I группа:
,
где P(x)
–многочлен.
В данной группе полагаем U=lnx; U=arcsinx; U=arccosx; U=artgx; U=arcctgx, а оставшееся выражение за dV=P(x)dx.
II
группа:
,
где Р(х)- многочлен, k
и b-числа.
В данной группе полагаем U=P(x), а оставшееся выражение за dV.
III группа: .
Эта группа сложных интегралов. Они находятся при помощи двукратного интегрирования.
Пример
5.
Пусть U=lnx; dV=xdx.
Тогда
dU=d(lnx)=
;V=
.
Пример
6.
.
Пусть
U=lnx;
dV=
.
Тогда
dU=d(lnx)=
.
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
.
В некоторых случаях для нахождения искомого интеграла формулу интегрирования по частям приходится применять столько раз какова степень многочлена.
Пример
7.
.
Пусть
U=
Тогда
dU=d(
Применяя формулу интегрирования по частям, получаем:
Так как многочлен второй степени, то в результате однократного интегрирования степень его понизилась на единицу, поэтому получившийся интеграл мы должны еще раз проинтегрировать, чтобы он уничтожился и остался табличный интеграл.
Пусть U=x; dV=cosxdx.
Тогда
dU=dx;
V=
+cosx+C.
Подставляя полученный результат в первоначальный интеграл, имеем:
Пример
8.
.
Этот интеграл относится к третьей группе интегралов.
Пусть
U=cosx;
dV=
Тогда
dU=-sinxdx;
V=
Рассмотрим
Пусть
U=sinx;
dV=
Тогда
dU=cosxdx;
V=
Подставим найденное значение в (1):
Переносим
из правой части в левую с противоположным
знаком, получим: 2
Из полученного уравнения находим чему
равен искомый интеграл, поделив обе
части равенства на 2.
Задание №17.
|
№ |
ЗАДАНИЕ |
ОТВЕТ |
|
1. |
|
|
|
2. |
|
(x-1)cosx-sinx+C |
|
3. |
|
x·arcsinx+ |
|
4. |
|
|
Задание для самостоятельной работы
4.
Указания к ответам
Задание №1
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
2 как постоянный множитель нужно вынести за знак интеграла (свойство1) и только после этого интегрировать. |
|
2. |
Забыли С. | |
|
3. |
Верно. | |
|
4. |
Дифференцируете функцию, а не интегрируете. | |
|
5. |
Функция
вынесена за знак интеграла, а не
проинтегрирована, см. | |
|
2. |
1. |
Интеграл
от произведения двух функций не равен
произведению этих функций. Нужно
предварительно раскрыть скобки в
подынтегральном выражении и
воспользоваться свойствами 3 и 4, и
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Забыли С. См. определение интеграла. | |
|
4. |
Неверно
применили
| |
|
5. |
Неверно
применили
| |
|
3. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Забыли С. | |
|
3. |
Интеграл
дроби не равен отношению интеграла
числителя к интегралу знаменателя.
Подынтегральное выражение нужно
предварительно преобразовать. См.
| |
|
4. |
Вы
ошиблись при замене корня дробным
показателем:
| |
|
5. |
Нельзя
отдельно интегрировать сомножители,
делимое и делитель. См.
| |
|
5. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Нашли
производную вместо интеграла. См.
| |
|
3. |
Неверно. Забыли С. |
.
.
,
показатель степени и знаменатель
равные (n+1),
а не n.
Деление на степень не сделали.
,
пример 3.
,
пример 3.
.
Задание №2.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
В
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Не верно. Забыли С. | |
|
2. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Нужно
предварительно раскрыть скобки и
применить свойства 2 и 1,
| |
|
3. |
Нашли
производную вместо интеграла. См.
|
нужно вынести
.
Вы вынесли 5, получили:
Следовательно
t=
,
что неверно.
и
.
и
.
Задание №3.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Не верно. Забыли С. |
|
2. |
Дифференцируете вместо того, чтобы интегрировать. | |
|
3. |
Верно. |
Задание №4.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Верно. |
|
2. |
В
| |
|
3. |
Не верно. Забыли С. | |
|
2. |
1. |
В
|
|
2. |
В
| |
|
3. |
Верно. |
ошибочно использована
вместо
.
вместо
взяли
и вместо (n+1)
взяли (n-1).
См.
и
.
нужно применить
,
а не
.
См.
Задание №5.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
|
|
2. |
Ошиблись
в знаке
| |
|
3. |
Верно. | |
|
4 |
| |
|
2. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Ошибка
в знаке. Должно быть -5cosx.
См. | |
|
3. |
| |
|
4. |
|
Вы
его потеряли. См. свойство 3 или
приn=0.
,
а не 1. См. свойство 3.
.
не
является интегралом типа
.
См.
.
,
а не 5.
Задание №6
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Ошибка в знаке. Должно быть 2sinx. |
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Интеграл
отношения не равен отношению интегралов.
Следовательно sin2x=2sinx·cosx,
а затем
| |
|
2. |
1. |
Ошибка
в знаке. Должно быть -3sinx.
См.
|
|
2. |
Верно. |
.
А далее используйте формулу.
.
Задание №7.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Ошибка
в
|
|
2. |
Верно. |
См.
.
Следует разделить числитель на
знаменатель.
Задание №8.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Ошибка
в знаке
|
|
2. |
Верно. | |
|
2. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Ошибка
в знаке
|
.
См.
.
.
См.
.
Задание №9.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Ошибка
в
| |
|
3. |
Ошибка
в
| |
|
4. |
Потеряно С. |
.
См.
.
.
См.
.
Задание №10.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Ошибка
в
|
|
2. |
Ошибка
в
| |
|
3. |
Верно. | |
|
4. |
Потеряно С. |
.
См.
.
.
См.
.
Задание №11.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Вместо
dx
подставили просто dt,
не учитывая, что при дифференцировании
(5+3х) получается 3dx,
следовательно, 3dx=dt,
а dx= | |
|
3. |
Вы не проинтегрировали, а продифференцировали функцию. | |
|
4. |
Потеряно С. | |
|
2. |
1. |
Нашли производную вместо интеграла. |
|
2. |
Потеряли
коэффициент
| |
|
3. |
Верно. | |
|
4. |
Потеряно С. | |
|
3. |
1. |
Потеряли
знак:
|
|
2. |
Верно. | |
|
4. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Ошиблись
в показателе, вместо
| |
|
5. |
1. |
Потерян знак d(cosx)=-sinxdx. |
|
2. |
Вместо n+1 взяли n-1. | |
|
3. |
Верно. | |
|
6. |
1. |
Потерян знак d(3-sinx)=-cosxdx. |
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Вместо n+1 взяли n-1. | |
|
7. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Потеряно С. | |
|
3. |
Потерян знак. | |
|
8. |
1. |
Интеграл
типа
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Вместо n=-5 взяли n=5. |
,
см.
.
приdt.
5dx=dt;
dx=
.См.
.
.
См.
.
приdt.
.
взяли -3.
,
а не
,
т.к.n=-5,
а не n=-1.
Задание №12.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
|
2. |
Ошибочно
использовали
| |
|
3. |
Верно. | |
|
2. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
|
2. |
Ошибочно
приняли
| |
|
3. |
Верно. | |
|
3. |
1. |
Вместо
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Нашли производную, а не интеграл. | |
|
4. |
1. |
Потеряли минус. |
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Потеряли
коэффициент
| |
|
5. |
1. |
Воспользовались
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Ошибочно
заменили tgx
через
|
.
,
хотя здесьn=-1,
и взяли n-1
вместо n+1,
что дало бы 0.
.
взяли
и вместо (n+1)
взяли (n-1).
.
,
что неверно, т.к.tgx=f(x),
а не x.
.
Задание №13.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Потерян минус в показателе степени. |
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Потерян минус перед дробью. | |
|
2. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Ошибочно
применили
| |
|
3. |
|
.
Этого нельзя делать, т.к. здесь
показательная функция, см.
.
Задание №14.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Потеряли
минус, см.
| |
|
2. |
1. |
Берете
произведение интегралов
|
|
2. |
Потеряли
коэффициент
| |
|
3. |
Верно. | |
|
3. |
1. |
Потеряли
коэффициент
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Потерян
знак, см.
|
,
см.
.
.
и
,
что неверно.
.
,
см.
.
.
Задание №15.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Потерян
коэффициент
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
Пользуетесь
| |
|
2. |
1. |
Потерян
коэффициент -
|
|
2. |
Верно. | |
|
3. |
1. |
Неверно
пользуетесь
|
|
2. |
Верно. |
,
см.
.
дляn=-2,
что неверно, т.к. в знаменателе не
,
а
,
см.
.
,
см.
.
,
надо применять
.
Задание №16.
|
№ п/п |
№ ответа |
Пояснения |
|
1. |
1. |
Потерян
коэффициент
|
|
2. |
Неверно
применили
| |
|
3. |
Верно. | |
|
2. |
1. |
Потерян
коэффициент
|
|
2. |
Потерян
коэффициент
| |
|
3. |
Верно. | |
|
3. |
1. |
Верно. |
|
2. |
Потерян
коэффициент | |
|
3. |
Вместо
|
,
см.
.
См.
и пример 1 к
.
,
см.
.
,
получающийся при дифференцировании
подстановки, см.
.
,
получающийся при дифференцировании
подстановки, см.
.
вынесли
,
что неверно.