4.5.Потенциальная энергия взаимодействия

Рассмотрим замкнутую систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц (рис.4.9). Введем вектор , гдеи- радиус-векторы частиц. Расстояние между частицами равно модулю этого вектора. Будем считать, что силы взаимодействия частицизависят только от расстояниямежду ними, и направлены вдоль прямой, соединяющей частицы:

, (4.13)

где - некоторая функция,- орт вектора(рис.4.10). По третьему закону Ньютона= . Уравнения движения

частиц

.

Умножим первое уравнение на , второе – наи сложим:

. (4.14)

Левая часть этого выражения представляет собой приращение кинетической энергии системы за время , а правая часть – работу внутренних сил за то же время:

.

Подставив в это выражение формулу (4.13), получаем

.

Из рис.4.10 видно, что скалярное произведение равно приращению расстояния между частицами. Тогда

.

Выражениеесть приращение некоторой функции от:

.

Следовательно,и выражение (4.14) можно представить в виде:

.

или таким образом, величинадля замкнутой системы сохраняется. Функцияпредставляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояния между частицами. Работа внутренних сил

Т.е. не зависит от путей, по которым перемещались частицы, а определяется только начальными и конечными расстояниями между частицами. Таким образом, силы взаимодействия вида (4.13) являются консервативными.

4.6. Закон сохранения полной механической энергии в поле консервативных сил

Сведем вместе результаты, полученные в предыдущих параграфах. Рассмотрим систему, состоящую из частиц с массами. Частицы взаимодействуют друг с другом силами, модули которых зависят только от расстояниямежду частицами. Ранее было установлено, что такие силы являются консервативными, и работа, совершаемая этими силами над частицами, определяется начальной и конечной конфигурациями системы. Пусть, кроме внутренних сил, на-ю частицу действует внешняя консервативная силаи внешняя неконсервативная сила. Уравнение движения для-той частицы имеет вид

.

Умножив это уравнение на и сложив вместе всеуравнений, получаем:

Левая часть этого выражения представляет собой приращение кинетической энергии системы: . Первое слагаемое правой части равно убыли потенциальной энергии взаимодействия, как

следует из выражения (4.14): .

Второе слагаемое равно убыли потенциальной энергии системы во внешнем поле консервативных сил: . Последнее слагаемое представляет собой работу внешних неконсервативных сил. Окончательно получаем:.

Величина есть полная механическая энергия системы. Если на систему не действуют внешние неконсервативные силы, то полная механическая энергия сохраняется. Это закон сохранения механической энергии.

Для замкнутой механической системы этот закон формулируется следующим образом: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной.

Если в замкнутой системе, кроме консервативных, действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия не сохраняется, и ее изменение равно работе неконсервативных сил:

Проинтегрировав, получаем: .

В этом случае механическая энергия переходит в другие виды энергии, и выполняется более общий закон сохранения всех видов энергии.