1. Полный перебор

Название метода говорит само за себя. Чтобы получить решение нужно перебрать все возможные варианты загрузки. Здесь мы будем рассматривать такую постановку задачи. В рюкзак загружаются предметы N различных типов (количество предметов каждого типа не ограничено), каждый предмет типа I имеет вес W_i и стоимость P_i, i=(1,2..N). Требуется определить максимальную стоимость груза вес, которого не превышает W. Очевидна простая рекурсивная реализация данного подхода (рисунок 2.2.1). Временная сложность данного алгоритма равна O(N!). Алгоритм имеет сложность факториал и может работать лишь с небольшими значениями N. С ростом N, число вариантов очень быстро растет, и задача становится практически неразрешимой методом полного перебора. На рисунке 2.2.2 показано дерево перебора, дерево имеет 4 уровня. В каждом кружочке показан вес предмета, корень дерева – нулевой вес, то есть когда рюкзак пуст. Первый предмет можно выбрать четырьмя способами, второй – тремя, третий – двумя, а дальше можем взять только один оставшийся предмет.

рисунок 2.2.1

рисунок 2.2.2

N - Количество предметов. Пусть MaxW - объем рюкзака, P_i – стоимость i-го предмета, W_i – вес i-го предмета.

2. Метод ветвей и границ

По существу, данный метод - это вариация полного перебора, с исключениями заведомо не оптимальных решений. Для полного перебора можно построить дерево решений. Если у нас есть какое-то оптимальное решение P, мы пытаемся улучшить его, но если на рассматриваемой в текущий момент ветви решение заведомо хуже, чем P то следует остановить поиск и выбрать другую ветвь для рассмотрения. Например, на рисунке 2.2.2 есть ограничение на вес рюкзака W=5. Тогда используя метод ветвей и границ можно сократить дерево перебора до такого, рисунок 2.2.3. Видно сразу, что количество вариантов для перебора уменьшилось сразу. А именно осталось 8 вариантов исхода, вместо 24 ранее. Но не всегда получается отсеять достаточно много вариантов, чтобы скорость работы была заметно увеличена, всегда можно подобрать такие входные данные, для которых метод ветвей и границ даст оценку по времени идентичную полному перебору.

рисунок 2.2.3

3. Жадный алгоритм

В случае применения жадного алгоритма поступаем так: сортируем предметы по убыванию стоимости единицы каждого. , где Pi - относительная стоимость единицы предмета i, W_i - вес предмета i, V_i - стоимость предмета i. Всего N предметов. Пытаемся поместить в рюкзак все что помещается, и одновременно наиболее дорогое по параметру P. Оценим сложность метода. Для сортировки нам потребуется плюс проход по N предметам в цикле. Итого , что в общем случае равно . Скорость работы относительно других алгоритмов высока, но если посмотреть более внимательно, видно, что точное решение мы получим не всегда. Обратим внимание на следующую таблицу 12 (Таблица 1):

Таблица 1

Номер предмета (i)	Вес предмета (кг)	Цена (У.е)	Относительная цена (У.е/кг)
1	10	60	6
2	20	100	5
3	30	120	4

Как видно, предметы уже отсортированы. Пусть в рюкзак помещается 50 кг, следуя алгоритму, берем первый предмет, затем второй, третий - уже не помещается. Таким образом, в рюкзаке у нас 30 кг стоимостью 160 у.е, оставшееся место 20 кг. Но если бы мы взяли второй и третий предметы, общий вес поместился в рюкзак, и стоимость его была бы 220 у.е. Жадный алгоритм не дает оптимального решения, поэтому он является приближенным алгоритмом. Оказывается, качество решения можно улучшить, если сравнить полученный результат с максимальным коэффициентом . Предполагается, что все предметы не превосходят размера рюкзака, в противном случае их можно просто исключить из рассмотрения.

Рассмотрим непрерывную задачу о ранце, условия для нее те же самые, отличие лишь в том, что мы можем взять часть предмета. То есть предметы можно делить. Пусть у нас есть тот же набор что и в таб. 1, тогда следуя жадному алгоритму, берем первый и второй предметы, полностью третий предмет не помещается, т.к. места осталось всего на 20 кг, но мы можем брать части предметов, тогда возьмем 2/3 веса третьего предмета, соответственно и 2/3 его стоимости, таким образом мы нагрузили рюкзак полностью, стоимость груза стала равна 240 у.е. Для непрерывной задачи о рюкзаке жадный алгоритм будет давать оптимальное решение.