книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

a G~ (w) — функция,

аналитическая

по

всей нижней полу­

плоскости, включая полосу (8.22), т. е. при 1шдаСу2.

Доказательство леммы вытекает из теоремы Коши.(8.19)

для функции б(да). Действительно,

возьмем в качестве кон­

тура

интегрирования

прямо­

mw-fr

угольник (рис. 9) и будем кон-

цы

этого

контура

продол­

жать

до бесконечности,

при___]___________________

чем направление обхода кон-

Imw-#

тура будем брать

против ча- Рпс

9_ прямоугольный контур

совой стрелки. Тогда ола-

(к

лемме I).

годаря убыванию

G(w)

при

сходится

Re да—интеграл

по каждой

горизонтали

быстрее,

чем интеграл

(8.24)

т. е.

стремится к

определенному пределу. По той

же при­

Поэтому функцию (?(да) в полосе

(8.22) можно представить

так

1‘т2+оо

if,+ оо

О(да) = -^ (

со —w

_ 1

Г

со — w

v

(8.25)

'

7

2ki 1

2ki ]

’

Zfl—оо

оо

где первый

интеграл

берется

по нижнему краю полосы,

а

второй—по

верхнему

краю. Обозначим

ЙГ,+оо

ц„+оо

бДда)—-. [

со — w

0-(да)=_>

[

.

(8.26)

4 '

2тл I

' 7

I

со — w v

7

rji—оо

—°о

Первый интеграл представляет собой аналитическую

функцию выше пути интегрирования.

Ниже

пути интегри­

рования

G+(w)— тоже

аналитическая

функция,

но

уже

собой функцию, аналитическую

ниже пути интегрирования,

т. е. б"(да) можно продолжить

аналитически

во

всю ниж­

нюю полуплоскость.

функций С+(да) и

G~(w) на

Дадим оценку

поведения

бесконечности; она

имеет различный вид для

случаев я>1

и а<1. Если з>-1,

то при |да|->оо

(8.27)

/И = —

<Т, + оо

С G (<о) du)

(8.28)

2т. 1 ]

х '

ifi—ос

в силу условия 3^>1 сходится.

0 и 1

(или а = 1), то

Если число а заключено

между

чае можно показать, что функция G + (да) убывает

медлен­

нее, чем —.

Действительно, разобьем

интеграл

для функ­

ции G + (да)

на три интеграла по

промежуткам,

изображен­

ным на рис. 10. Интеграл

по промежутку 2 есть ин­

теграл в конечных преде­

лах, и для него справед­

Рис. 10. Разбиение

интервала интег­

лива

оценка

(8.27).

Что

рирования на

три

части (к лемме I).

касается

интегралов

по

участкам 1

и

3,

то

при

(J

них G(w)~-<0~, где С — константа.

Тогда,

например,

ин-

теграл по промежутку 3 равен

С

00

С

оо

dx

С

С

(8.29)

J

W°(o) — w)

‘2rdw^

J

х’(х—1)’

w

где =* —•

Интеграл в правой

части

равенства (8.29)

при

да->оо либо

конечен (если а<(1), либо

возрастает,

как

In да

(если а = 1),

поскольку

х(х — 1)

ау

(8.30)

W

Аналогичную оценку будем

иметь

и для интеграла по ле­

вому промежутку

/. Следовательно, G+ (да)

убывает, как—

1 n W

1

„

об

е.

или —, т.

медленнее, чем —.

'

Такие же свойства имеет

W

W

'

и Хопфом и с более общей

точки зрения — В. А. Фоком.

В нашем изложении методики

решения уравнения (8.03) мы,

— усИпюСу,

(9.01)

охватывающей

вещественную

ось,

причем функция

Sf(w)

в этой полосе

нигде

не

обращается в нуль. В частности

предполагается,

что

при

всех вещественных ш

Sz (оз) > 0.

(9.02)

В дальнейшем (см. § 11)

мы

от этих ограничений по­

пытаемся избавиться,

однако

в

данном параграфе мы будем

на них опираться.

лемму I

к

соотношениям (8.17) и (8.18).

Применим теперь

Будем считать,

что

/(«>) и

(<о)

удовлетворяют лемме I

Есл I взять в

лемме I

полосу,

расположенную ниже ве­

щественной оси

('ft < 0,

= 0),

то для нее

формула (8.17)

дает

ОС

=

(9.04)

J-(w) = — ’

V 7

2ш 1

°> — w

V

7

и, следовательно,

—oo

./(ay) = ./+(ay).

(9.05)

Л,+(и-) = О

(9.06)

и

(йу) = Л'1’М

(9.07)

Это значит, что для

оптимального фильтра

функция J(w)

должна быть аналитической

функцией

во

всей

верхней по­

луплоскости,

a

— аналитической

во

всей

нижней по

луплоскости. Мы показали необходимость этого,

опираясь

на

соотношения (8.17)

и (8.18).

Достаточность этих усло­

вий для соотношений

(8.17)

и

(8.18)

легко

доказывается

с

помошью теоремы Коши, а

для соотношений (8.11) и (8.13)

на

основании

леммы Жордана,

если функции

J(ca)

и

ОО

/\

e"“’ J (co) do. (9.08)

f е'шт/(со) До = lim

(*e"“V((o) do = lim i

J

R-»oo

.)

J

—oo

—R

CR

Он

равен

нулю

при

x

0, если функция /(co) убывает на

бесконечности. Это соотношение

удовлетворяется

и

при

т = 0,

если /(со)

убывает

быстрее,

чем —■ ■, тогда интег-

рал

по

полуокружности

исчезает

и

со1 +3

при т = 0. Если функ­

ция /С/со)

на бесконечности исчезает

равномерно, то

к

ней

тоже можно применить лемму Жордана и

написать

ОО

(со) dco = lim

[ е;“Х (со)

d^ = 0

(9.09)

[ е‘шт

J

R-»oo

J

-°о

CR

при

х < 0,

где

CR — полуокружность в нижней полуплос­

полуплоскости (1ш<о<0) и исчезать при

|<оо* о|-

равномерно

(в этой полуплоскости). В соответствии

с формулой (8.09)

частотная характеристика /До») должна

представлять собой

в ней

Q

не быстрее некоторого полинома Q (ш) = ^Qa(z«>)a

В.

a=0

Функция J (ш) = К (<“) ЗД<о) — Sh{ (ш) должна быть анали­

должна

в ней убывать при

| <n | -> оо

быстрее, чем —3

(где о>0).

Из

требований А и В можно получить решение задачи,

которое

выражается через вспомогательные

функции (<*S ’>)

и S" (л),

произведение которых равно данной функции ЗДой,

г. е.

Sf(OJ) = S;(co)Sf’(o>),

(9.10)

где *S(w)

и 3~(ф), подобно

функции

ЗДю),

являются ана­

того функция (<*3 о)

является аналитической и не обращается

в нуль во всей

верхней полуплоскости (при

1га

—у),

а функция S~(u)J обладает теми

же свойствами

в

нижней

полуплоскости (при Imw<y).

множители неоднозначно,

Разумеется,

это

разбиение на

определить *3 и S’-

Известно

[см. формулу

(3.02)], что

S?(a>) есть четная функция w. Поэтому

з>) здш)=s; (-

(эи о

Отсюда естественно

принять, что

*3 (a>) = S“(—w),

S’(«>) = Sf+(—«>).

(9.12)

Будем считать, что на бесконечности в нашей полосе

функция 3.(<и) убывает, как —где /-—1, 2,...

и с—поло-

жительная постоянная. Это значит, что

lira w

(9.13)

w->±oo С2

Чтобы фактически найти *3

и 3~, введем функцию

(&)2 +t2^^Aw/

(9.1 4)

где у — произвольное число, большее

у. Будем считать,

о?-|-у2 = (у-|-/ш) (у—iw),

(9.15)

получим

G fa) = In в -

+ In ft +

. (9.16)

Первый логарифм формулы (9.16) является функцией,

аналитической в верхней

полуплоскости, второй

логарифм

Г?-»- (<о)= In

г

In

G + Z(d)rsr<“) ,

(9.17)

С

с

откуда функции 8^

и 87 получаются в

виде

о г/ \

С

'

С—1 / \

£

-G (ш)

,(9.18)

,(")=Г~7

'W==rT"7

причем сами

функции

G+

и G~

определяются

форму­

лами (8.26).

Недостаток этих формул в том, что в них входит про­

извольное число '( и

что

они

выведены при условии (9.13).

Функции

и 5~, определенные формулами (9.18),

об­

ладают свойствами, сформулированными выше.

Таким об­

разом,

лемма I позволила разбить функцию Sf

(со) по фор­

муле

(9.10).

В дальнейшем мы всюду будем под *8

и

S~ понимать

выражения (9.18). На бесконечности (в

тех

|<о|->09

11Ш --------------- -- = 1,

11Ш --------=------1-

(9.19)

с

(<о|->оо

с

Выписанные выше формулы на первый взгляд довольно

сложны.

Однако в приложениях часто можно взять Sf(w)

в виде

рациональной функции, т.

е. отношения двух по­

линомов [ср. формулу (4.33)]

РЛ(со2)

(9-20)

^(<й)==^М’(а>6)-

РДш2)^0 при

( = 1, 2,. .., b).

(9.22)

и 1т_Ур>0), а через —хл и

—у? корни в нижней полу­

плоскости. Действительно,

выражения (9.24)

удовлетво­

ряют соотношениям (9.10),

(9.12) и (9.19) и поэтому сов­

падают с выражениями (9.18).

В силу формулы (9.10) мы имеем

7(ф) = (ф) s+(o>) 5-(ф) - shf (ф),

(9.25)

5—483

(55

конечности. Тогда ее можно представить в

виде

суммы

двух функций — полинома Р (си)

и

функции

//Деи), уже

удовлетворяющей всем условиям леммы I

И (ш) = />(ш)_}_//1(со).

(9.31)

Мы образуем f-Ц и Н~ по лемме 1,

полагаем

// +((U)=P(CO)+//1+(CO),

//'(СО) = //Д®)

(9.32)

Считая,

что 8ft'.(co) соубывает,

как

(где s :> 1),

мы будем

иметь

и

// (со) 'vu/ s

(при

CD —> ОО)

(9.33)

//+(со)^шг-&, ./(<0)^-1,

(9.34)

так что

функция /(со)

действительно удовлетворяет усло­

вию В.

Условие А в

отношении

поведения на

бесконечно­

Действительно,

наряду

с разбиением функции Н (си), вы­

бранным выше, можно взять другое разбиение

Я(со) = Я + + (со)4-//--(со),

(9.35)

в котором функции // + +

и Н~~ являются аналитическими

в тех же полуплоскостях, что и Н+ и Н~, но ведут

себя

на бесконечности

иначе.

Сравнивая последнее выражение

со взятым выше разбиением (6.27), мы будем иметь

//--(си) — //“ (си) = //+(си) — // + Д<и),

(9.36)

где левая часть — аналитическая функция в верхней

полу­

плоскости, правая часть — в нижней. Поэтому обе

части

5*

67

всей плоскости комплексного переменного ш, то она или не­

ограниченно возрастает при |«>| -> оо или сводится

к по­

стоянной. Поэтому

функция Н~~ уже не будет убывать

на бесконечности, а

будет расти или стремиться к

посто­

янному пределу.

Вычислим интенсивность процесса на выходе оптималь­

ного фильтра

00

A. j ^(co^s^co)^,

(9.37)

—00

|5(* да)|2 = |5-(а>)Р = 5/(«>),

(9.38)

которое

будет обосновано ниже (см. § 11).

Поэтому фор­

мулы (9.29) и (9.37) дают

СО

(9.39)

— 00

так что

для получения конечного значения

х2

(без

чего

найденное решение никакого

смысла не имеет),

функция

|7/_(м)1

должна убывать при

<о->з±юо быстрее,

чем

—.

Г о

х2 <оо

(9.40)