2.12. Движение тела переменной массы

В ньютоновской механике масса считается независящей от скорости, однако это вовсе не означает, что она должна оставаться постоянной в процессе движения тела. Она может меняться, например, при обмене веществом между телом и оружающей средой. Типичным примером движения тела переменной массы является реактивное движение. В процессе работы установленного на ракете двигателя продукты сгорания топлива выбрасываются через сопло двигателя, и масса ракеты постепенно уменьшается.

Основное уравнение динамики материальной тела переменной массы было получено И.В. Мещерским. Рассмотрим систему, состоящую из поступательно движущегося тела переменной массы и отделяющихся от него частиц (рис.2.14). В момент времени масса тела равна , его скорость , полный импульс системы равен . От тела отделяются частицы со скоростью .За время масса отделившихся частиц составила , а масса тела стала равна , скорость тела увеличилась до значения , тогда изменение импульса системы за времяравно. Раскрыв скобки и пренебрегая величиной , получаем , или, где

–скорость отделяющихся частиц по отношению к рассматриваемому телу (относительная скорость). Подставив последнее выражение в закон изменения импульса (2.5), получим уравнение Мещерского:

векторная величина имеет размерность силы и называется реактивной силой. Положив в этом уравнении, получим формулу Циолковского для движения ракеты под действием одной только реактивной тяги:

где - скорость истечения продуктов сгорания из сопла ракеты, измеренная относительно ракеты. Если начальная скорость ракеты равна нулю, а траектория – прямая линия, то скорости и направлены противоположно, и в проекции на направление движения ракеты получаем или.

Если –стартовая скорость ракеты, а – конечная масса ракеты после окончания работы двигателей вследствие выгорания всего топлива, - масса топлива, тогда интегрируя последнее выражение, получим максимальную скорость ракеты: или

Эта формула называется формулой Циолковского.