Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ВМ №7.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
08.03.2015
Размер:
776.7 Кб
Скачать

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная технологическая

академия им. П.А. Соловьева

КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

УТВЕРЖДЕНО

на заседании методического

семинара кафедры ОиТФ

« » _________ 2007 г.

Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.

Лаборатория «Волновая механика»

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА№ ВМ – 7

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЯВЛЕНИЙ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Нормоконтроль

Автор: к. т. н., доцент Суворова З. В.

____________

___________________

Рецензент: к. ф–м. н., доцент Шалагина Е.В.

___________________

Рыбинск 2007

ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

  1. Убедитесь в присоединении заземляющих проводов к корпусам осциллографа, генератора.

  2. Включать приборы только с разрешения преподавателя.

  3. Не производить никаких переключений на лицевой панели осциллографа и генератора, кроме тех, что указаны в настоящем руководстве.

  4. При обнаружении признаков неисправности (искрение, запах дыма) отключить приборы от сети и известить преподавателя.

При работе соблюдать нормы электробезопасности согласно инструкции №170, определяющей правила работы в лаборатории волновой механики!

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: наблюдение резонанса в цепи переменного тока, установление критериев его возникновения в параллельном и последовательном контурах.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: блок исследуемых колебательных контуров с переключателем; звуковой генератор и осциллограф.

  1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рис.1

Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивности L и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы (рис. 1). Состояние такого контура в любой момент времени может быть однозначно описано единственным параметром – зарядом q на конденсаторе. Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом в контуре возникают гармонические колебания.

Падение напряжения на конденсаторе . При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции где ток , поэтому .

Согласно второму правилу Кирхгофа то есть , или

Рис. 2

Это уравнение является уравнением свободных гармонических колебаний с циклической частотой Его решение , где – заряд конденсатора в момент времени t = 0.

Для тока в катушке имеем:

–сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.2).

Напряжение на конденсаторе меняется по закону:

При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки . При этом полная электромагнитная энергия сохраняется.

Рис. 3

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают. По второму правилу Кирхгофа для цепи на рис.3 имеем:

Разделим это уравнение на L и подставим,

Учитывая, что , и обозначив , получаем

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

При , т.е. при (– коэффициент затухания), решение этого уравнения имеет вид

, (1)

где . Подставив и , получаем Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .

Для определения напряжения на конденсаторе разделим (1) на С, имеем

Чтобы найти закон изменения силы тока, продифференцируем (1) по времени:

Обозначим тогда

Рис. 4

Так как то – при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более, чем на

График функции представлен на рис.4.

Логарифмический декремент затухания Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.

Если затухание невелико , то и Добротность контура в случае слабого затухания

При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период. Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону . Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону . Относительное уменьшение за период равно:

При незначительном затухании <<1 и можно считать ≈1-2. Тогда добротность .

При частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или подать на контур переменное напряжение (рис.5).

Рис. 5

Цепь, в которой последовательно с ЭДС включены сопротивление R, индуктивность L и конденсатор С, называется последовательным колебательным контуром. Рассмотрим процессы в этом контуре.

По второму правилу Кирхгофа

или . Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний

(2)

Частное решение этого уравнения

(3)

где Подставим и :

Общее решение получится, если к частному решению (3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено ранее. Оно содержит множитель , который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени им можно пренебречь. Таким образом, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (3).

Силу тока в контуре при установившихся колебаниях найдем, продифференцировав (3) по времени:

где – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда

Из этого выражения следует, что ток отстает по фазе от напряжения () при , и опережает напряжение () при . Для силы тока можно записать

. (4)

Представим соотношение (2) в виде:. Произведение – падение напряжения на активном сопротивлении; – падение напряжения на конденсаторе; – напряжение на индуктивности; тогда можно записать

. (5)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.

Согласно (4) – напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в контуре.

Для напряжения на конденсаторе, подставив (3), имеем – напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.

Напряжение на индуктивности

,

где , – напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.

Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы. Действительно, гармонические колебания можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний , а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (рис. 6).

Рис. 6

совпадает по фазе с током, – отстаёт на π/2), – опережает на π/2. Векторы , , в сумме дают , причём U определяется выражением (5).

При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс. Резонансная частота для напряжения на конденсаторе и для заряда q равна:

Резонансные кривые для имеют вид, представленный на рис.7. Все резонансные частоты . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке – это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения . Максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β=R/2L, то есть чем меньше R и больше L. Ход резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.

Рис. 7

Резонансные кривые для тока приведены на рис. 8.

Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда , то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:

Рис. 8

При ω→0 сила тока уменьшается до нуля, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно считать равной . Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:

– то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.

Итак, при резонансе причём поэтому

– амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивности равны между собой, но противоположны по фазе. Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя как цепь только с активным сопротивлением. Вся энергия, приложенная к контуру, идёт на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного и емкостного.

Рассмотрим колебательный контур, в котором индуктивность L и ёмкостьСсоединены параллельно (рис. 9).

Рис. 9

Будем считать активное сопротивление близким к нулю,R ≈ 0. Для амплитуд напряжений на индуктивности и ёмкости имеем:

По второму правилу Кирхгофа токиив каждый момент времени находятся в противофазе, поэтому

Ток в неразветвлённой цепи равен , или

.

При 1/ωL=ωCтокI = 0. Условие резонанса токов– частота колебаний равна собственной:

Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей ёмкостью, индуктивностью и активным сопротивлением, переменного тока, который обусловлен переменным напряжением:

.

Ток изменяется по закону амплитуда тока

Ток отстаёт от напряжения по фазе на угол : . Если<0, ток опережает напряжение.

Полное электрическое сопротивление (импеданс) равно

,

где R – активное сопротивление,– реактивное индуктивное сопротивление,– реактивное емкостное сопротивление.

Ток на индуктивности отстаёт от напряжения на π/2, а ток на емкости опережает напряжение наπ/2. Выражениепредставляет собой реактивное сопротивление или реактанс.

С учётом сказанного Таким образом, если значения сопротивленийRиXотложить вдоль катетов треугольника, то длина гипотенузы будет численно равнаZ (рис.10).

Рис. 10

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока , равна

Из тригонометрии . ТогдаСреднее значениеобозначимр. Среднее значение, тогда

.

Однако тогда(рис.11).

Рис. 11

Такую же мощность развивает постоянный ток силойЭто значение силы тока называется эффективным или действующим.

Аналогично действующее значение напряжения.

Тогда средняя мощность; величинаназывается коэффициентом мощности. Чем меньше,тем ближек 1, тем больше мощность.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.