книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

Прогноз может быть осуществлен или по всему «прош­

лому» функции m(t) или по части прошлого. В том и дру­ гом случае опираются на статистические свойства функ­ ции m(f). Обычно предполагают, что они заданы зара­ нее— известны из предыдущих статистических исследова­ ний данного случайного процесса т(0 или подобного ему.

Наиболее важные статистические характеристики случай­

Корреляционная функция в какой-то степени характери­ зует статистическую связь между значением функции т в мо­

ми, то среднее значение произведения в формулах (1.06) и (1.07) равно произведению средних значений, а это дает

Rm(n) = 0. Наоборот, для нормальных случайных процес­

всех рассматриваемых функций тождественно равны нулю.

Это не ограничивает общности: если, например, т (Q 0,

то мы вводим новую случайную функцию Дт (Z)=/n Д) — т (t)

вокруг среднего значения п (/), поскольку известный „сред­

ний уровень" помех/г(/) подавляется без всякого труда. Функцию Rm(t) называют также функцией автокор­

реляции случайной функции (процесса) m(f) в отличие

9

от взаимной корреляционной функции, которая будет вве­ дена дальше.

При увеличении т статистическая связь между значе­

чения становятся статистически независимыми. Поэтому

лежат в определенных интервалах. Однако в проблемах ли­

корреляционной функции любого случайного процесса т (t) — ее четность

Нас будет интересовать больше всего задача отфильт­ ровывания помех. В связи с этим мы рассмотрим три типа фильтров .*

(теоретически при —оо</<оо), а потом обрабатывает­

функцию x(t). Такой фильтр можно уподобить счетноре'- шающему устройству, которое записывает, обрабатывает и дает результаты в виде кривой или таблицы.

* Данная классификация фильтров не является общепринятой и введена нами для удобства изложения.

10

кой-то степени компенсирует потерю времени на фильтра­

цию. Ясно, что проблема прогнозирования возникает толь­ ко в теории фильтров II и III типа, поскольку для фильт­ ров I типа прогнозирование не отличается от фильтрации.

В дальнейшем мы будем рассматривать линейные фильтры, осуществляющие над входным процессом только линейные операции. Другими словами, мы будем искать

наилучшую преобразующую систему с линейным операто­

ром К. Его можно записать в интегральном виде следую­ щим образом:

Из этих формул видно, что значение x(t) на выходе пре­ образующей системы линейно комбинируется из значений

(1.11), называют стационарным линейным фильтром. Он обладает следующим свойством: если функции f(t) соответ­ ствует некоторая функция x(t), то функции f(t+s) соот­ ветствует функция x(^+s), т. е. при сдвиге входной функ­ ции по оси времени выходная функция сдвигается точно так же. Ясно, что в проблемах фильтрации стационарных

случайных процессов, не изменяющих своих свойств при ■временных сдвигах, фильтры также должны быть стацио­ нарны. Нестационарному линейному фильтру соответству­ ет более общее линейное преобразование вида

—00

которое мы в дальнейшем рассматривать не будем. Заметим, что формулы (1.10) — (1.12) не являются еще

самой общей записью линейного преобразования. Действи­ тельно, например, в тривиальной задаче о фильтрации при условии n(t)=O мы имеем £=1 и оптимальный фильтр

12

производит тривиальную операцию x(t) =f(t) = m(t) с ну­ левой ошибкой. Однако эту операцию можно записать в интегральном виде только с помощью несобственной функ­

J F(t) 8 (0 dt = F (0)

для любой функции ,F(t). Полагая мы и полу­ чим по формуле (1.10) x(t)=f(t). Однако использование

несобственных функций часто нежелательно. Представле­

ние теории фильтрации в виде, исключающем применение несобственных функций, будет дано в § 5.

Для фильтра II типа функция k(t) должна удовлетво­ рять соотношению

13

дение фиксированной функции g на случайную функцию f не усредняется, а интегрируется по времени; с подобными выражениями мы встретимся в гл. III.

Таким образом, линейный фильтр III типа является своеобразным коррелятором — прибором, дающим резуль­

тат интегрирования произведения двух функций за проме­ жуток времени Т — заданной функции g и входной функ­ ции /. Фильтры I и II типа совершают ту же операцию по

бесконечному промежутку времени, как это показывают формулы (1.10) и (1.15).

§ 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ЛИНЕЙНОГО ФИЛЬТРА

Исследуем свойства фильтра К, обеспечивающего наи­ высшую точность воспроизведения полезного сигнала при

известных свойствах сигнала и помехи. Будем считать,

что полезный сигнал и помеха представляют собой стаци­ онарные случайные процессы. Точность воспроизведения

будем характеризовать средней квадратичной ошибкой е2. определяемой формулой (1.04). Нашу задачу можно фор­ мулировать так: найти такой фильтр К, чтобы средняя

квадратичная ошибка воспроизведения нужного нам сиг­ нала h(t) выходной функцией x(t) фильтра К была мини­

мальной. Такой фильтр называется оптимальным. Реше­ ние задачи, как мы увидим далее, сводится к решению ин­

тегрального уравнения, определяющего функцию k(t) ис­ комого оптимального фильтра.

Итак, имеется линейный фильтр, на вход которого по­

14

Преобразовывая квадрат первого члена справа в двойной интеграл, получим

Здесь 7?f(x) есть по определению (1.07) автокорреляционная

функция случайного процесса (1.01) на входе фильтра К, являющаяся согласно формуле (1.09) четной функцией своего аргумента. Функция 7?Л/-(Т) называется взаимной корреля­

ционной функцией стационарных случайных процессов й(0

Окончательно средний квадрат ошибки запишется в виде

s2 == JJ й (т) й (о) Rf (т — з) dzda — 2 J й (т) Rhf (т) dx + Rh (0).

15

Он зависит не от самих функций h (/) и / (/), а от их кор­

реляционных функций.

При каком же условии функция k (t) обращает выраже­

ние (2.09) в минимум? Покажем, что необходимое и доста­

последней формулы равна Е. Первый и второй двойные ин­ тегралы во второй строчке равны вследствие того, что функция Rf(t — □)■—четная. Поэтому выражение для Е' за­ пишется в виде

Е

(2.П)

16

(1.16). Однако для фильтра I типа это уравнение решается,

как мы сейчас увидим, довольно просто. Введем функцию

соответствующую некоторой корреляционной функции /?(х).

зывать спектральной функцией или спектральной интенсив­ ностью.

Введем еще функцию

частотной характеристикой, хотя в радиотехнике этот термин часто при­ меняется к абсолютной величине д (со).

18