- •Лабораторная работа вм №7
- •Исследование резонансных явлений
- •В электрических цепях
- •Требования техники безопасности
- •Краткие теоретические сведения
- •1.1. Свободные колебания в контуре
- •1.2. Свободные затухающие колебания в контуре
- •1.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре
- •1.4.Резонанс в параллельном контуре
- •1.5.Переменный ток
- •Порядок выполнения работы
- •5. Требования к оформлению отчета
- •6. Контрольные вопросы
- •7. Литература
1.3. Вынужденные электрические колебания. Резонанс в последовательном контуре
Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или подать на контур переменное напряжение (рис.5).
Рис.
5
По второму правилу Кирхгофа
или . Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний
(2)
Частное решение этого уравнения
(3)
где Подставим и :
Общее решение получится, если к частному решению (3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено в предыдущем параграфе. Оно содержит множитель , который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени им можно пренебречь. Таким образом, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (3).
Силу тока в контуре при установившихся колебаниях найдем, продифференцировав (3) по времени:
где - сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда
Из этого выражения следует, что ток отстает по фазе от напряжения ()при . И опережает напряжение () при . Для силы тока можно записать
. (4)
Представим соотношение (2) в виде:. Произведение - падение напряжения на активном сопротивлении; - падение напряжения на конденсаторе; – напряжение на индуктивности; тогда можно записать
. (5)
Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.
Согласно (4) - напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в контуре.
Для напряжения на конденсаторе, подставив (3), имеем – напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.
Напряжение на индуктивности
,
где , – напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.
Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы. Действительно, гармонические колебания можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний , а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (рис. 6).
Рис.
6
При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс. Резонансная частота для напряжения на конденсаторе и для заряда q равна:
Резонансные кривые для имеют вид, представленный на рис.7. Все резонансные частоты . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке – это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения . Максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β=R/2L, то есть чем меньше R и больше L. Ход резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.
Рис.
7
Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда , то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:
Рис.
8
При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно считать равной . Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:
– то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.
Итак, при резонансе причём поэтому
– амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивности равны между собой, но противоположны по фазе. Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя как цепь только с активным сопротивлением. Вся энергия, приложенная к контуру идёт, на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного и емкостного.