книги из ГПНТБ / Жуковский М.И. Расчет обтекания решеток профилей турбомашин
.pdfпо поверхности профиля, выходная кромка которого является скругленной или угловой с углом, отличным от нуля. Будем счи тать w (s) непрерывной однозначной функцией от s, обращающейся
два раза в нуль в интервале 6 < s < L. Известными будем считать также величину и направление скорости на входе в решетку и число Mj. Заметим, что заданием эпюры скоростей определяются значения потенциалов скоростей в критических точках на профиле (?д и ?в)- Разность значений <fB0 и <рВ1 соответственно с выпуклой
и вогнутой сторон профиля вблизи точки |
В равна |
циркуляции |
Г. |
|
Таким образом, заданными являются пять величин: |
|
|
|
|
Pi, М1Т ?л и ?е. |
|
|
|
|
Используя формулы (21), (46) и (52), |
находим |
и затем |
ш2, |
|
р2 и М2. Далее, по формулам (50) и (51) |
вычисляем углы |
и |
а2 |
|
для решетки кругов. |
|
|
|
|
Для определения эквивалентной решетки кругов имеем формулы
?в — ?д = ?1 (6в- Ф — ?1 (9д> <7) +
+ [?2(0в. <?)—^г^д, <7)]tga~ +
+ [?г(0в- 9) — ?г(ел, <7)]Г; |
(69) |
||
"(9, q) |
=0; |
(70) |
|
|
0 = |
|
|
здесь |
б = ев |
|
|
|
|
|
|
tga~ = -L (tgaj -г tga2) и |
T = tga2 —tgar |
|
|
Уравнение (70) имеет два |
корня: |
9 =9Л и 6 = 9В. |
Задавая |
несколько значений q, получаем из этого уравнения при заданных г»
и Г зависимость q (9Л, 9В). Используя далее уравнение (69), нахо дим q, 9Л и 9В. Таким образом, система уравнений является замкну
той, |
и по |
заданным пяти |
величинам находим wz, |
р2, М2, и 0л |
(или |
9В). |
Густота решетки |
профилей определяется |
приближенно |
в зависимости от задаваемой величины периметра профиля, отне
сенного к шагу решетки.
Соответствие между точками профиля и точками на окружности
находим путем приравнивания потенциалов скоростей, т. е.
т(°) - ?(s) = ?(0> q)-
Зависимость a (s) получаем из |
равенства (26) |
S |
ds |
|
|
|
-------- # |
1 |
w2 |
——Г |
о f 4п0
188
Рассмотрим в области GT |
функцию |
|
In w (т) |
— 1пда — i , |
(71) |
мнимую часть которой необходимо найти по заданной на контуре L*
ее вещественной части. Ограниченная на бесконечности аналити ческая периодическая функция (71) может быть представлена в обла
сти GT формулой |
|
|
|
|
In w (т) = г + 272^ In да (т*) cth ~ (т — т*) dz*. |
(72) |
|||
Из условий на бесконечности слева |
и справа от решетки находим: |
|||
г = |
1пда1да2; |
|
||
1 |
1 |
W2 |
' |
|
Г1 = “2 |
1П |
~ |
|
|
|
|
Wi |
|
|
G = 277^ In да (т*) dr*.
Вместо функции (71) введем в рассмотрение функцию
In w(z°’
где да0 (z0) — сопряженная скорость действительного обтекания несжимаемой жидкостью некоторой вспомогательной решетки г0.
Функцию г0 (т), осуществляющую конформное отображение внеш ности решетки кругов на внешность решетки z0, будем считать изве стной. Далее будем считать, что для указанной решетки профилей
и для решетки профилей, обтекаемой газом, эквивалентная решетка
кругов одна и та же, т. е. что параметры 0Д и 0В для данных реше ток совпадают.
В качестве такой вспомогательной решетки г0 может быть взята
решетка, обтекание которой должно быть улучшено, или же теорети
ческая решетка, имеющая параметры q, |
0Д и 0В. Расчет такой решетки |
|||||
рассмотрен в гл. II, п. 10. |
|
|
|
|
|
|
Аналитическая |
периодическая в области G (т) функция |
|
||||
|
|
In |
|
|
|
(73) |
|
|
w (Ч) |
|
|
|
|
представима формулой (72) или же рядом |
|
|
|
|||
|
dC |
-Д’ ч |
<"+'> |
|
г. |
(74) |
In А ln£ = R + 4~У~ |
|
|||||
да |
dz° |
‘ Z-J |
п '■ |
dtn |
‘ |
|
|
di |
п—о |
|
|
|
|
189
Так как при соответствующем |
выборе |
масштабов и направлений |
|
в бесконечности |
i |
|
|
( ^) |
=- |
1, |
|
\ а к. |
/ : |
= 1 оо |
|
ТО
Следовательно, по заданным значениям функции (73) при т = + <х> получаем из соотношения (74) следующие формулы:
/? == -I- in с;с'
(75)
Задаваемое распределение скоростей должно удовлетворять усло виям (75) регулярности функции (73). При выполнении этих условий
обеспечивается замкнутость профилей. Выбор эпюры скоростей,
удовлетворяющей соотношениям (75), представляет значительные трудности. В практических расчетах вопрос решается путем после довательной корректировки задаваемого распределения скоростей.
Разложение (74) в |
кольце 1 < | т | < t |
— 1 |
можно представить |
в виде ряда Лорана, |
аналогичного (49) гл. |
II. |
Имеем |
где
d’
|
R_a = ±.($ In |
|
(п |
1,2,3,... ); |
(77) |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
Rn =yMnkr*R_i2k_n). |
(78) |
|||
|
|
k |
|
|
|
|
Числа Mnk |
приведены в табл. |
5 (п |
0, 1, 2, ....) |
|
||
Полагая |
на окружности |
т |
е\ разделим (76) на вещественную |
|||
и мнимую части |
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
In |
■- А |
|
V (А_„ -г HJcos/iU 4- |
|
|
|
|
да((’) |
Л=1 |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
: л; |
(79) |
л—1
)90
|
ОО |
|
(9)-?о(9) |
-н Brr} cos и 6 > |
|
V (Л„-Л_„)8тпе т-В0. |
(80) |
|
П=1 |
|
|
где |
1Вт (т = 0, - , т2, . |
. . ) |
R ----- А iB; R,„ -= Ат |
Вычисляя коэффициенты тригонометрического ряда (79) по задан ной левой части, получаем:
Фиг. 82. |
К решению обратной |
Фиг. 83. К решению обратной |
задачи: |
||||
задачи: |
-------- -- |
точ |
----------------точный расчет:. |
• • |
• ■ —по ре |
||
ный расчет; • • • • |
- |
по ре |
шению обратной задачи. |
||||
шению обратной |
задачи. |
|
|
|
|
||
Воспользовавшись формулами (78), приходим к четырем систе |
|||||||
мам линейных алгебраических уравнений относительно |
А_„ , В_„ |
||||||
аналогичным системам (65) |
— (68) гл. II. |
В_т |
из |
указанных |
|||
После определения коэффициентов А_,„, |
|||||||
систем |
уравнений |
первые |
коэффициенты |
Л_1 и |
|
отбрасы |
ваются и заменяются соответствующими величинами, вычисляемыми согласно формулам (75). Так скорректированная система коэффи циентов позволяет найти новые коэффициенты Ат, Вт согласно фор
муле (78) |
и вычислить функцию р |
(6) — рп (9) из |
равенства (80). |
||||
Величина |
В определяется при этом |
из (75). Найденные значения |
|||||
{3 (9) — Ро |
(9) определяют граничное |
значение регулярной функции |
|||||
(73). |
|
|
|
|
|
|
|
Вычисление координат х, у производится по формулам (53). |
|||||||
Рассчитанная |
указанным |
образом решетка |
профилей |
будет |
|||
иметь распределение скоростей, близкое к заданному. |
|
|
|||||
На фиг. 82 приведен профиль рассчитанной данным методом |
|||||||
решетки. |
Для сравнения там же показан профиль, |
соответствующий |
|||||
точному решению. |
Распределение скоростей дано на фиг. |
83. |
Разли |
||||
чие между результатами расчета и |
точным решением, |
как |
видно |
||||
из рисунков, пренебрежимо |
мало. |
|
|
|
|
191
26. ВЛИЯНИЕ СЖИМАЕМОСТИ ЖИДКОСТИ НА ВЕЛИЧИНЫ УГЛА ВЫХОДА ПОТОКА И ЦИРКУЛЯЦИИ
Как известно, с ростом скорости трубки тока в дозвуковой обла
сти сужаются, а в сверхзвуковой — увеличиваются. |
Этот |
резуль |
||||||
тат вытекает |
непосредственно из рассмотрения уравнения постоян |
|||||||
ства расхода для трубки тока |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р _ Q\F |
_ G |
|
|
|
|
|
|
|
Qz |
?2 |
’ |
|
|
|
|
|
где через Ft |
и F2 обозначены площади |
соответственно |
входного |
|||||
и выходного |
поперечных сечений |
трубки тока и |
G — постоянная |
|||||
|
|
|
величина. |
|
|
|
||
|
|
|
Как это видно из гра |
|||||
|
|
|
фика фиг. 84, функция q (М) |
|||||
|
|
|
в дозвуковой' области с |
|||||
|
|
|
ростом |
скорости |
растет, |
|||
|
|
|
и, следовательно (при по |
|||||
|
|
|
стоянном расходе), сече |
|||||
|
|
|
ние |
трубки |
F2 |
убывает. |
||
|
|
|
В сверхзвуковой |
области |
||||
Фиг. 84. Зависимость q от М при k = 1,4. |
функция |
q |
убывает с ро |
|||||
стом |
М, |
и |
сечение |
F2 |
||||
|
|
|
увеличивается. При |
этом |
лредполагается, что возрастание скоростей осуществляется при постоянном расходе газа через решетку. Этот результат распростра няется и на случай решетки профилей, так как за выходным сече
Фиг. 85. Линии тока в выходной части решетки.
нием канала можно считать, что течение состоит, при рассмотрении газа идеальным, из трубок тока, образуемых линиями тока, отхо дящими от выходных кромок (фиг. 85).
Таким образом, при дозвуковом обтекании решетки с ростом ско ростей (или чисел М2) возрастает поворот, осуществляемый решеткой.
Опытные зависимости |
величин |
др2 (Д 2 = 2 — 2э^) от |
|
числа Х2 для турбинных |
решеток |
изображены на фиг. 86 [57], |
|
где угол $2Эф определяется по формуле |
|
||
о |
’ |
^2 |
(81) |
2эф = arCSin — . |
|||
|
|
|
192
Интенсивность уменьшения угла р2 с ростом М2 зависит от типа решетки, т. е. от величины угла ^2зф- С увеличением ргзф интен-,
сивность уменьшения р2 возрастает. Для решеток со значениями р2;ф,
лежащими в области 10—20°, |
изменение р2 |
с ростом числа М2 |
мало и им можно пренебречь. |
По данным |
Эйнли 15.71, углы |
р2 убывают до М 1. Следует думать, что уменьшение углов р2
возможно лишь до критических чисел М2. Начиная от М2 = M2feo,
значения р2 должны возрастать.
Изменение углов выхода потока в зависимости от М2 исследо
вано |
также в |
работе Г. С. Жирицкого и Ю. Ф. Концевича [58]. |
||||||||
Характер |
изменения |
поворота |
|
|
|
|||||
потока от М в случае компрессор |
|
|
|
|||||||
ных решеток показан на фиг.87[59]. |
|
|
|
|||||||
Приведенные на фиг. 86 кри |
|
|
|
|||||||
вые позволяют также |
определить |
|
|
|
||||||
величины |
в |
2 |
при фиксированном |
|
|
|
||||
числе |
Х2 |
зависимости |
от типа |
Фиг. |
87. Изменение угла |
поворота |
||||
решетки |
(см. |
гл. |
V). |
|
|
|||||
выражение |
потока от М в случае диффузорной |
|||||||||
Напишем |
теперь |
|
решетки. |
|
||||||
для абсолютной величины плотно |
|
|
|
|||||||
сти |
циркуляции |
Г. |
Используя выражение для циркуляции и |
|||||||
уравнение |
сплошности |
среды, будем |
иметь |
|
||||||
|
|
|
|
|
Г = |
|
= ctg ! — ф- ctg р.,. |
(82) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нг |
|
Из равенства |
(81) следует, что с ростом скорости потока в дозву |
ковой области плотность циркуляции возрастает вследствие роста
обоих сомножителей второго слагаемого. Соответственно растут при этом и усилия, действующие на профиль. Увеличение плотности
13 М. И. Жуковский |
700 |
193 |
циркуляции, существенно |
зависящие |
от числа М и геометри |
ческих параметров решетки, может |
достигать в дозвуковой |
|
области 25—30%. |
|
|
Для турбинных решеток, |
имеющих |
углы $2эф < 20°, рост цир |
куляции может быть определен расчетным путем, если пренебречь
изменением углов выхода. Представим выражение для плотности циркуляции в виде
г ctg^-A cos 32 |
(«3) |
'л COS 8Х |
|
Кроме того, имеем условие постоянства |
расхода |
Фиг. 88. Изменение относительной цирку
ляции |
по |
высоте |
лопатки (di — диаметр |
Полагая |
82 =.нахо- |
|||
сечения |
лопатки, |
rf^p — диаметр колеса): |
|
|
I |
I “ЛCl -jK- ' |
||
------------------ расчетная зависимость: |
|
дим из (84) значение Х2 и |
||||||
|
- |
-----опытная зависимость. |
|
при |
помощи |
формулы (83) |
||
Если известны значения Гнееж |
|
вычисляем |
Г. |
|
||||
и |
Гсж, определенные расчетным |
|||||||
путем, |
и, |
кроме того, известна |
величина |
Гмесж, |
найденная экспе |
риментально, то можно с достаточной точностью вычислить значе
ние Ггяс по формуле
Гсж \
сж |
несж. эксп' |
|
Гяесж 'расч |
Сравнение опытных величин 1 — с расчетными для компрес-
Гнесж
сорных решеток показано на фиг. 88.
Силы, действующие на профиль в решетке, обтекаемой дозвуко вым потоком газа, могут быть вычислены [601, [61 ], если известны параметры потока за решеткой.
27. РАСЧЕТ УГЛА ОТКЛОНЕНИЯ ПОТОКА В КОСОМ СРЕЗЕ
При движении газа на выходе из решетки в случае, когда давле
ние в узком сечении АВ (фиг. 89, а) достигает критического, а давле ние за выходными кромками ниже критического, в косом срезе про
исходит дальнейшее расширение и скорость потока становится сверх-
3 Опытные данные получены Е. А. Гукасовой.
194
звуковой. На участке АВС распространяется волна разрежения, замыкающаяся косым скачком уплотнения вблизи АС. Скачок АС,
Фиг. 89. Схема скачков в выходной части сопловых решеток.
отражаясь, образует отраженный скачок CD. На выпуклой стороне
профиля возникает скачок EF. Скачки уплотнения АС и EF называ
ются кромочными. Падающие на выпуклую сторону профиля элемен тарные волны разрежения также отражаются.
13* |
195 |
Скорость потока при прохождении через косые скачки АС и ЕЕ
уменьшается, но остается сверхзвуковой. Положение и интенсив ность этих скачков зависят от формы выходной части профиля, тол щины выходной кромки, шага и угла установки решетки, а также от числа М. С увеличением скоростей на входе в решетку скачок АС
приближается к выходному срезу решетки, а скорость течения в косом срезе возрастает. Предельным является положение скачка АС, параллельное оси решетки (фиг. 89, б). В этом случае расширение полностью заканчивается в косом срезе.
При дальнейшем увеличении числа М углы, составляемые правой
и левой ветвями кромочного скачка с направлением кромок, умень шаются (фиг. 89, в).
Отклонение потока вследствие расширения в косом срезе может быть приближенно вычислено аналитически при помощи уравнения
сплошности. Предполагая, что в сечении АВ (фиг. 89, а) величина
произведенная |
постоянна, можем написать 1 |
|
|
pbwbb2 — p2w2t sin fi2. |
(86) |
Равенство (86) может быть представлено в виде |
|
|
|
Я (Хй) b2 = q (Х2) t sin р2. |
(87) |
Пусть в узком сечении АВ параметры газа достигают своего кри
тического значения. Тогда, полагая |
q (Xft) = 1, запишем (87) в виде |
|||
|
|
sin р2 = |
sin 2a0, |
(88) |
где |
|
|
|
|
|
|
S'n Ъгэф = |
• |
|
Обозначая р2 |
= |
+8, получим для величины |
отклонения |
|
потока в косом |
срезе |
известную формулу |
|
|
|
8 = arcsin (ущу sin 2эф) — 2аф. |
(89) |
Задавая л 2 или давление —, находим при помощи газодинами
ке |
Угол |
ческих таблиц функцию q (Х2) и вычисляем для данного |
отклонения потока в косом срезе 8. Результаты расчета по формуле (89) приведены на фиг. 90.
Формула (89), имеющая широкое распространение, получена в предположении, что поток в узком выходном сечении АВ канала является однородным и что площадь критического сечения совпадает с величиной 62.
Более точной формулой для вычисления угла 8 |
является |
7 (kJ sin Pj = <7(k2)sin 2. |
(90) |
1 Индекс b относится к величинам в узком сечении канала.
196
Откуда получаем
о = arcsin ( 9 (Аг) S'n^) $2э*' |
(90') |
Следует заметить, что несмотря на приближенный характер фор
мулы (89), результаты расчета удовлетворительно совпадают с опыт
ными данными.
Фиг. 90. Зависимость угла 8 от М2 при расширении в косом срезе.
Приведем формулу Г. Ю. Степанова [62], полученную путем использования уравнений количества движения, энергии и сплош ности и позволяющую рассчитать угол 8 и волновые потери в слу чае прямолинейных кромок. Решение указанных уравнений при бесконечно тонких кромках 1 приводится к следующему выражению:
1//Г |
(J~ Рг)2— £Z~p2ctg В |
|
k 4- 1 — p. |
1 В работе Г. Ю. |
Степанова приближенно учитывается толщина выходных |
кромок. |
|
197