1. 5. Обобщенные координаты
Выше
отмечалось, что для определения положения
материальной точки в пространстве
необходимо задать ее радиус-вектор, или
три независимых координаты. Для
определения положения системы из
материальных точек надо задать
радиус-векторов, т.е. 3
координат. Число независимых величин,
задание которых необходимо для
однозначного определения положения
системы, называется числом ее степеней
свободы. Эти величины не обязательно
должны быть декартовыми координатами.
Например, в ряде задач физики удобнее
использовать сферические координаты.
Любые
s
величин
,
полностью характеризующие положение
системы с s
степенями свободы, называют ее обобщенными
координатами.
Производные
от обобщенных координат
называют обобщенными скоростями.
Для описания положения механической системы вводят систему координат в воображаемом s-мерном пространстве.
Его
называют конфигурационным
или
-пространством.
По
осям этой системы откладывают значения
координат
.
Тогда для каждого момента времени
положению системы в обычном пространстве
будет соответствовать точка в
конфигурационном пространстве. Движению
системы в реальном трехмерном пространстве
соответствует движение точки в s-мерном
пространстве.
Задание
обобщенных координат еще не определяет
«механического состояния» системы в
данный момент времени, т.к. оно не
позволяет предсказать положение системы
в последующие моменты времени.
При заданных значениях обобщенных
координат система может обладать
произвольными скоростями, и ее положение
в следующий момент времени может быть
любым. Одновременное же задание всех
координат и скоростей полностью
определяет дальнейшее движение. С
математической точки зрения это значит,
что заданием всех координат
и скоростей
в некоторый момент времени однозначно
определяется также и значение ускорений
в этот момент. Соотношения, связывающие
ускорения с координатами и скоростями
– это уравнения движения
Если положение точки определяется только заданием одной координаты, движение называется одномерным.