3. Расчет валов

3.1. Исходные данные

Рис. 3.1. Расчетная схема редуктора

На расчетной схеме (рис.3.1) проставлены размеры для входного и выходного валов. На рисунке обозначено:

с и c₁ – консольные участки входного и выходного вала;

а и a₁ – размеры, определяющие расстояние от средней части ступицы колеса или шестерни до середины соответствующего подшипника в сторону, противоположную от консоли вала;

b и b₁ – размеры участков валов от средней части ступицы колеса или шестерни до середины соответствующего подшипника в сторону, противоположную от консоли вала;

l – размер участка промежуточного вала от средней части ступицы шестерни до средней части ступицы колеса;

b_w1 и b_w2 – ширины зубчатых венцов колес быстроходной и тихоходной ступеней соответственно;

d и d₁ – средний размер диаметра выходного и входного валов соответственно.

3.2. Расчет тихоходного вала

3.2.1. Исходные данные к расчёту вала

Рис. 3.2. Расчётная схема тихоходного вала

Расчётная схема вала редуктора показана на рис. 3.2. На схеме обозначено:

β – угол наклона зуба колеса, закрепленного на валу;

F_З – радиальная сила на консоли вала;

Т – вращающий момент на валу;

a, b, c – осевые размеры различных участков вала (определяем из конструктивных соображений).

3.2.1.1. Числовые и другие параметры к расчёту вала

– вращающий момент на валу Т = 298,6 Н∙м;

– частота вращения вала n = 63,6 мин^-1;

– делительный диаметр колеса d₂ = 292 мм;

– рабочая ширина зубчатого венца колеса b_w2 = 32 мм;

– расстояние от средней части ступицы колеса до середины подшипника в сторону, противоположную от консоли вала a = 45 мм;

– расстояние от средней части ступицы колеса до середины подшипника в сторону к консоли вала b = 45 мм;

– консольный участок выходного вала c = 70 мм;

– на консоли вала – звёздочка цепной передачи;

– материал вала (т.о. нормализация) Сталь 45,

σ_В = 600 МПа; σ_Т = 340 МПа.

3.2.2. Проектный расчёт вала

Принимаем средний диаметр вала d_ср.=35 мм по значениям из ряда предпочтительных чисел (таблица П. 3, [3], с. 24).

3.2.2.1. Выбор подшипника

Выбираем радиальный шариковый подшипник №207 с размерами: D=72 мм; d=35 мм; В=17 мм.

3.2.2.2. Подбор диаметральных размеров вала

Из конструктивных соображений определяются диаметры участков вала под ступицу колеса и звёздочку цепной передачи, которые должны округляться до значений из ряда предпочтительных чисел (таблица П. 3 [3], с. 24). Например, диаметр вала под ступицу колеса выбираем на 5 мм больше, чем под подшипник:

d_к = d + 5 = 35 + 5 = 40 мм,

где d_к – диаметр вала под ступицу колеса.

Диаметр консоли вала под звёздочку цепной передачи выполняем меньшим, чем под подшипник на 3 мм, т.е.

d_з = d – 3 = 35 – 3 = 32 мм,

где d_з – диаметр вала под звёздочку цепной передачи.

3.2.2.2. Расчет сил, приложенных к валу.

Силы в зацеплении известны из расчета зубчатой передачи на ЭВМ:

– окружное усилие F_t = 2181 Н, сила направлена по вращению вала.

– осевая сила F_a = 0 H;

– радиальная сила F_r = 794 H, направлена к оси вращения колеса.

Усилие на консоли вала зависит от конструкции внешних устройств, использующих редуктор в схеме привода. На данном валу располагается звездочка цепной передачи. Рас­считав передачи, можно точно определить радиальное усилие на консоли вала. Однако на момент выполнения расчета вала, передачи еще не рассчитаны и по­этому прямой путь определения усилий на консоли вала невозможен. Использу­ем приближенный метод оценки величины усилия на консоли вала по эмпири­ческой формуле ([3], с. 10):

F_З = с₀ ∙ Т ∙ d_n ^{– 0,771}, H,

где Т – вращающий момент на валу, Н∙м; d_n – внутренний диаметр подшипника консоли, мм; с₀ ­– числовой коэффициент, учитывающий особенности конст­рукции. Для звёздочки с₀ = 162 ([3], с. 10).

Для звёздочки в данном примере получаем:

F_З = 162 ∙ 298,6 ∙ (35)^-0,771 = 3120 Н.

3.2.2.3. Построение эпюр

Вначале производится схематизация конструкции вала. Левый подшипник вала заменяем шарнирно-неподвижной, а правый – шарнирно-подвижной опо­рами. Получаем балку на 2-х опорах.

Силы, действующие на вал, приложены в 2-х плоскостях. Согласно схеме на рис. 3.3, радиальная и осевая силы действует в вертикальной плоскости, а окруж­ная и сила на консоли вала – в горизонтальной плоскости. Рационально построить эпюры для каждой плоскости отдельно, а затем, их геометрически сложить. Индексами 1 будем отмечать реакции опор вала от сил, действующих в вертикальной плоскости, а индексами 2 – реакции опор вала от сил в горизонтальной плоскости.

Вертикальная плоскость. Реакции опор определяются из системы 2-х уравнений для изгибающих момен­тов:

∑(М_И)_А = 0; –F_r∙а + В₁∙(a + b) = 0;

∑(М_И)_В = 0; – А₁∙(a + b) + F_r∙b = 0,

Отсюда находим:

Для проверки правильности найденных значений воспользуемся уравнением сил для данной плоскости:

A₁ – F_r + B₁ = 0; 397 – 794 + 397 = 0 – верно.

Переходим к построению эпюры изгибающих моментов М_u1. На эпюре присутствует скачок, численно равный сосредоточенному изгибающему моменту M_a, возникающему от присутствия осевой силы F_a. Соответственно из­гибающий момент в сечении (под ступицей колеса) составит:

A₁∙a = 397 ∙ 45 ∙ 10^-3 = 17,87 Н∙м;

Горизонтальная плоскость. Направление силы F_З на консоли вала неизвестно. В расчетной схеме силу F_З направляем так, чтобы она увеличивала напря­жения и деформации от силы F_t (худший случай).

Аналогично предыдущему расчету находим реакции опор A₂ и B₂.

∑(М_И)_А = 0; F_t∙а + В₂∙(a + b) – F_З∙(a + b + c) = 0;

∑(М_И)_В = 0; – А₂∙(a + b) – F_t∙b – F_З∙c = 0.

Отсюда находим:

Делаем проверку найденным значениям А₂ и В₂:

A₂ + F_t + B₂ – F_З = 0; – 3517 + 2181 +4456 – 3120 = 0 – верно.

Строим эпюру изгибающих моментов М_И. Распределение изгибающего момента по участкам вала носит здесь линейный характер. Для характерных сечений вала изгибающие моменты соответственно равны:

A₂∙a = – 3517 ∙ 45 ∙ 10^-3 = –158 Н∙м;

F_З∙c = – 3120 ∙ 70 ∙ 10^-3 = – 218 Н∙м.

Суммарная эпюра изгибающих моментов Mи_Σ. Эпюра получается последовательным геометрическим суммированием ординат эпюр М_и1 и М_и2. На суммарной эпюре отмечаем опасные сечения I-I и II-II, как сечения, в которых действуют наибольшие по величине изгибающие моменты, а именно:

Перенося опасные сечения на конструкцию вала, можно отметить:

опасное сечение I-I расположено под ступицей колеса;

опасное сечение II-II находится у правой опоры вала.

Допущения, которые принимаются при расчете валов зубчатых передач на прочность:

1) внешние нагрузки носят сосредоточенный, а не распределенный характер и приложены в средней части ступицы колеса, муфты и т.д.;

2) прочность вала зависит исключительно от напряжений изгиба и кручения, причем наибольшую опасность представляет потеря сопротивления устало­сти из-за циклического характера изменения напряжений. Напряжения рас­тяжения (сжатия) не имеют существенного значения;

3) напряжения изгиба изменяются по симметричному синусоидальному закону, а напряжения кручения имеют «нулевой цикл», при котором амплитудное значение напряжения равно его постоянной составляющей.

Для сечения I-I концентрацию напряжений создает шпоночный паз и возможная посадка ступицы с натягом. Сечение II-II соответствует галтельному переходу от поверхности Ø40 мм к поверхности Ø35 мм, а также посадке внутреннего кольца подшипника с натягом.

3.2.3. Определение запасов сопротивления усталости.

Коэффициенты запаса сопротивления усталости для вала определяются по формулам из курса «Сопротивление материалов» (формулы взяты из [3], с. 15).

Коэффициент запаса по нормальным напряжениям (отсутствует круче­ние):

Коэффициент запаса по касательным напряжениям (отсутствует изгиб):

Коэффициент запаса прочности по усталости:

Условие усталостной прочности определяется неравенством

В приведённых выше формулах обозначено (формулы взяты из [3], с. 16):

Где σ_-1 и τ_-1 – пределы выносливости материала соответственно при изгибе и кручении с симметричным знакопеременным циклом; σ_а и τ_а – амплитуды переменных составляющих напряжений; σ_m и τ_m – постоянные составляющие напряжений, причем σ_m = 0; k_σD и k_τD – суммарные коэффициенты, учиты­вающие влияние всех факторов на сопротивление усталости соответственно при изгибе и кручении (определяем по [3], с. 16):

k_σ и k_τ – эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении; при наличии нескольких концентраторов в одном сечении вала в расчёт принимается тот, у которого больше значение коэффициента; k_d ­­­­­– коэффициент влияния абсолютных размеров поперечного сечения вала; k_f ­­­­­– фактор шероховатости (из [3], с. 16):

где βП – коэффициент, учитывающий влияние шероховатости поверхности.

3.2.3.1.Запасы сопротивления усталости в сечении I-I

Сечение I-I располагается под ступицей колеса. Наибольшая величи­на суммарных изгибающих моментов в этом сечении составляет М_иΣ = 159 Н∙м, а диаметр вала d_k = 40 мм. Концентратором напряжений в сечении служит шпоночный паз и возможная посадка ступицы с натягом.

Расчеты амплитудных значений напряжений производятся по формулам из [3], с. 17:

где Wи и Wр – моменты сопротивления сечения вала. Для сплошного круглого сечения вала (без учёта выреза под шпонку) (из [3], с. 17):

Пределы выносливости для стали 45 (т. о. нормализация)

σ_-1 = 0,4 ∙ 600 = 240 МПа;

τ_-1 = 0,2 ∙ 600 = 120 МПа.

Находим значения коэффициентов концентрации напряжений и сравниваем их для двух вариантов: шпоночного паза и посадки с натягом. При этом

k_d = 0,76 – для Ø40 мм (из [3], с. 18, рисунок 9а);

β_П = 0,92 – шлифование (из [3], с. 18, рисунок 9б).

Шпоночный паз:

для σ_в = 600 МПа k_σ = 1,75, k_τ = 1,5.

Посадка с натягом:

– для σ_в = 600 МПа и Ø28 мм.

k_σ = 3,2 ∙ 0,76 = 2,43, k_τ = 1,8 ∙ 0,76 = 1,37.

Вывод. При малом различии в значениях коэффициента k_τ, коэффициент концентрации напряжений k_σ больше для посадки с натягом, поэтому расчёт следует производить для данного варианта.

k_σ = 2,43; k_τ = 1,37.

k_F = 0,2∙2,43 + (1 – 0,2∙2,43)∙0,2 = 0,95.

k_v = 1 – упрочнение поверхности вала не предусматривается.

ψ_σ = 0,1; ψ_τ = 0,05 – для среднеуглеродистой стали (таблица 3, [3], с. 17).

Условие усталостной прочности для сечения выполняется.

3.2.3.2. Запасы сопротивления усталости в сечении II-II.

Сечение II-II располагается у подшипника правой опоры вала. Наибольшая величина суммарных изгибающих моментов М_иΣ = 218 Н∙м, диаметр вала в этом сечении d_п = 35 мм. Концентратором напряжений в сечении служит галтель радиусом r = 1 мм и посадка внутреннего кольца с натягом.

МПа;

МПа.

Находим значения коэффициентов концентрации напряжений и сравниваем их для двух вариантов: галтели и посадки с внутреннего кольца подшипника с натягом.

k_d = 0,8 – для Ø35 мм (из [3], с. 18, рисунок 9а);

ψ_σ = 0,1; ψ_τ = 0,05 – среднеуглеродистая сталь (таблица 3, [3], с. 17).

Галтель (r =1):

для отношений

r/d = 1/35 = 0,028

По графикам ([3], с. 25, рисунок П.1)

k_σ = 1,93; k_τ = 1,6.

Посадка с натягом:

для σ_в = 600 МПа и Ø35 мм (по [3], с. 26, рисунок П.3).

k_σ = 2,79 ∙ k_d = 2,79 ∙ 0,8 = 2,23;

k_τ = 1,58 ∙ k_d = 1,58 ∙ 0,8 = 1,26.

Вывод: При небольшом различии в значениях коэффициента k_σ, коэффициент концентрации напряжений k_τ больше для галтели, поэтому расчёт следует производить для данного варианта.

k_σ = 1,93; k_τ = 1,6.

β_П = 0,92 – шлифование (из [3], с. 18, рисунок 9б).

k_F = 0,2∙1,93 + (1 – 0,2∙1,93)∙0,92 = 0,95;

k_v = 1 – упрочнение не предусматривается.

Запасы сопротивления усталости составят:

;

;

.

Условие усталостной прочности для сечения выполнено.

3.2.4. Проверка статической прочности вала.

Проверка осуществляется в целях предупреждения пластических деформаций в моменты кратковременных перегрузок, например, пусковых. Эквивалентные напряжения вычисляют по формуле из [3], с. 21:

– условие прочности,

где [σ]_max ≈ 0,8∙σ_Т = 0,8 ∙ 340 = 272 МПа (по формуле из [3], с. 18).

σ_Т = 340 МПа – предел текучести материала.

При перегрузках напряжения в опасных сечениях увеличиваются в К₀ раз.

Условие прочности по эквивалентным напряжениям проверяется для наиболее напряжённого опасного сечения, где имеют место большие амплитудные значения напряжений. В рассматриваемом случае это сечение I-I:

σ_u = 2 ∙ σ_a = 2 ∙ 50,8 = 101,6 МПа;

τ = 2(τ­_а + τ_m) = 2(17,4 + 17,4) = 69,6 МПа;

МПа.

Условие статической прочности выполняется.