1.1.8. Теорема гаусса в дифференциальной форме. Дивергенция векторного поля

Рассмотрим теперь дифференциальную форму теоремы Гаусса. Пусть в некоторой точке с координатаминапряженность поля (рис.1.1.16) равна _. Построим около точки прямоугольный бесконечно малый параллелепипед объемом. Объемная плотность заряда в нем равнаи зависит от координат выбранной точки поля:.

Поток вектора через правую грань (1) равен:,

а через левую (2):,

Поэтому поток вдоль оси равен

Таким же образом для верхней и нижней грани получим:,

для задней и передней:.

По теореме Гаусса , причем- заряд, заключенный внутри объема(ввиду малостиможно считать чтовнутри параллелепипеда всюду одинакова),, тогда

, или

Сумма, стоящая в левой части, называется дивергенцией вектора ,

, или

-дивергенция вектора напряженности равна объемной плотности зарядов, создающих поле, деленной на .Это выражение представляет собой теорему Гаусса в дифференциальной форме. Она характеризует поле в точке. Электрические заряды являются источниками и стоками поля вектора . Линии вектораначинаются и заканчиваются на электрических зарядах. Если- это источник поля, если- сток поля. Если, то в данной точке нет зарядов, линиине прерываются.

1.1.9.Потенциальный характер электростатического поля. Работа сил поля при перемещении зарядов. Циркуляция и ротор векторного поля. Теорема стокса в интегральной и дифференциальной форме

Работа, совершаемая силами электростатического поля при перемещении заряда на отрезок, определяется выражением:

Разделив на величину заряда , получим работу по перемещению единичного положительного заряда:

Работа, совершаемая при перемещении единичного положительного заряда по конечному пути , равна интегралу

. (1.1.2)

Здесь - сила Кулона, которая является центральной силой. Из механики известно, что поле центральных сил консервативно. Следовательно, работа электростатического поля по перемещению заряда не зависит от траектории, а определяется только начальной и конечными ее точками. Работа по замкнутому пути равна нулю. Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным. Тогда из (1.1.2) имеем:

(1.1.3)

- циркуляция вектора по замкнутому пути равна нулю.Поле, обладающее такими свойствами, называется потенциальным.

Докажем потенциальный характер электростатического поля.

Рассмотрим сначала работу электрических сил в поле элементарного точечного заряда . Работа этих сил при бесконечно малом перемещениипробного единичного положительного заряда равна:

,

Из рис. 1.1.17 видно, что - это приращение численного значения радиус-вектора , то есть увеличение расстояния пробного зарядаот заряда. Поэтому работаможет быть представлена как полный дифференциал скалярной функции точки:

,

где - численное значение радиус-вектора. Тогда работа по перемещению единичного положительного заряда из точкив точкупо конечному путиравна:

,

где и- расстояния начальной и конечной точек пути от заряда. Таким образом, работа электрических сил на произвольном пути в поле неподвижногоэлементарного точечного заряда действительно зависит от положений начальной и конечной точек этого пути и не зависит от формы пути. На рис.1.1.18 работа на пути равна работе на пути: избыточная работа, совершаемая на путипри перемещении пробного заряда за пределы сферы радиуса, компенсируется отрицательной работой, совершаемой при последующем приближении пробного заряда к зарядуна последнем участке пути. Таким образом, поле неподвижного точечного заряда есть поле потенциальное.

Очевидно, сумма потенциальных полей тоже есть потенциальное поле (так как если работа слагаемых сил не зависит от формы пути, то и работа равнодействующей от нее не зависит). Поле произвольной системы зарядов можно рассматривать как сумму полей каждого из точечных зарядов, поэтому всякое электростатическое поле есть поле потенциальное.

Согласно интегральной форме теоремы Стокса циркуляция векторного поля равна , тогда проекция на произвольное направление поляравна, где- бесконечно малая площадка, проходящая через точкуперпендикулярно вектору.

Так как циркуляция вектора по замкнутому контуру равна нулю,, то, или

. (1.1.4)

Так как направление выбрано произвольно, то проекцияна любые направления равна 0, поэтому из (1.1.4)во всех точках электростатического поля, то есть электростатическое поле является безвихревым. Это дифференциальная форма теоремы Стокса для электростатического поля. Выражения (1.1.3) и (1.1.4) эквивалентны.