для заочников 1 курс библиотека
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
Найти |
|
|
область |
|
|
|
|
|
|
определения |
|
|
функции: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
ж |
2 |
-3x+4 |
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y = log2 з |
x |
|
ч- x2 -3x+4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
x |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
Найти |
производные: |
а) |
y = arcsin |
2x -2-x |
; |
б) |
|
y = sin3 xcos(x2 +3); |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y |
= e |
arccosx |
|
|
|
|
|
|
мx = sin(t +t2 ), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
+ xln x ; г) п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пy = cos(t -t2 ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Используя логарифмическую производную, найти производную |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции: а) |
y = (x+3)arccos x2 ; б) |
y = (sinx)ex . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
|
Найти производную неявной функции: (x5 + y5 )ey -ex sin y = 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
x |
|
|
|
ж |
x |
-1 |
|
x+1 |
|
x-1 |
|
|
|||||||
5. |
|
Найти пределы: а) |
lim |
|
e |
; б) |
lim |
|
ц |
; в) |
lim |
. |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
|
|
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x+1 |
|
|
|
2 |
+3 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®e x-e |
|
|
x®Ґ |
и |
ш |
|
|
x®Ґ x |
|
|
|
||||||||||
6. |
|
Исследовать |
функцию |
и |
|
построить |
ее |
график: а) |
y = xln x2 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
б) y = (x+2)2 x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
7. |
|
Исследовать |
функцию y = |
|
1 |
|
|
|
|
|
на |
непрерывность |
в точках |
|||||||||||||||||||||||
(x-1)2 x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x =1, x = 0, x = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
|
Найти |
наименьшее |
значение |
|
|
|
a , |
|
при |
котором |
уравнение |
||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
|
p |
|
ц |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
= a |
имеет на интервале з |
0; |
|
|
|
ч хотя бы одно решение. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
sin x 1-sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
2 |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Найти дифференциал функции y = arcsin(x2 -1) и с его помощью посчитать значение функции в точке 1,2 .
10.Составить уравнение касательной и нормали в точке M (1;-2) к
графику функции y = x3 -3x2 .
Контрольные вопросы
1.Что такое односторонние пределы функций? Дайте определение предела функции в точке слева.
2.Что такое нули функции? Какие способы определения Вы знаете?
3.Используя определение производной, выведите производную
функции y = sin x .
42 |
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
1. Найти область определения функции: |
|
(x-1) |
|
|
. |
|
y = |
x |
|||||
|
log2 |
(x- x2 + 4) |
||||
|
|
2. Найти производные: а) y = ln(4x+3) ; б)
sin2 x
( ) x мy = cost -t2 ,
в) y = arcsin x +arccosx e ; г) пн
поx = t2 +3t -4.
y= ln3 жз 1 + x-1цч ;
иx ш
3. Используя логарифмическую производную, вычислить: а) y = xcosx ;
б) y = |
(x-3)5 (x+1)4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x(2x-1)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную неявной функции: arcsin(xy)- xy2 + x2 y = 0. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти пределы: а) |
|
x-sin2x |
; б) |
ж1+ xцx |
; в) |
|
x2 -2x+1 . |
||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
limз |
|
|
ч |
|
lim |
x |
3 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
x®0 x-sin5x |
x®0 и1- xш |
|
x®1 |
|
|
|
|
|||||||
6. |
Исследовать функцию и построить |
ее |
график: |
|
а) y = x2 ln2 x ; |
|||||||||||||
б) y = (x -2)(x +3)(x-1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Найти наибольшее и наименьшее значение функции |
y = cos2 |
x |
sin x, |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
xО[0;p].
8.Найти все значения a , при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения x2 -(a- 2)x -a -1= 0 принимает наименьшее значение.
9. |
Составить |
уравнение касательной в |
точках графика функции |
||
y = xe-x2 , в которых она параллельна оси абсцисс. |
|||||
10. |
Докажите, |
что функция y = |
x-1 |
|
в точке x0 = -3 терпит |
|
|
||||
|
|
|
(x-4)(x+3) |
разрыв. Определить все точки разрыва функции.
Контрольные вопросы
1.Дайте определение одностороннего предела функции в точке справа?
2.Какая асимптота функции называется вертикальной? Приведите примеры.
3.Используя определение производной, выведите производную функции y = log2 x .
43 |
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
1. Найти область определения функции: y = log3 |
|
+ |
1 |
|
(x-3)(x+5) |
||||
x-5 |
||||
|
|
|
2. Найти производные: а)
в)нмx = tsint, |
г) y = (ex )arcsin x2 . |
оy = t2 +tsint; |
|
ж x+1ц2 |
|
-x2 |
; б) |
|
3 |
|
|
|
1 |
; |
||
y = з |
|
ч |
e |
|
y = x |
|
arcsin x+ |
|
|
|
||
|
|
|
x |
2 |
cosx |
|||||||
и x-2 |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Используя |
логарифмическую |
производную, |
вычислить: а) |
|||||||||||||||||||
мx = t -3t +sint, |
б) |
y = (arccosx)tgx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
п |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пy = |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
|
lnt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти производную неявной функции: y = 3 |
|
|
(ex -3). |
|
|
|
|
||||||||||||||||
x2 +1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
цx+2 |
|
|
|
|
|
|
(x-1)x(x +1) . |
||||||||||||||
5. |
Найти пределы: а) |
ж x |
; б) |
lim |
1-cosx2 |
; в) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
limз |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x |
4 |
+2x |
2 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®Ґи x+3 |
ш |
|
x®0 1-cosx |
|
|
x®Ґ |
|
|
|
||||||||
6. |
|
Исследовать функцию и построить ее график: а) |
|
y = cosxcos2x ; |
||||||||||||||||||||
б) y = x2 (x+5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
|
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее |
значение |
функции |
||||||||||||||||
y = 2Ч23x -9Ч22x |
+12Ч2x , xО[-1;1] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Найти расстояние между графиками функций y = -x и y = 1 .
x
9. Составить уравнение касательной в точке, в которой касательная
функции y = 2x-2 имеет угловой коэффициент, равный 4.
x+1
10. Найти асимптоты функции y = x(x+1) .
x-2
Контрольные вопросы
1.Что такое экстремум функции?
2.Как раскрыть неопределенность типа 00, Ґ0 при вычислении
пределов?
3. Используя определение производной функции найти производную функции y = (3x2 -6x).
44
Вариант 8
1. Найти область определения функции: y = arcsin(x+1)- 4 x+3 . x
2. |
Найти |
производные: |
а) |
y = arctgx- |
1 |
sin |
2 |
x |
; б) |
y = |
ln2 |
x+3x3 |
; |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x+ x) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
мx = t -3t +sint, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в)нп |
|
t |
|
|
|
; г) y = 3 x2 +1(ex -3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
пy = |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Используя |
логарифмическую |
производную, |
вычислить: |
||||||||||||||||||||||
а)y = йarccos |
( |
lnx щex |
; б) y = |
( |
tg |
( |
x-1 |
cos x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
л |
|
|
|
|
)ы |
|
|
|
|
)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найти производную неявной функции: cos yЧcos(xy)+3 = 0 .
5.Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = x2 +3x+2
на отрезке[-1;2;0] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
|
Найти пределы функции: а) |
lim |
x3 +3x2 +5 ; |
б) |
ж x2 + xц |
; |
|||||||||
|
|
|
|
2x |
3 |
-1 |
|
|
limз |
x |
2 |
|
ч |
|
||
|
|
|
|
x®Ґ |
|
|
|
x®Ґ и |
|
-1ш |
|
|||||
в)lim |
x3 - x2 + 4x-4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x®1 |
x2 -1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Исследовать функцию и построить ее график: а) |
y = |
(x-1)(x+3) |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-2 |
|
|
|
|
б) y = (x-1)ex .
8.Найти конус наибольшего объема, вписанного в шар радиусом R .
9.Найти абсциссу точки касания графика функции y = 2x-ln x и
касательной к нему y = x+2.
10. Найти экстремумы функции y = -x3 + 3x2 - 2.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте необходимое условие существования экстремума функции.
2.Дайте определение точек разрыва функции.
3.Используя определение производной функции найти производную функции y = 2tgx.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Найти область определения функции y = (x2 -9) |
|
|
- |
1 |
. |
|||||||||||||
|
6-5x |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x+1 |
||
2. Найти производные: а) |
y = log2x+2log4x-lnx; |
б) y = |
|
x6 |
+ arctgx6 ; |
|||||||||||||
|
12 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x |
||||
в) |
|
2 ж |
1 ц |
|
-x2 |
м |
|
2 |
+3t), |
|
|
|
|
|
|
|
||
y = ln |
+e |
; г) пx = cos(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
зarccos |
|
|
ч |
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
и |
|
x ш |
|
|
пy = sin2 t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции cos2 (xy)-sin xy + x2 = 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функций: а) |
y = xsin x ; б) |
y = (ln(cosx))sinx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
3 |
|
- 7 |
|
|
; б) |
ж |
|
x2 + x |
цx-1 ; |
|||||||
5. |
Найти пределы функций: а) |
1+2x |
1+ x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x |
|
|
|
limз |
|
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
- x+3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
|
|
|
x®Ґ и x |
|
ш |
|||||
в)lim |
8x- x4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a®Ґ 3x4 + 2x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Исследовать функцию и построить ее |
график: |
а) |
y = x3 - x+3 ; |
||||||||||||||||
б) y = 2x+4arctgx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее значения |
|
|
функции |
||||||||||||
y = 2sin2x+cos4x , xОкй0; |
p |
ъщ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
л |
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
Каким должен быть угол при вершине равнобедренного |
||||||||||||||||||
треугольника заданной площади S , |
чтобы |
радиус |
вписанного в |
|||||||||||||||||
треугольник круга был наибольшим? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
9. |
Найти все точки графика функции y = x2e-x , в которых касательная |
|||||||||||||||||||
параллельна оси OX . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10. При каком значении a |
функция y = aln x+ x2 - x имеет экстремум в |
|||||||||||||||||||
точке x =1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте достаточное условие существования экстремума функции.
2.Дайте определения известных типов асимптот графика функции.
3.Используя определение производной функции найти производную функции y = 2x3 + 5x .
46
Вариант 10
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
3(x-2) |
|
|
|
|
|
1. |
Найти область определения функции |
x |
2 |
-3x . |
||||||||||
y = 2 |
|
|
|
|||||||||||
2. |
Найти производные: а) y = ln(ex + |
|
); б) |
y = sin4 (x+ y2 )-exy = 0; |
||||||||||
1+e2x |
||||||||||||||
в) y = зж |
x-3 |
|
чцex ; г) нмx = ett, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
и 4x+1 |
ш |
оy = t -lnt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции sin(x+ y2 )-exy = 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) |
y = (arcsinxЧ2x )x ; б) y = 4 |
x-1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x+3)5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5. |
|
Найти |
пределы функций: |
а) lim |
|
x-1-2 |
; б) |
; |
||||||||||
|
|
lim(1+ x+sin x)x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®5 |
x-5 |
x®0 |
|
|||||
в) |
lim |
ж |
|
x-1 |
|
ц . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
з |
|
2 |
|
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x®Ґ |
и x |
|
+3x-5ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. Исследовать функцию и построить |
ее график: |
а) y = (x-1) |
|
; |
||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||
б) y = |
|
|
|
x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(x-2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. В конус, радиусом 6 и высотой 12, вписан цилиндр наибольшего объема (основание цилиндра лежит на основании конуса). Найти радиус основания и высоту цилиндра.
8. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y= x + 3 , xО[-5;-1]. 3 x
9.Найти экстремумы функции y = 1-2x Чx .
10. Составить уравнение касательной к графику функции y = -3x2 + 6x+1 в точке пересечения этого графика с осью ординат.
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте необходимое условие существования точек перегиба графика функции.
2.Дайте определение функции.
3.Используя определение производной, выведите производную функции y = sin3x .
|
|
|
|
|
|
|
|
47 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 11 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Найти область определения функции y = |
35-2x- x2 |
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lgx |
|||
2. |
|
Найти производные: |
а) y = 2x6arctgx2 ; б) y = log2(x+3x2 ) |
|
; |
||||||||
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 4 arccos(1+2x)5 ; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нпx = |
t |
|
+1, |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
пy = cos(t2 |
+1). |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции 3xy -ln(x+ y) = 0.
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
функции: а) |
|
ж |
xц2x |
; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
x-1 |
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y |
= зsintg |
2 |
ч |
|
y = |
5x |
- x |
5 |
|
(x+2)2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
и |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
Найти |
пределы |
|
функций: |
а) |
lim |
ж |
5 |
|
|
- |
1 |
|
ц |
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
з |
1+ x |
3 |
|
x+1 |
ч |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®-1 |
и |
|
|
|
ш |
|
|||||||
в)lim |
x(x-3)(x+2) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x®Ґ |
|
x6 -3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить ее график:
б) y = x .
x2 -1
б) |
ж 2x+1цx+5 |
; |
||
|
limз |
2x+2 |
ч |
|
|
x®Ґ и |
ш |
|
а) y = x2 (x+1)2 ;
7. Дан шар радиуса R . Найти конус наибольшего объема, вписанный в этот шар.
мx = t3 +3t -1,
8. Построить график функции п
н
поy = t3 -t +1.
9. На графике |
y = x2 |
найти |
точку с положительной абсциссой, |
|||||
ближайшую точке Aзж0; |
3 |
чц . |
|
|||||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
и 2 |
ш |
|
|
10. Определить |
промежутки |
возрастания и убывания функции |
||||||
y = |
|
x- x3 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Сформулируйте достаточное условие существования точек перегиба графика функции.
2.Какие основные способы вычисления пределов функции существуют?
3.Используя определение производной, выведите производную функции y = 23x .
48
Вариант 12
1. |
Найти область определения функции y = |
lg(-x2 +3x+4) |
. |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
x-2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
y = |
|
|
+2-x |
|
||||||||
2. |
Найти |
производные: |
а) |
|
x |
; б) y = arccos2 (ln(x+1)); |
||||||||||||
|
arctgx |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
м |
|
2 |
|
|
ж |
1+xц |
|
|
|
|
|||||||
в) |
нпx = sin(t |
|
+1), |
|
г) y=2sinзcos |
|
|
|
ч. |
|
|
|
|
|||||
|
+1); |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
пy =1-cos2 (t2 |
и |
|
|
x |
|
ш |
|
|
|
|
|||||||
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции 3y2 -ex cos y +5x3 = 0.
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
|
|
|
|
|
4 ж x |
ц2 |
|
|
tgx |
|||||
функции: а) |
y = 5 x |
з |
|
|
ч |
Ч(x+1); б) |
y = (sin(x-1)) . |
|||||||
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
и x-1 |
ш |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-1 |
; б) |
|||
5. |
Найти |
пределы |
|
функций: |
а) lim |
1+ x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®0 |
|
x2 - x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в)lim |
3 x- x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x®Ґ |
|
x-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
|
xцctg |
px |
; |
|
|
2 |
||||
limз |
2- |
|
ч |
|
|
2 |
|
|
|||
x®2 и |
|
ш |
|
|
6. Исследовать функцию и построить ее график: а) y = x+1 ;
x
б) y = (x-1)e-x .
7.Среди всех конусов с правильным треугольником в осевом сечении найти конус с наибольшим объемом и найти его объем.
8.На графике функции y = x3 -2x -a . Найти точки, в которых
касательная к ней проходит через точку A(1;2).
9.Определить промежутки убывания функции y = x-x3 .
10.На графике функции y = 3x- 2 найти точку, ближайшую к точке
A(3;0).
Контрольные вопросы
1.Дайте определение предела числовой последовательности.
2.Перечислите основные этапы исследования функции и построения графика.
3.Используя определение производной, выведите производную функции y = 3sin3x.
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Вариант 13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3- x |
. |
1. |
Найти область определения функции |
y = |
|
|
x-2 |
|
|
+ |
||||||
|
|
|
|
|
x2 -6x+9 |
|
x-1 |
|
||||||
2. |
Найти производные: а) y = |
|
|
|
|
|
; б) |
y = arcsin(x-ex cosx); |
||||||
|
+ 3 x+ 4 |
|
|
|
|
|||||||||
x |
xcosx |
мx = t2 +3t3,
в) y = sin2 x-cos3 x; г) пн
поy = cos(t3 +1).
3.Найти производную неявной функции 5x2 y2 -sin(xy) = 0.
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
|
|
|
|
)sin x |
3 |
|
|
|
|
|
|
функции: а) |
y = (3 |
|
; б) y = |
(x-2) |
x . |
|
|
|
|
||
x2 +1 |
|
|
|
|
|||||||
5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
(x-1) |
|
|
|
|
|
5. |
Найти |
пределы |
функций: а) |
ж 2x+1 |
цx |
; б) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
limз |
|
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x-3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
x®Ґи |
ш |
|
||
в)lim |
x2 -1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
x®Ґ x4 -3x+1 |
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить ее график:
б) y = x ln 1 . x
lim x2 -2x+1 ;
x®1 x3 -1
а)y = (x-1)2 x ;
7. Представить число a в виде суммы двух квадратов положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим. 8. Найти все общие точки графика функции y = x (x-3)+3x и
касательной, проведенной к этому графику в точке с абсциссой x0 = 3 .
9.На графике y = 2 x -3 найти точку, ближайшую точке A(2;-3).
10.Найти критические точки функции y = cos2xcos7x-sin2xsin7x .
Контрольные вопросы
1.Дайте определение сходящейся, расходящейся, ограниченной, возрастающей, убывающей, числовой последовательности.
2.Как можно задать функцию?
3.Используя определение производной функции. Найти производную функции y = x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
||||
1. Найти область определения функции y = |
|
|
|
x-1 |
. |
|
|
||||||||||||||
sinx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4- x2 |
||||
2. |
Найти производные: а) y = sin(x+15x2 )-ex+1 ; б) |
y = tg(ln |
|
+88cosx)3 ; |
|||||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||||||
в) |
|
|
x |
2 |
+3x-1 |
м |
|
cost |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y = |
|
; г) пx = t -e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(x |
+ |
1) |
3 |
|
+cos2t. |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
пy = t2 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Найти производную неявной функции 2xy -ex+ y - x2 y3 = 0 .
4.Используя логарифмическую производную, найти производную
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции: а) |
y = (x2 -1)tg(x-1) ; б) y = 3 (x+3)5 7 (x-1)9 (x-8)-5 . |
|
||||||||||
5. |
Найти |
пределы функций: а) lim |
x5 -2x+ 2 |
; б) |
lim |
|||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x®0 x2 - x |
x®1 |
|||||
в) |
|
ж |
x-3 |
цx . |
|
|||||||
|
limз |
2x+5 |
ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x®Ґи |
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Исследовать функцию и построить ее график: а)
б) y = ex sin x.
cos (1 - x) -1 ; x -1
y-2 = x-1 ; x2 - x
7.Найти кратчайшее расстояние от точки A(6;-2) до окружности
x2 + y2 = 9 .
8.При каких значениях p из точки A(p;-1) можно провести три
различных касательных к графику функции y = x3 -3x2 +3 . |
|
|
|||||||||
9. |
Найти критические |
точки |
функции f (x)= 9x+ |
1 |
|
и |
среди них |
||||
x |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
указать min . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
10. |
Найти |
наибольшее |
и |
наименьшее значение |
функции |
||||||
|
|
|
й |
p щ |
|
|
|
|
|
||
y = 2sin3x+cos6x |
на отрезке |
к0; |
|
ъ. |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
л |
6ы |
|
|
|
|
|
Контрольные вопросы
1.Дайте определение неявной, сложной функции.
2.Перечислите основные правила вычисления производной функции
вточке.
3.Используя определение производной функции, найти
производную функции y = 1 .
x2