2.4. Третий закон ньютона
Механическое действие тел друг на друга всегда является их взаимодействием. Если тело 1 действует на тело 2, то при этом обязательно тело 2 действует на тело 1. Так, например, на ведущие колеса электровоза (рис.2.3) действуют со стороны рельсов силы трения покоя, направленные в сторону движения электровоза. Сумма этих сил и есть сила тяги электровоза. В свою очередь, ведущие колеса действуют на рельсы силами трения покоя, направленными в противоположную сторону.
Количественное
описание механического взаимодействия
было дано Ньютоном в его третьем законе
динамики. Для материальных точек этот
закон формулируется так:
Две материальные
точки действуют друг на друга с силами,
равными по величине и направленными
противоположно по прямой, соединяющей
эти точки (рис.2.4):
.
Третий закон справедлив не всегда.
Он выполняется строго в случае контактных
взаимодействий, а также при взаимодействии
находящихся на некотором расстоянии
друг от друга покоящихся тел.
Перейдем теперь
от динамики отдельной материальной
точки к динамике механической системы,
состоящей из
материальных точек. Для
-той
материальной точки системы, согласно
второму закону Ньютона (2.5), имеем:
.
(2.6)
Здесь
и
-
масса и скорость
-той
материальной точки,
- сумма всех действующих на нее сил.
Силы, действующие
на механическую систему, делятся на
внешние и внутренние. Внешние силы
действуют на точки механической системы
со стороны других, внешних тел. Внутренние
силы действуют между точками самой
системы. Тогда силу
в выражении (2.6) можно представить в виде
суммы внешних и внутренних сил:
,
(2.7)
где
–
результирующая всех внешних сил,
действующих на
-тую
точку системы;
-внутренняя
сила, действующая на эту точку со стороны
-й.
Подставим выражение (2.7) в (2.6):
,
(2.8)
просуммировав
левые и правые части уравнений (2.8),
записанных для всех
материальных точек системы, получаем
.
(2.9)
По третьему
закону Ньютона силы взаимодействия
-той
и
-й точек системы равны по модулю и
противоположны по направлению
.
Поэтому сумма всех внутренних сил в уравнении (2.9) равна нулю:
.
(2.10)
Векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему,
называется главным вектором внешних сил
.
(2.11)
Поменяв в
выражении (2.9) местами операции суммирования
и дифференцирования и учитывая результаты
(2.10) и (2.11), а также определение импульса
механической системы (2.3), получаем
.
Это основное уравнение динамики
поступательного движения твердого
тела.
2.5.Центр масс и закон его движения
Центром масс
(инерции) механической системы называется
точке
,
радиус-вектор которой равен отношению
суммы произведений масс всех материальных
точек системы на их радиус-векторы к
массе всей системы:
(2.12)
где
и
-
масса и радиус-вектор
-той
материальной точки,
-общее
число этих точек,
– суммарная масса системы. Если радиус-
векторы проведены из центра масс
,
то
.
Таким образом, центр масс – это геометрическая точка, для которой сумма произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на их радиус-векторы, проведенные из этой точки, равна нулю.
Продифференцировав
формулу (2.12) по времени, получаем выражение
для скорости центра масс:
Тогда импульс
системы равен произведению ее массы на
скорость центра масс:
.
Подставив это выражение в основное
уравнение динамики поступательного
движения твердого тела, имеем:
(2.13)
- центр масс механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору приложенных к системе внешних сил.
Уравнение (2.13) показывает, что для изменения скорости центра масс системы необходимо, чтобы на систему действовала внешняя сила. Внутренние силы взаимодействия частей системы могут вызвать изменения скоростей этих частей, но не могут повлиять на суммарный импульс системы и скорость ее центра масс.
ДЕМОНСТРАЦИЯ 1
Если механическая
система замкнутая, то
и скорость центра масс не изменяется с
течением времени. Таким образом, центр
масс замкнутой системы либо покоится,
либо движется с постоянной скоростью
относительно инерциальной системы
отсчета. Это означает, что с центром
масс можно связать систему отсчета, и
эта система будет инерциальной.