1.2.2. Диполь во внешнем электрическом поле

Если диполь поместить в однородное электрическое поле, то на заряды диполя ибудут действовать равные по величине и проти­воположные по направлению силыи(рис 1.2.1). Эти силы обра­зуют пару, плечо которой равно, т.е. зависит от ориентации диполя в поле. Модуль каждой силыравен . Момент пары сил

,

где - электрический момент диполя. Переходя к векторной форме записи, получаем:.

Момент стремится повернуть диполь так, чтобы его момент установился по направлению поля.

Чтобы увеличить угол между векторами и на, нужно совершить работупротив сил, действующих на диполь в электрическом поле:

.

Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии , которой обладает диполь в электрическом поле. Вся потенциальная энергия диполя определяется интегралом:

.

Будем считать константу интегрирования равной нулю, тогда . Энергия диполя=0, если диполь установлен перпендикулярно полю (). Если диполь ориентирован по полю, то его энергия минимальна:. Энергия диполя максимальна, когда он ориентирован против поля: .

В неоднородном поле силы и, действующие на диполь, в общем случае неодинаковы, поэтому их результирующаяотлична от нуля. Если поле изменяется в направлении осиХ, проекция сил на ось Х:

. (1.2.3)

Таким образом, в неоднородном поле на диполь, кроме вращательного момента (1.2.2) действует сила (1.2.З). Под действием этой силы диполь будет либо втягиваться в область более сильного поля (угол - острый), либо выталкиваться из нее (- тупой).

1.2.3 Поляризация диэлектриков. Ориентационный и деформационный механизмы поляризации. Дипольный момент системы зарядов. Диэлектрическая восприимчивость для полярных и неполярных диэлектриков

В отсутствии внешнего электрического поля дипольные моменты мо­лекул диэлектрика с неполярными молекулами равны нулю. В диэлектрике с полярными молекулами дипольные моменты распределены по направлениям в пространстве хаотически, и суммарный электрический момент диэлектрика равен нулю.

Под действием внешнего поля диэлектрик поляризуется и его результирующий момент становится отличным от нуля. Степень поляризации оценивают электрическим моментом единицы объема:

Величина называется вектором поляризации диэлектрика. У всех диэлектриков, кроме сегнетоэлектриков, вектор поляризации пропорционален напряженности:

, (1.2.4)

где - независящая отбезразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью. Для диэлектриков, построенных из неполярных молекул, имеет место деформационный механизм поляризации (под действием поля положительные заряды в молекуле смещаются в направлении поля, отрицательные – против поля, молекула деформируется и приобретает форму диполя) формула (2.4) вытекает из следующих соображений. В пределы объемапопадает количество молекул, равное, где- число молекул в единице объема. Каждый из моментовмолекул определяется как. Тогда. Разделив это выражение на, получим для вектора поляризации. Обозначив, приходим к формуле (1.2.4).

Если диэлектрик построен из полярных молекул, ориентирующему действию внешнего поля препятствует тепловое движение молекул. Оно стремится разбросать дипольные моменты молекул по всем направлениям. В результате устанавливается некоторая преимущественная ориентация дипольных моментов молекул в направлении поля (ориентационный механизм поляризации), и поляризация пропорциональна напряженности поля, т.е. выполняется соотношение (1.2.4). Диэлектрическая восприимчивость таких диэлектриков обратно пропорциональна абсолютной температуре.

Из сказанного выше ясно, что диэлектрическая восприимчивость характеризует способность вещества поляризоваться, т.е. изменять свою поляризациюпод действием электрического поля: .

Диэлектрическая восприимчивость является одним из основных параметров диэлектрика. Если диэлектрик анизотропный, то направления векторов ине совпадают, ипредставляет собой тензор. В этом случае связь векторовиимеет вид:

1.2.4. ПОЛЕ ВНУТРИ ДИЭЛЕКТРИКА. СВОБОДНЫЕ И СВЯЗАННЫЕ ЗАРЯДЫ. РАЗЛОЖЕНИЕ ПОЛЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ ПО МУЛЬТИПОЛЯМ. ВЕКТОР ПОЛЯРИЗАЦИИ (ПОЛЯРИЗОВАННОСТИ) ДИЭЛЕКТРИКА И ЕГО СВЯЗЬ С ОБЪЕМНОЙ И ПОВЕРХНОСТНОЙ ПЛОТНОСТЬЮ СВЯЗАННЫХ ЗАРЯДОВ

Заряды, входящие в состав молекул диэлектрика, называются связанными. Под действием поля связанные заряды могут лишь немного смещаться из своих положений равновесия. Покинуть пределы молекул, в состав которых они входят, связанные заряды не могут.

Заряды, находящиеся внутри диэлектрика, которые не входят в состав его молекул, а также заряды, расположенные за пределами диэлектрика, называются свободными или сторонними.

Поле в диэлектрике является суперпозицией поля , создаваемого сторонними зарядами, и полясвязанных зарядов. Результирующее поле называется истинным или микроскопическим:.

Микроскопическое поле сильно меняется в пределах межатомных расстояний, а вследствие движения зарядов это поле меняется и со временем. Поэтому в качестве характеристики поля используются усредненные по бесконечно малому объему значения величин:

.

Если сторонние заряды неподвижны, поле обладает теми же свойствами, что и электростатическое поле в вакууме.

Когда диэлектрик неполяризован, объемная плотность и поверхностная плотностьсвязанных зарядов равна нулю. В результате поляризации поверхностная плотность, а в ряде случаев и объемная плотность связанных зарядов, становятся отличными от нуля. Под действием внешнего поля происходит смещение зарядов в неполярных молекулах и поворот диполей в полярных молекулах (рис.1.2.2) так, что положительные заряды смещаются по полю, а отрицательные – против поля. Разноименные связанные заряды, находящиеся внутри однородного диэлектрика, компенсируют друг друга. Связанные же заряды, находящиеся на поверхности диэлектрика, скомпенсированы быть не могут, и на поверхности остается избыточный заряд одного знака. Та поверхность диэлектрика, в которую линии векторавходят, получает отрицательный связанный заряд, а та поверхность, из которой линии векторавыходят, - положительный связанный заряд.

Найдем связь между вектором поляризации и поверхностной плотностью связанных зарядов. Рассмотрим бесконечную плоскопараллельную пластину из однородного изотропного диэлектрика, помещенную в однородное электрическое поле (рис 1.2.3). Выделим в диэлектрике элементарный объемв виде цилиндра, образующие которого параллельны, а основаниесовпадает с поверхностью пластины. Этот объем равен, где- угол между вектороми внешней нормальюк положительно заряженной поверхности диэлектрика,- толщина пластины,- расстояние между основаниями цилиндров. Объемимеет электрический момент, где- модуль вектора поляризации. Этот объем эквивалентен диполю, образованному зарядамии, отстоящими друг от друга на расстояние. Его электрический момент, тогда, и

(1.2.5)

где - составляющая вектора поляризации по внешней нормали к соответствующей поверхности. Для правой поверхности (рис.1.2.3), поэтому, для левойи. Известно, что, тогда

(1.2.6)

где - нормальная составляющая напряженности поля внутри диэлектрика.

Из формулы (1.2.6) следует, что, если- линии напряженности выходят из диэлектрика, то на поверхности появляются положительные связанные заряды. Если- линии напряженности входят в диэлектрик, то на поверхности появляются отрицательные заряды.Формулы (1.2.5) и (1.2.6) справедливы и в общем случае, когда неоднородный диэлектрик произвольной формы находится в неоднородном электрическом поле.

Найдем объемную плотность связанных зарядов, возникающих внутри неоднородного диэлектрика. В неоднородном изотропном диэлектрике с неполярными молекулами рассмотрим воображаемую малую площадку (рис 1.2.4). Пусть в единице объема диэлектрика имеетсяn одинаковых частиц с зарядом иодинаковых частиц с зарядом. В небольшой окрестностиполе и диэлектрик можно считать однородными. Поэтому при включении поля все положительные заряды, находящиеся вблизи, сместятся в направлениина расстояние, а отрицательные - противоположнона расстояние. При этом через площадкупройдет в направлении нормали к ней некоторое количество зарядов одного знака (положительных, если, или отрицательных, если).

Площадку пересекут все заряды, которые до включения поля отстояли от нее более, чем на, то есть все заряды, заключенные в косом цилиндре объемом. Число этих зарядов равно, а переносимый ими в направлении нормали к площадке заряд равен(призаряд, переносимый за счет смещения положительных зарядов, будет отрицательным). Аналогично, площадкупересекут все заряды, заключенные в косом цилиндре объемом.Эти заряды перенесут в направлении нормали к площадке заряд(призарядыперенесут черезв направлении, противоположном, заряд, что эквивалентно переносу в направлениизаряда).

Таким образом, при включении поля через площадку переносится заряд в направлении нормали:

. (1.2.7)

Ясно, что - это расстояние, на которое смещаются друг относительно друга положительные и отрицательные связанные заряды в диэлектрике. В результате этого смещения каждая пара зарядов приобретает дипольный момент. Число таких пар в единице объема равно. Тогда модуль вектора поляризации равен

. (1.2.8)

Сучетом формулы (1.2.8) выражение (1.2.7) принимает вид:. Диэлектрик изотропный, поэтому направленияисовпадают, иесть угол междуи, поэтому, и для бесконечно малой площадки:- это связанный заряд, который проходит при включении поля через элементарную площадкув направления нормали к ней.

Рассмотрим замкнутую поверхность , расположенную внутри диэлектрика. При включении поля эту поверхность пересечет и выйдет наружу связанный заряд:причем,- это поток вектора поляризации через: поверхность. В результате выхода зарядав объеме, ограниченном поверхностью, останется избыточный связанный заряд:. Этот заряд равен, где- объемная плотность связанных зарядов. Интеграл бёрется по объему, ограниченному поверхностью. Тогда. Применим к этому выражению теорему Стокса, получаем:, или

(1.2.9)

- объемная плотность связанных зарядов равна дивергенции вектора , взятой с обратным знаком.

Точки с (рис. 1.2.5) служат источниками поля вектора, из этих точек линии векторарасходятся. Точки с(рис.1.2.6) служат стоками поля вектора, к этим точкам линиисходятся. При поляризации диэлектрика положительные связанные заряды смещаются в направлении вектора, а отрицательные связанные заряды - в противоположном. В результате в местах с положительной дивергенциейобразуется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной- избыток положительных связанных зарядов.

Связанные заряды отличаются от сторонних лишь тем, что не могут покинуть пределы молекул, в состав которых они входят. В остальном их свойства не отличаются от свойств других зарядов. Поэтому, если плотность связанных зарядов отлична от нуля, теорему Гаусса для вектораследует писать в виде:

, (1.2.10)

тогда уравнение Пуассона принимает вид , где- плотность сторонних (свободных) зарядов. Из (1.2.9) имеем

или , и

. (1.2.11)

Из выражения (1.2.11) следует, что объемная плотность связанных зарядов может быть отлична от нуля в двух случаях: - если диэлектрик неоднороден, ; и, - если в данном месте диэлектрика плотность сторонних зарядов отлична от нуля,.

Если внутри диэлектрика сторонних (свободных) зарядов нет, имеем:

.