1 Рис. 12 7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рассмотрим
некоторую поверхность S
и на ней точку
(рис. 12).
Плоскость
называется касательной плоскостью
к поверхности S
в точке
на ней, если расстояние
от переменной точки
поверхности S
до этой плоскости, при стремлении
расстояния
к нулю, является бесконечно малой
высшего порядка, чем
.
Можно дать и другое определение этому понятию.
Если
через точку
на поверхности S
провести множество гладких кривых,
то все касательные к этим кривым в точке
лежат в плоскости, которая является
касательной плоскостью к поверхности
S
.
Для того чтобы
поверхность
в точке
,
где
,
имела касательную плоскость, необходимо
и достаточно, чтобы при
и
функция
была дифференцируема.
Уравнение касательной
плоскости к поверхности, заданной
уравнением
,
в точке
,
лежащей на этой поверхности:
или
.
Вектор
нормали к касательной плоскости,
то есть
,
называется вектором нормали (или
нормалью) к поверхности
в точке
.
Уравнение нормали имеет вид:
Касательная плоскость
к поверхности, заданной неявно
уравнением
в точке
,
лежащей на этой поверхности, определяется
уравнением
а
нормаль к поверхности в точке
– уравнениями
Пример
16. К поверхности
провести касательные плоскости,
параллельные плоскости
.
Решение. Уравнение
поверхности имеет вид
.
Найдём частные производные:
Нормальный
вектор заданной плоскости
.
Нормальный вектор искомой касательной
плоскости
Из условия параллельности
касательной и заданной плоскостей
следует, что
,
т.е. их координаты пропорциональны:
Присоединим к данным уравнениям уравнение поверхности и найдём координаты точек касания:
Подставляя найденные
значения
в уравнение поверхности, получаем:
откуда
Следовательно, получаем
две точки касания с координатами
и
,
через которые проходят две плоскости,
являющиеся касательными к данной
поверхности. Их уравнения имеют вид:
т.е.
и
Пример 17. Составить
уравнения касательной плоскости и
нормали к параболоиду
в точке
.
Решение.
=
.
Находим
Тогда, подставляя эти значения в уравнение
,
получим уравнение касательной плоскости к параболоиду в заданной точке:
или
.
Вектор
является вектором нормали к параболоиду
в заданной точке. Поэтому уравнение
нормали будет следующим:
18. Формула Тейлора
Из теории функций
одной переменной мы знаем, что если
функция
в точке
имеет производные до
порядка включительно, то она может быть
разложена в окрестности этой точки по
формуле Тейлора следующим образом:
где
– остаточный член (в форме Лагранжа),
.
Положив
,
,
и вспомнив, что
,
эту формулу можно переписать в виде
,
Именно эту формулу мы и применим для случая функции многих переменных.
Для простоты записи ограничимся случаем функции двух переменных.
Пусть
в окрестности некоторой точки
функция
имеет непрерывные производные всех
порядков до
-го
включительно. Придадим значениям
переменных
и
некоторые приращения
и
,
такие, чтобы отрезок прямой, соединяющий
точки
и
не вышел за пределы рассматриваемой
окрестности точки
.
Введем
новую независимую переменную
,
,
положив
,
.
Эти
формулы задают некоторый прямолинейный
отрезок, соединяющий точки
и
.
Подставив
эти выражения для
и
в функцию
,
получим сложную функцию одной переменной
:
.
Но тогда
.
А
– функция одной переменной и в точке
имеет непрерывные производные до
порядка включительно, следовательно,
она может быть разложена в окрестности
этой точки по полученной выше формуле
Тейлора следующим образом:
,
.
При
этом дифференциал
,
входящий в правую часть формулы в
различных степенях, равен
.
Известно, что при линейной замене переменных свойство инвариантности формы дифференциала имеет место и для высших дифференциалов. Поэтому, можно записать, что
,
,
и
т.д. И для
-го дифференциала будем иметь формулу
Заметим,
что здесь дифференциалы
и
ничем не отличаются от ранее взятых
приращений
и
,
т.к.
,
.
Тогда
для функции
справедлива формула
(17)
,
называемая формулой Тейлора в дифференциальной форме.
Заметим,
что фигурирующие в этой формуле справа
дифференциалы переменных
и
(скрытые в дифференциалах функции)
равны именно тем приращениям
и
независимых переменных, которые и
породили приращение функции, стоящее
в левой части формулы.
Легко теперь получить и записать формулу Тейлора (в дифференциальной форме) для функции любого количества независимых переменных.
Хотя в дифференциальной форме формула Тейлора (17) для случая функции многих переменных выглядит так же просто, как и для случая функции одной переменной, в развернутом виде она гораздо сложнее. Вот как выглядят первые три ее члена для функции двух переменных:
В частном
случае, при
и
,
из формулы Тейлора получаем формулу
Маклорена:
,
или, т.к. тогда
,
а
,
Приведем несколько примеров разложения функций по формуле Тейлора (в данном случае – Маклорена):
1.
,
2.
,
3.
.