6. Энергия гармонического осциллятора

Смещение колеблющейся точки от положения равновесия, описывается уравнением:

_{ее ускорениеравно второй производной от смещения по времени}

_{тогда сила, действующая на колеблющуюся точку, по второму закону Ньютона равна}

_{- то есть сила пропорциональна смещению х и направлена против смещения к положению равновесия. Эта сила называется возвращающей силой.}

_{Возвращающей силой в случае:}

_{- груза на пружине является сила упругости,}

_{- математического маятника – составляющая силы тяжести.}

_{Возвращающая сила по характеру подчиняется закону Гука F= -kx,}

_{где – коэффициент возвращающей силы.}

_{Тогда потенциальная энергия колеблющейся точки равна:}

_{(постоянную интегрирования выбирают равной нулю, чтобы при х=0 энергия Wn=0).}

_{Кинетическая энергияосциллятора:}

_{где , тогда}

_{Полная механическая энергияравна сумме кинетической и потенциальной энергий,}

_{и в случае свободных колебаний без трения сохраняется (рис.1.1.15).}

_{Когда материальная точка совершает колебания, кинетическая энергия переходит в потенциальную, и наоборот.}

_{В крайних точках (х = ±А) скорость , кинетическая энергия равна нулю, и полная энергия равна потенциальной:}

_{Таким образом, полная механическая энергия гармонического осциллятора пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.}

_{В положении равновесия (х=0) потенциальная энергия переходит в кинетическую:}

_{В промежуточных точках полная энергия равна}

_{аскорость}

На рисунке 1.1.16приведенакривая потенциальной энергии :

- горизонтальная линия соответствует полной энергии.

- расстояние от этой линии до кривой равно кинетической энергии.

-движение ограничено значениями х,заключёнными в пределах от–Адо +А.

Средние за период значения кинетической и потенциальнойэнергии одинаковы и равны

,

так что средняя полная энергия системы равна полной энергии системы

( средние значения ).

Энергия и уравнение движения

Уравнение движения колебательной системы можно получить не только из уравнений динамики, но и из закона сохранения энергии W (иногда это бывает удобнее). Для этого нужно:

- составить выражение для энергии W,

- продифференцировать его по времени;

- потребовать, чтобы , поскольку .

Это и приведет к искомому уравнению.

Важно отметить, что колебательная система будет гармоническим осциллятором лишь при условии , т. е. когда потенциальная энергия пропорциональнаквадрату смещения из положения равновесия.Это условие является и «энергетическим» критериеммалых колебаний.

Пример. Пусть в колебательной системеи, гдех — смещение из положения равновесия,αиβ— положительные постоянные. Убедимся, что условие приводит к уравнению гармонического осциллятора. ПродифференцировавW по времени, получим

Отсюда следует, что . Это и есть уравнение гармонического осциллятора с частотой.

12