7.Элементы механики сплошных сред

7.1. Общие свойства жидкостей и газов. Кинематическое описание движения жидкости. Векторные поля. Поток и циркуляция векторного поля. Стационарное течение идеальной жидкости. Линии и трубки тока. Уравнения движения и равновесия жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Механика сплошных сред – это раздел механики, посвященный изучению движения и равновесия газов, жидкостей, плазмы и деформируемых твердых тел. Основное допущение механики сплошных сред состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц).

Жидкость – это вещество в конденсированном состоянии, промежуточном между твердым и газообразным. Область существования жидкости ограничена со стороны низких температур фазовым переходом в твердое состояние (кристаллизация), а со стороны высоких температур – в газообразное (испарение). При изучении свойств сплошной среды сама среда представляется состоящей из частиц, размеры которых много больше размеров молекул. Таким образом, каждая частица включает в себя огромное количество молекул.

Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.

Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором(рис.7.1). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линийк величине перпендикулярной к ним площадки, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине векторав разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.

Число линий тока, проходящих через площадку , перпендикулярную к линиям тока, равно, если площадка ориентирована произвольно к линиям тока, число линий тока равно, где- угол между направлением вектораи нормалью к площадке. Часто используют обозначение. Число линий тока через площадкуконечных размеров определяется интегралом:. Интеграл такого вида называется потоком векторачерез площадку.

Величина и направление вектораменяется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.

Поток вектора через некоторую поверхность и циркуляция вектора по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля. Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно придти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке.

Рассмотрим поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Построим в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис.7.2). Если в объеме V, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.е.точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) или удаляется из объема (стоки).Величина потока определяет суммарную мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток положительный, при преобладании стоков – отрицательный.

Частное от деления потока на величину объема, из которого поток вытекает, , есть средняя удельная мощность источников, заключенных в объемеV. Чем меньше объем V, включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее значение к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при , т.е. при стягивании объема в точку, мы получим истинную удельную мощность источников в точкеР, называемую дивергенцией (расхождением) вектора :. Полученное выражение справедливо для любого вектора. Интегрирование ведется по замкнутой поверхностиS,ограничивающей объем V. Дивергенция определяется поведением векторной функции вблизи точкиР. Дивергенция - это скалярная функция координат, определяющих положение точкиР в пространстве.

Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(x,y,z) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат (рис.7.3). В виду малости объема (его будем стремить к нулю) значения в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.

Найдем поток через пару граней, перпендикулярных ост Х на рис.7.3 грани 1 и 2). Внешняя нормаль к грани 2 совпадает с направлением осиХ. Поэтому и поток через грань 2 равен.Нормальимеет направление, противоположное осиХ. Проекции вектора на осьХ и на нормальимеют противоположные знаки,, и поток через грань 1 равен. Суммарный поток в направленииХ равен . Разностьпредставляет собой приращение при смещении вдоль оси Х на . Ввиду малостиэто приращение можно представить в виде. Тогда получаем. Аналогично, через пары граней, перпендикулярных осямY и Z , потоки равны и. Полный поток через замкнутую поверхность. Разделив это выражение на ,найдем дивергенцию вектора в точкеР:

.

Зная дивергенцию вектора в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностьюS, на бесконечно большое число бесконечно малых элементов (рис.7.4).

Для любого элемента поток вектора через поверхность этого элемента равен . Просуммировав по всем элементам , получаем поток через поверхностьS, ограничивающую объем V: , интегрирование производится объемуV, или

.

Это теорема Остроградского – Гаусса. Здесь,- единичный вектор нормали к поверхностиdS в данной точке.

Вернемся к течению несжимаемой жидкости. Построим контур . Представим себе, что мы каким-то образом заморозили мгновенно жидкость во всем объеме за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур(рис.7.5). В зависимости от характера течения жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо движущейся (циркулирующей) вдоль контура в одном из возможных направлений. В качестве меры этого движения выбирается величина, равная произведению скорости жидкости в канале и длины контура,. Эта величина называется циркуляцией векторапо контуру(так как канал имеет постоянное сечение и модуль скорости не меняется). В момент затвердевания стенок у каждой частицы жидкости в канале будет гаситься составляющая скорости, перпендикулярная к стенке и останется лишь составляющая, касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс, модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длиной, равен, где- плотность жидкости,- сечение канала. Жидкость идеальная – трения нет, поэтому действие стенок может изменить только направление, его величина останется постоянной. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма импульсов сохраняется, поэтому, где - скорость циркуляции, - касательная составляющая скорости жидкости в объеме в момент времени, предшествовавший затвердеванию стенок. Разделив на ,получим .

Циркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура. Чтобы получить характеристику поля в точкеР, нужно уменьшит размеры контура, стягивая его в точку Р. При этом в качестве характеристики поля берут предел отношения циркуляции вектора по плоскому контуру, стягивающемуся в точкуР, к величине плоскости контура S: . Величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р, но и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура правилом правого винта). Определяя этот предел для разных направлений, мы получим разные его значения, причем для противоположный направлений нормаль эти значения отличаются знаком. Для некоторого направления нормали величина предела будет максимальной. Таким образом, величина предела ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение предела определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется ротором или вихрем вектора:.

Чтобы найти проекции ротора на оси декартовой система координат, нужно определить значения предела для таких ориентаций площадки S , при которых нормаль к площадке совпадает с одной из осейX,Y,Z. Если, например, направить по оси Х, найдем . Контуррасположен в этом случае в плоскости, параллельнойYZ, возьмем контур в виде прямоугольника со сторонами и. Призначенияина каждой из четырех сторон контура можно считать неизменными. Участок 1 контура (рис.7.6) противоположен осиZ, поэтому на этом участке совпадает с , на участке 2 , на участке 3 , на участке 4 . Для циркуляции по этому контуру получаем значение: . Разность представляет собой приращение при смещении вдоль Y на . Ввиду малостиэто приращение можно представить в виде.Аналогично, разность . Тогда циркуляция по рассматриваемому контуру ,

где - площадь контура. Разделив циркуляцию на , найдем проекцию ротора на ось Х: . Аналогично, , . Тогда ротор вектора определяется выражением: +,

или .

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой поверхностиS, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему поверхностьS. Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы (рис.7.7). Циркуляция по контуру, ограничивающему равна , где - положительная нормаль к элементу . Просуммировав эти выражения по всей поверхности S и подставив выражение для циркуляции, получим . Это теорема Стокса.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор ,будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока, и частицы жидкости не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S(рис.7.8.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время через сечениеS пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения. Следовательно, за времячерез сечениеS пройдет объем жидкости, равный , а за единицу времени через сечениеS пройдет объем жидкости, равный .. Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениямии(рис.7.9.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сеченияи, должны быть одинаковыми:

.

Таким образом, для несжимаемой жидкости величина в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

.Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.

Движение идеальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:

,

где t - время, x,y,z – координаты жидкой частицы, - проекции объемной силы , р – давление, ρ – плотность среды. Это уравнение позволяет определить проекции скорости частицы среды как функции координат и времени. Чтобы замкнуть систему, к уравнению Навье- Стокса добавляют уравнение неразрывности, которое является следствием теоремы о неразрывности струи:

. Для интегрирования этих уравнений требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия.