2. Второе достаточное условие.

Теорема 2. Если функция у = f(х) определена и дважды, дифференцируема в некоторой окрестности точ­ки х₀, причем f'(x_o)=O, а то в точке х_о функция f(x) имеет максимум, если f"(x_o)<0, и ми­нимум, если f" (х₀) > 0.

Доказательство. Пусть, для определенности, . По определению второй производной имеем;

Согласно условию теоремы f'(xo)= 0, поэтому

По предположению, f"(х_о)>О, следовательно,

А это возможно лишь в случае, когда знак производной f'(x) совпадает со знаком разности х -х₀. Таким .образом, при имеемf'(x) < 0, и приимеемf'(x)>0, т. е. при переходе через точку хо производная f'(x) меняет знак с минуса на плюс. Согласно первому, достаточному условию, в точке функция f(x) имеет минимум. Анало­гично доказывается, что если f" (х) < 0, то в точке .функция имеет максимум.

Правило (второе) исследования функции на экстре­мум при помощи второй производной, которое следует из теоремы 2, рассмотрим на следующем примере.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

f(x) = x³-2x² + 3x-4.

Решение. 1. Находим производную:

(х) = (х³ - 2х² + 3х- 4)' = х² - 4х + 3.

2. Решая уравнение х² - 4х + 3 = 0, находим кри­тические точки: и = 3.

3. Находим вторую производную:

4. Определяем знак второй производной в критиче­ских точках, для чего вычисляем: ,

f"(1) = -2<0 и f"(3) = 2>0.

Следовательно, = 1 — точка максимума, а х₂ = 3 — точка минимума.

5. Вычисляем максимальное и минимальное значе­ния функции:

,

Заметим, что в случае, когда вторая производная в критической точке обращается в нуль или не сущест­вует, второе правило нахождения экстремума с помощью второй производной неприменимо. В этом случае иссле­дование функции на экстремум следует проводить по первому правилу.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

f(x) = .

Решение.1. Находим (х) = 4х³,

2. Решая уравнение 4x³ = 0, получим критическую точку х = 0.

3. Находим

4. Вычисляем

В критической точке вторая производная обращается в нуль, поэтому исследование проводим по первому правилу.

Так как (-1) = -4 < 0, а (1)= 4 > О, то в точ­ке х = 0 данная функция имеет минимум, причем

§ 11. Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости

При исследовании поведения функции и формы ее графика полезно установить, на каких интервалах гра­фик функции обращен выпуклостью вверх, а на каких — выпуклостью вниз. Прежде всего, выясним поня­тие выпуклости графика функции, имеющей на некото­ром интервале непрерывную производную.

Определение 1. График функции y = f(x), x ]а;b[, называется выпуклым вверх (или обращен вы­пуклостью вверх) на интервале ]а;b[, если он располо­жен ниже касательной, проведенной в любой его точке (рис. 11).

Рис. 11 Рис. 12

Определение 2. График функции y = f(x), x]a; b[, называется выпуклым вниз (или обращен выпуклостью вниз) на интервале ]а; b[, если он расположен выше касательной, проведенной в любой его точке (рис. 12),

Легко видеть, что на интервале выпуклости вверх производная f'(х) убывает (см. рис. 11), а на интервале выпуклости вниз производная (х) возрастает (рис.12).

Теорема (достаточное условие выпуклости графика функции). Если на интервале ]а; b[ дважды дифференцируемая функция y = f(x), x]a; b[, имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции обращен выпуклостью вверх (вниз).

Доказательство. Допустим, для определенности, чтоf"(x)<. О для всех х]а; b[. Рассмотрим производную (x) как функцию от х, a f"(х)—как ее пер­вую производную. Функ­ция (х) убывает на интервале ]а; b[, а следовательно, график функции y =f(x) на этом интервале обращен выпуклостью вверх. Аналогично доказывается, что если f "(x)> 0 для всех x]a;b[, то график функции у = f(x) на интервале ]а;b[ обращен выпуклостью вниз. Исследовать на выпуклость график функции у = = f(х) означает найти те интервалы из области ее оп­ределения, в которых вторая производная f "(х) сохра­няет свой знак. Очевидно, что f"(х) меняет свой знак лишь в точках, где она обращается в нуль или не существует. Такие точки принято на­зывать критическими точками вто­рого рода.

Пример. Исследовать на вы­пуклость график функции

f(x) = х³- Зх² + 2x + 1.

Решение. Данная функция определена на всей числовой

пря­мой. Находим критические точки второго рода:

f '(x) = Зх²- 6х + 2, f "(х) = 6х - 6,

6х -6 = 0х = 1.

Итак, х = 1 — критическая точ­ка второго рода. Методом

пробных рис.13

точек определяем знак f"(x) в каждом из интервалов ]-; 1[ и ] 1,+[. Так, при x = 0 ] -; 1[ имеем f "(0) = -6 < 0, а при x = 2 ]1; + [ имеем f "(2) = 6>0. Следовательно, на интервале ]- ; 1[ график дан­ной функции обращен выпуклостью вверх, а на интер­вале ]1; + [ — выпуклостью вниз (рис. 13).