§ 2. Производная функции, ее геометрический и физический смысл

1. Производная функции. Рассмотрим функцию y = f(x), x[а;b]. Возьмем произвольную точку [а;b]. Для любогоx[а;b] разность х -называетсяприращением аргумента х в точке х₀ и обозначается . Таким образом,

= х — х₀ х = х₀ + .

Разность f(x)—f()= f(-)—f'()называется приращением функции f(x) в точке х₀ и обозначается (х₀) (или, или ). Следовательно,

Определение I. Производной функции f(x) точке х₀ называется предел отношения приращения дикции f(x₀) к приращению аргумента х при х 0, если этот предел существует, и обозначается .

Итак,

. (1)

Производную f'(x) («эф штрих от икс») функции у =f(x), x(а;в), обозначают также: у'_х («игрек

штрих по икс»), («де эф по де икс»), («де игрек де икс»), причем все эти обозначения равноправны.

Функция, имеющая производную в точке х₀ , назы­вается дифференцируемой в этой точке. Функция, имеюща­я производную в каждой точке интервала]а;в[, называется дифференцируемой на этом интервале; при этом производную можно рассматриватькак функ­цию на (а;в).

Необходимое условие существования производной вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

В самом деле, любому значению х  х₀, взятому из области определения функции f(x), соответствует при­ращение аргумента х — х₀  0 и некоторое приращение функции f(x)—f(x₀). Рассмотрим тождество

.

Переходя к пределу при хх₀ в этом тождестве, получим:

Это означает,что функция f(x) в точке х₀ непрерывна. Доказанная теорема дает лишь необходимое условие 1уществования производной, но не достаточное, т. е. из 'прерывности функции f(x) в точке х₀ не следует ее дифференцируемость в этой точке. Убедимся в этом наконкретном примере.

Пример 1. Функция f(x)==|х| (рис. 3)

непрерывна в любой точке числовой оси,

в том числе и в точке х₀ = 0.

Однако в точке х₀ =0 данная

функция имеет производной. В самом деле,

Рис 3.

1 при

=

-1 при

Отсюда следует, что предел не существует и, следовательно, не существует

производной функции f(x) = |х| в точке х₀ = 0.

Таким образом, существуют функции, всюду непрерывные, но не имеющие производных в некоторых точках.

2. Геометрический смысл производной. Пусть непрерывная функция y = f(x), x.[a;b], дифференцируема в точке x]а;Ь[, и пусть кривая L— график этой функции (рис. 4). На кривой L возьмем точку М₀(х₀ у₀), где у₀ == f(х₀), и произвольную точку М(х;у); про­ведем секущую MM

Рис 4

Определение 2. Касательной к кривой L в точке Мо L называется прямая М₀Т, занимающая предельное положение секущей М₀М, М L, при М  М_о (если такое предельное положение существует).

Пусть  и  — соответственно углы наклона касательной М₀Т и секущей М₀М к положительному направлению оси Ох. Из рис. 4 видно, что

Переходя к пределу при х  х₀, получим

Но следовательно,

(2)

т e. производная функции f(x) в точке х₀ равна угло­вому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой х₀.

3. Уравнения касательной и нормали к кривой. Уравнение касательной к кривой L в точке (х₀; f(xo)) напи­шем как уравнение прямой, проходящей через точку(х₀; f(xo)) и имеющей угловой коэффициент , т.е.

(3)

Определение 3. Прямая M₀N, перпендикулярная касательной М₀Т в точке М_о, называется нормалью к кривой L в точке Мо (см. рис. 4).

Так как угловой коэффициент нормали равен

,

то уравнение нормали к кривой L в точке (x₀;f(x_o)) имеет вид

(4)

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой у = х² — 2х + 3 в ее точке с абсцис­сой х₀ = 2.

Решение. Находим: f(x_Q) = у(2)= 3,

Подставив найденные значения f(х₀) и f'(x₀) в уравнения (3) и (4), найдем искомые уравнения касательной

у - 3 = 2 (х - 2), или 2x - y - 1=0,

и нормали

у - 3 = -(x - 2), или х + 2у - 8 = 0.

4. Физический смысл производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону

(5)

Тогда средняя скорость точки в промежутке времени [t₀; t₀ + ] вычисляется по формуле

.

Как известно, мгновенной скоростью v(t₀) в момент времени t₀ называется предел (если он существует), к которому стремится средняя скорость за промежу­ток времени от t₀ до при, т. е.

v(t_o)= (6)

Таким образом, мгновенная скорость прямолинейном движения материальной точки в любой момент времени t есть производная от пути s по времени t:

(7)

В этом заключается физический смысл производной.

Пример 3. Найти скорость движения точки в мо­мент времени t = 5, если закон движения задан форму­лой

.

Решение. Находим:

; следовательно, v(t)=65-2=28.