1.4.2. Энергия заряженного проводника

Будем считать среду, в которой находятся электрические заряды и заряженные тела, однородной и изотропной, не обладающей сегнетоэлектрическими свойствами.

Заряжая некоторый проводник, необходимо совершить определенную работу против кулоновских сил отталкивания между одноименными электрическими зарядами. Эта работа идет на увеличение электрической энергии заряженного проводника, которая в данном случае аналогична потенциальной энергии в механике.

Рассмотрим проводник, имеющий электроемкость , заряди потенциал. Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении зарядаиз бесконечности на проводник равна

.

Для того, чтобы зарядить тело от нулевого потенциала до потенциала , необходимо совершить работу. Ясно, что энергия заряженного тела равна той работе, которую нужно совершить, чтобы зарядить это тело:.

Энергию называют собственной энергией заряженного тела. Ясно, что собственная энергия есть не что иное, как энергия электростатического поля этого тела.

1.4.3. Энергия заряженного конденсатора. Объемная плотность энергии электростатического поля

Пусть потенциал обкладки конденсатора, на которой находится заряд , равен, а потенциал обкладки, на которой находится заряд,. Энергия такой системы зарядов, то есть равна собственной энергии системы зарядов, где- напряжение между обкладками конденсатора,.

Рассмотрим плоский конденсатор. Энергия, заключенная в единице объема электростатического поля называется объемной плоскостью энергии. Эта объемная плоскость должна быть одинаковой во всех точках однородного поля, а полная энергия поля пропорциональна его объему. Известно, что ,, тогда для энергии имеем:, но- объем электростатического поля между обкладками конденсатора, то есть. Тогда объемная плотность энергииоднородного электростатического поля конденсатора равна, и определяется его напряженностью или смещением. В случае неоднородных электрических полей

Найдем энергию сферического конденсатора. На расстоянии от центра заряженного шара напряженность его электростатического поля равна. Рассмотрим бесконечно тонкий шаровой слой, заключенный между сферами радиусови. Объем такого слоя:. Энергия слояследовательно,

.

Тогда полная энергия заряженного шара равна:

,

где - радиус шара. Емкость шара, следовательно,- энергия электростатического поля сферического конденсатора равна его собственной энергии, так как заряженное тело потому и обладает электрической энергией, что при его зарядке была совершена работа против сил создаваемого им электростатического поля.

1.4.4.Энергия поляризованного диэлектрика. Объемная плотность энергии электрического поля в диэлектрике

Рассмотрим однородный изотропный диэлектрик, находящийся во внешнем электрическом поле. Процесс поляризации связан с работой по деформации электронных орбит в атомах и молекулах и по повороту осей молекул-диполей вдоль поля. Ясно, что поляризованный диэлектрик должен обладать запасом электрической энергии.

Если поле напряженностью создано в вакууме,, то объемная плотность энергии этого поля в точке с напряженностьюравна:

Докажем, что объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика в этой точке выражается формулой:.

Рассмотрим диэлектрик с неполярными молекулами. Молекулы такого диэлектрика являются упругими диполями. Электрический момент упругого диполя, находящегося в поле с напряженностью , равен, где- поляризуемость диполя, или в скалярной форме:

, (1.4.1)

где - заряд и плечо диполя.

На заряд со стороны поля действует сила, которая при увеличении длины диполя насовершает работу. Из выражения (1.4.1) получаем:, поэтому

. (1.4.2)

Чтобы найти работу поля при деформации одного упругого диполя, надо проинтегрировать выражение (1.4.2):

.

Работа равна той потенциальной энергии, которой обладает упругий диполь в электрическом поле напряженностью. Пусть- число диполей в единице объема диэлектрика. Тогда потенциальная энергия всех этих диполей, то есть объемная плотность энергии поляризованного диэлектрика равна:. Однако- модуль вектора поляризации, тогда. Известно, что, и, тогда, что и требовалось доказать.