2.10. Гравитационные силы. Закон всемирного тяготения

Все тела в природе взаимно притягивают друг друга. Закон, которому подчиняется это притяжение, был установлен Ньютоном и носит название закона всемирного тяготения: сила, с которой две материальные точки притягивают друг друга, пропорциональна массам этих точек и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними: Здесь– гравитационная постоянная. Сила направлена вдоль прямой, проходящей через взаимодействующие материальные точки (рис.2.11).

В векторной форме сила, с которой вторая материальная точка действует на первую, равна

(2.21)

где -единичный вектор, имеющий направление от первой материальной точки ко второй (рис.2.11). Заменив вектор вектором , получим силу, действующую на вторую материальную точку.

Для определения силы взаимодействия протяженных тел их нужно разбить на элементарные массы , каждую из которых можно было бы принять за материальную точку (рис.2.12). Согласно выражению (2.23), - я элементарная масса тела 1 притягивается к -й элементарной массе тела 2 с силой (2.22)

где –расстояние между элементарными массами.

Просуммировав (2.22) по всем значениям индекса , получим силу, действующию со стороны тела 2 на принадлежащую телу 1 элементарную массу :

(2.23)

Далее просуммировав (2.23) по всем значениям индекса , т.е. сложив силы, приложенные ко всем элементарным массам первого тела, получим силу, с которой тело 2 действует на тело 1:

Это суммирование сводится к интегрированию и является очень сложной математической задачей. В ряде практических задач взаимодействие тел сводится к взаимодействию материальных точек.

2.11.Сила тяжести и вес

Под действием силы притяжения к Земле все тела падают с одинаковым относительно поверхности Земли ускорением . Это означает, что в системе отсчета, связанной с Землей, на всякое тело массы действует сила, называемая силой тяжести. Когда тело покоится относительно поверхности Земли, силауравновешивается реакцией подвеса или опоры, удерживающих тело от падения . По третьему закону Ньютона тело в этом случае действует на подвес или опору с силой равной -, т.е. с силой .

Сила , с которой тело действует на подвес или опору, называется весом тела. Эта сила равна лишь в том случае, когда тело и опора (или подвес) неподвижны относительно Земли. В случае их движения с ускорениемвес не будет равен . Рассмотрим пример (рис.2.13). Подвес в виде укрепленной на рамке пружины движется вместе с телом с ускорением. Уравнение движения тела имеет вид

,

где – реакция подвеса, т.е. сила, с которой пружина действует на тело. По третьему закону Ньютона тело действует на пружину с силой –, которая по определению представляет собой вес тела . Тогда

. (2.24)

Эта формула определяет вес тела в общем случае.

Предположим, что тело и подвес движутся в вертикальном направлении (демонстрация 5). Спроектировав (2.24) на направление отвеса, получаем:

.

Знак «+» соответствует ускорению, направленному вверх, а знак «- » - ускорению, направленному вниз. При свободном падении рамки и =0. Тело находится в невесомости.

Не следует путать силу тяжести и вес. Эти силы приложены к разным телам: –к телу, а – к опоре. Сила всегда равна, независимо от того, движется тело или покоится, сила же веса зависит от ускорения, с которым движутся опора и тело, и может быть как больше, так и меньше .