
9. При каких значениях p |
из точки |
B(p;-1) можно провести три |
|||||||
различных касательных к графику функции y = x3 - 2x2 +3. |
|
|
|
|
|
|
|||
10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции |
y = |
2 |
|
+ |
x |
|
|||
|
|
|
|
|
x+1 |
2 |
|
на отрезке [0;2,5] .
Контрольные вопросы
1.Докажите правило вычисления отношения двух функций.
2.Сформулируйте основные свойства пределов функции в точке.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = 2x4 .
55
Вариант 19
1. Найти область определения функции y = 6+ x- x2 +arcsin(x-2).
log2(x-3)
2. |
|
Найти производные: |
а) |
y = |
|
|
|
5x-6 |
|
; |
б) |
y = ln 4 |
|
2x2 -3 |
; |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x3 +3x2 - x |
|
|
|
|
|
|
2x2 +3 |
|||||||||||||||
в) y = earctg |
|
Чlnarccos |
|
; г) |
y = (3arccos |
x - |
|
|
|
|
)4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4x-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
1- x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
функций: |
а) y = (tgx) |
|
|
|
|
; б) |
y = |
|
|
Ч5 |
(x-1)3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x2 +3x-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2x+ x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Найти производную неявной функции |
2xy -sin2 (x + 2y)- y2 |
= 0. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Hайти пределы: а) |
lim |
|
tg(x-1) |
|
; б) |
lim |
ж 2x+3ц1-3x |
; в) |
lim |
x2 +2x-28 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
ч |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
(x-1)-1 |
|
+ x |
+2x |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®1 cos |
|
x®Ґ |
и 2x-1 |
ш |
|
x®Ґ x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6. |
Исследовать функцию и построить ее график: а) y = ln(x2 +2x+ 2); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) y = |
2(x-1)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
Исследовать функцию |
|
|
|
|
x-2 |
|
|
|
на непрерывность |
в |
|
точках |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y = (x2 -9)x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x1 = 0, x2 = 3, x3 = 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
8. |
Найти, при каком значении |
a уравнение |
|
(a -3)x2 - 4x+(a - 2) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
имеет минимальную разность квадратов корней. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9. |
Найти общие точки графика функции y = |
1 |
x3 -4x |
и касательной, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
проведенной к этому графику в точке M (0;18). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
10. |
|
Найти |
|
|
промежутки |
|
|
монотонности |
|
|
|
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||
y = 0,25x4 -2x3 +5,5x2 -6x + ln3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте правило Лопиталя для вычисления пределов функций.
2.Как вычислить производные высших порядков?
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = 5x4 +3x .
56
Вариант 20
1. Найти область определения функции y = sin2x - x2 -4 . tgx
2. |
|
Найти |
производные: |
|
|
а) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
; |
|
б) |
y = x3 arcsin |
|
; |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y = sin2 |
|
+cos2 |
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пмx = et +e-t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1-sin2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) y |
= log2 |
|
|
|
|
; г) н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1+sin2x |
2t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
пy = e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции: а) y = (log3sin x)x ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
y = 4 |
|
|
Ч6 |
x7 (x+4)8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x+2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Найти производную неявной функции y = xy sin(xy) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Найти пределы: а) lim |
|
ln x |
|
|
; б) lim(cosx)ctg2x ; в) |
lim |
x2 -3x+3x5 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®1 (x-1)3 |
x®0 |
|
|
|
|
|
|
x®Ґ x10 - x9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
Исследовать |
|
функцию |
|
|
и построить |
|
график: а) |
y = 3 |
|
|
+ 3 |
|
|
; |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x+1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) y = |
|
x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
При каждом a |
найти наименьшее значение функции y = |
1 |
- |
|
a2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
6- x |
|||||||
xО[2;3]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
Найти производную функции |
пмx4 sin |
1 |
, x № 0, |
|
в точках x = 2 и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = н |
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
x = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
При |
каких |
|
p |
касательная, |
проведенная |
|
к |
графику |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
y = x3 - px |
в точке графика с абсциссой x |
|
=1, проходит через точку |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
M (2;3)? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. |
|
Найти |
промежутки |
|
|
возрастания |
|
|
и |
|
убывания |
функции |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
й |
p 5p щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y = sin |
|
x-sin x |
на отрезке к- |
|
; |
|
|
|
ъ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л |
|
|
6 ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Дайте определение непрерывной функции в точке и на множестве.
2.Чему равна производная обратной функции?
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = ctg2x .
|
|
|
|
|
|
57 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
Найти область определения функции y = |
|
|
+log2 (x-8). |
||||||||||||||
32x -2Ч3x -3 |
||||||||||||||||||
2. |
Найти производные: |
|
а) |
|
|
|
|
|
; б) y = |
|
1 |
|
; |
|||||
y = 1+ |
|
+logx |
2 |
|||||||||||||||
2x |
||||||||||||||||||
|
x+1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
-1 |
|||||
|
|
|
м |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) y = cos3 ( |
|
+ x2 )+ctgx2 ; г) нпx = |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
t2 +t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
поy = t3 +3t2.
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
|||||||||||||||||||||||||||
функции: а) y = (1+ x+ x2 )arctgx ; б) |
y = |
|
|
Ч 3 |
|
|
Ч 4 |
|
Ч 5 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
x+1 |
x-3 |
x+5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4. |
Найти производную неявной функции y = 3x+1 y2 +(x+ y)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2x2 |
-lncosx-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Найти пределы: а) lim(1+2x)x ; б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) |
lim |
|
|
+3 |
. |
|||||||||||||
|
sin |
2 |
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
x®0 |
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
|
x®Ґ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
+ x2 -8x |
|||||||
6. |
|
Исследовать функцию |
и |
построить |
|
график: |
а) |
y = 3 |
|
; |
||||||||||||||||||
|
1- x3 |
|||||||||||||||||||||||||||
б) y = |
x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V , чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.
8. Найти производную функции |
м1-cosx |
, x № 0, |
в точках x =1 |
и |
||
п |
|
|
||||
y = н |
x |
|
||||
|
п |
|
x = 0; |
|
|
|
|
о0, |
|
|
|
x= 0.
9. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y= 0,25x4 -2x2 +1 на промежутке [-1;3].
10.Найти точку пересечения касательных, проведенных к графику функции y = x2 + 7-4x через точки графика с абсциссами 3 и -3.
Контрольные вопросы
1.Как найти производную сложной функции? Приведите примеры.
2.Дайте определение числовой последовательности.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = cos3x.
58
Вариант 22
1. Найти область определения функции y =
2. Найти |
производные: а) y = |
x |
+22x |
|
1+ x2 |
|
|
в) y = (1+ x2 )100 |
Чx ; г) нпмx = ctg(2t +3), |
|
|
|
пy = sin3 t2. |
|
|
|
о |
|
lg(-x2 +3x+4).
(x-2)(x+3)
+ x3 sinx ; б) y = x 2-x ; arctgx
3. Используя логарифмическую производную, найдите производные
функции: а) y = (arcsinx2 )cos x ; б) y = |
|
3 (x+10)5 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|||||||
4 (x2 -1)7 Ч 7 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x3 |
|
|
|
|
|||
4. |
Найти производную неявной функции x2 (y-2)+tgxy- x3 = 0. |
||||||||
5. |
Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = |
x |
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +4 |
xО[-4;0].
6. Исследовать функцию и построить график: а) y = x2 +1 ; x2 + x+1
б) y = (x-3)2 x .
7. |
|
Найти |
пределы функции: а) lim |
x2 +3x+4 |
; |
б) |
lim |
tgx-sin x |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
x®0 |
x+2 |
|
x®0 sin3 2x |
|||
в) |
|
ж |
|
x-3 |
цx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
limз |
|
2x+5 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®Ґи |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
||
8. |
В данный круговой сектор радиуса |
R , вписать прямоугольник |
||||||||||
большей площади (угол сектора равен l ). |
|
|
|
|
|
|
||||||
9. |
|
|
Найти |
дифференциал второго |
порядка |
для |
функции |
y= 1- x2 Чarcsinx .
10.Написать уравнение касательной и нормали в точке M0 (2;2) к
кривой x = |
1+t |
; |
y = |
3 |
+ |
1 |
; t № 0. |
t3 |
2t2 |
|
|||||
|
|
|
|
2t |
|||
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы |
1.Каков геометрический смысл производной функции?
2.Сформулируйте признак монотонности функции.
3.Используя определение производной, найти производную функции y = ln x.
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Вариант 23 |
|
|
|
|
|
||||||
1. |
Найти область определения функции y = log3 |
(x+ 21)- |
|
27 |
x |
. |
|||||||||
|
x-7 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
-3 |
||
2. |
Найти производные: а) y = |
|
+ 3 |
|
+ 4 |
|
; б) y = arcsin xx -ex cos x ; |
||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||
в) нмx = t2 +3t, |
г) y = |
sinx-cosx |
. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
оy = cost +t; |
|
sin x+cosx |
|
|
|
|
|
3. Используя логарифмическую производную, найти производные функции: а) y = 3x3x+1Ч 5x2 +1 ; б) y = (5x+2x3 )sin x .
4.Найти производную неявной функции 3xy2 -sin(x+ y)= 0.
5.Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y = sin2x - x на отрезке [0;p].
6. Исследовать функцию и построить график: а) y = (x-1)x2 ;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) y = |
|
xlnx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ж x-1 |
ц2x-1 |
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти пределы функций: |
а) |
limз |
|
ч |
; б) |
lim |
lntgx |
; |
|||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x®Ґи x+2 |
ш |
|
x® |
p |
|
x- |
p |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в)lim |
|
x3 +3x+5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x®Ґ 3 2x6 -5x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Представить числоa в виде суммы двух положительных чисел так,
чтобы их произведение было наибольшим.
9.Найти уравнение касательной и нормали в точке M (-2;y0 ) к
графику функции y = x3 + 2x2 - 4x-3.
10.Найти асимптоты графика функции y = 3x(x-1)2 .
Контрольные вопросы
1.Дайте определение дифференциала функции. Каков его геометрический смысл?
2.Определите понятие выпуклости и вогнутости графика функции.
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = ex .
60
Вариант 24
1.Найти область определения функции y = x(x-1)5 .
x+2
2. |
|
|
Найти производные: а) |
|
y = x2arctgx ; |
б) |
|
xy |
-ln(xy) = 0 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||
в) |
|
|
log3( |
x |
+3x2 |
); г) |
пx = |
|
t |
|
+t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пy = sin(t2 +t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции: а) |
|
y = |
( |
arcsin 1+2x |
)) |
x ; б) |
y = |
(x-3)5 (x+8)6 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x-7)8 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Найти производную неявной функции y2 + sin xy +3x2 y5 |
= 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Найти пределы: а) |
|
|
ж |
|
3 |
|
|
|
|
1 |
|
ц |
; б) |
ж |
x+1 |
ц2x+3 ; в) |
lim |
x5 +3x2 +1 |
. |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limз |
1- x |
3 |
|
+ |
x-1 |
ч |
|
limз |
|
ч |
|
5 |
+ x-3 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®1 и |
|
|
ш |
|
x®Ґи x+2 |
ш |
x®Ґ 4x |
|
|||||||||||||||
6. |
|
|
Исследовать |
функцию |
|
|
и |
|
построить |
график |
функции: |
||||||||||||||||||||||||||||
а)y = |
|
(1+ x); б) y = |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.Дан шар радиуса 10. Найти радиус основания и длину образующей вписанного цилиндра, наибольшей площади боковой поверхности.
8.Найти точки графика функции y = x3 - 2x2 , в которых касательная к
этой графику образуя угол 450 с положительным направлением осиOX .
9.Найти асимптоты графика функции y = ln(x+1) +2x.
x2
10.Найти yўўў(0), если y = e2x sin3x .
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте алгоритм исследования функции на экстремум.
2.Сформулируйте теорему Коши (о связи двух функции и их производных).
3.Используя определение производной функции, найти производную функции y = log2 x .