книги из ГПНТБ / Вайнштейн Л.А. Выделение сигналов на фоне случайных помех

=

(2.21)

тогда на его выходе мы получим

ОО

00

x(t)= $ k(t')f^^dt’J

— 00

—ОО

Отсюда видно,

что функция x(t)

равна

х (t) = x^imt,

(2.22)

где

=

(2.23)

Величины /ш и хш

можно назвать

комплексными

амплиту­

дами входной и

выходной функций; коэффициент

переда­

/(O = Re^MeifflZl, л(О = Ке{лше/ш<},

(2.24)

определяющие установившиеся

синусоидальные

колебания

частоты со на входе и выходе фильтра К-

Теперь мы сможем без

труда

решить интегральное урав­

нение (2.10).

Для этого

умножаем обе его части

на

е“'“’и

интегрируем

ио х

от — оо до оо

J e^dx J &(a)/?f(x —s)da = J

е“‘Ъ?Л/(х) dx.

(2.25)

—СО

—00

—ОО

■

Произведя замену переменной по формуле

/ — х- а,

преобразуем

левую часть

уравнения (2.25) к виду

j

e—w,Tdx J k (о)

(x — a) da — J

&(a)da j e—““’^(x—a)dx —

— 00

—00

—00

—00

= J е~'ш% (з) da j

(0 dt = R («>) Sf (co).

(2.26)

—00

—00

(2.25)

принимает

вид

KHSf^==Shf(u),

(2.27)

и коэффициент передачи оптимального фильтра

Shf (w)

<2-28)

весьма

просто

определяется спектральными

функциями

? = (0) — ( р (т) k (a) Rf (х — а) dxdx.

(2.29)

—оо

Пользуясь формулами (2.19)

и

(2.17),

мы производим

сле­

дующие преобразования:

Jf JС k (4х)' k (4о)' R.1

('т

з) dxdx —

—00

ОО

00

k(.^k^)dxdx

j eta>(T

3)S^ (w) а<м =

00

со

ОС

—oo

—00

—cО

00

= 24

(“>)/<(-«>) 5, (co) (/(I),

cu,

(2.30)

■ w) Sf (co)] tZcu.

(2.31)

Пользуясь формулой (2.28), получим

ж J

Spco)

v

'

—оо

где мы использовали

четность функции

Sf(o>) = S/(-w),

(2.33)

вытекающую из четности

функции ^(т) [см.

формулу (1.09)

и § 3].

Рассмотрим задачу о простой фильтрации, когда

Л(0 = /п(0

И

=

(2.34)

Будем для простоты считать,

что

полезный

сигнал и

по­

меха не имеют корреляционной связи, т. е.

Rmn N = /п(0«(/-т) = 0.

(2.35)

Тогда корреляционные функции Rmf и Rf будут

равны

Rmf 0е) = т f ~*(

х) = т (0 т

(0 п

(т), |

)(* =

(0 + п (0] [т (Л -т) -ф- п (t — т)] = Rm (г) 4- Rn (t), |

и поэтому

(2.36)

•S;«f(U))=5,«(tt’)- Sf^>)^Srn (Ш) +5л(Ш)-

(2‘37)

Если учесть все это, то частотная характеристика (2.28)

будет равна

причем

при S/n(<u) = 0 и

5я(о)) = 0

функцию

К (ш)

можно

выбрать

произвольно,

например положить равной

нулю;

то

же относится к формулам (2.28) и (2.34).

Это — оптимальная

частотная

характеристика простой

фильтрации при

условии,

что

полезный сигнал

и

помеха

некоррелированы. Средняя

квадратичная

ошибка

(2.32)

для данного фильтра равна

- 1“ sm(w)s»(“)

(2.39)

£

sm(w)+s„(«)

Мы увидим в § 3, что Sm(w), Sn(w) и

т. и. суть неот­

рицательные функции своего аргумента.

Рассмотрим полу­

ченные соотношения в частных

случаях.

Предположим,

что спектральные функции сигнала и

помехи Sm (со) и ■$„ («)

не перекрываются (рис. 2).

Тогда

формула (2.38)

дает

(<о) = 1

при Sm («>)

0,

\

К (ю) = 0

при Sm (w) = Cl,

J

(2.40)

и по формуле (2.39) получим

s2 = 0.

(2.41)

В этом случае фильтрация происходит без ошибок, и на

выходе фильтра К воспроизводится

в

точности

полезный

Рис. 2. Разделение случайных про­

Рис. 3. Фильтрация в случае,

цессов с неперекрывающимися

когда спектр

помехи

частично

спектрами.

перекрывает

спектр

полезного

сигнала.

сигнал т (/). Если же спектральные функции S

(w) и S,((co)

перекрываются, то фильтрация происходит

с некоторой

ошибкой.

Так, например,

если

взять 5,л(«) и

5п(со), как

на рис. 3,

то К (си) = 1

при

ш <0),, а при cot < w <СШ2 Функ­

ция К (w)

непрерывно

спадает

до нуля. Ошибка (2.38) при

этом отлична от нуля.

Она возникает как от

пропускания

части спектра помех (при

(о, < ш << ш8), так и

от искаже­

лика по сравнению со

спектральной интенсивностью сигналов

(см., например, рис.

4). В этом случае

приближенно имеем

S„(co)

W =

(2-43)

=

(0),

(2.44)

рая уклоняется

от

h(t)

на ве­

личину е (0 ;

поэтому помехи на

выходе естественно характери-

зо'вать их интенсивностью е2.

Мы показали выше, что ин­

тенсивность

помех

на

выхо­

де фильтра равна интенсив­

ности сигнала, т.

е. отноше­

ние сигнал/помеха

на

выходе

Рис. 4. Спектр помехи,

полно­

равно

1, когда

на

входе по­

меха гораздо интенсивнее по­

стью перекрывающий

спектр

полезного сигнала и

более

лезного

сигнала

и

занимает

интенсивный.

s2 С щ2,

(2.46)

показывающее, что при более 'благоприятных

условиях

Из четности

функции

следует, что и

сопряжен­

ная ей по Фурье функция Sf(w)

тоже

четная.

Действи­

тельно, в силу

соотношения

(1.09) формула (2.16)

прини­

мает вид

Sf(w)= *J

cos сот/?Дх) di — 2 J cos wiR^di,

(3.01)

—оо

О

откуда

Sf (о>) =

(— ю).

(3.02)

Теорема Хинчина утверждает, что функция ЗДш) для

любого случайного

процесса

f (t)

не

может принимать от­

рицательных значений, т. е-

Sf(co)>0.

(3.03)

При этом оказывается,

что

произведение Sf(w)dw пропор

ционально

интенсивности

колебаний на выходе узкополос­

ного

фильтра,

пропускающего

лишь

частотный диапазон

(ш.ш-ф- <А>), когда на

вход фильтра подан процесс [ (t).

Из формулы (2.17)

следует

0°

^ (°)=H?) = J-(3.04)

—со

Величина /??(0) = /2

называется

интенсивностью процесса

/ (/).

Так,

например,

если f (t)

есть’ напряжение, приложе! -

ное

к концам

некоторого

сопротивления,

то величина ]-

пропорциональна средней

мощности,

выделяемой в этом

сопротивлении.

Правая

часть

равенства (3.04) — некоторый

интеграл

по частотам.

Естественно отождествить каждый

элемент

этого

интеграла с

интенсивностью,

приходящейся

щим образом.

Пропустим процесс f (Г) через

линейный

фильтр К- На выходе получим случайный процесс

х (0 = J k(t')f (/ — f) dt',

(3.05)

—ОО

интенсивность

которого равна

t") dt'dt" =

f K(<n)K(— «)Sf (a) du,

—00

—oo

(3.06)

/С(—о>) = /ф»,

(3.07)

7<(ш) А'(—ш) = [7<(ш) |а

(3.08)

и

00

(3.09)

j !/<(«>) I8 5,(0>)d«>.

фильтра К, спектральную функцию

(«)

на входе и ин­

тенсивность колебаний на выходе фильтра.

которого

Возьмем фильтр,

частотная характеристика

Л' (о>) = 1 при частотах,

лежащих в

промежутках (о>,

ы-^-du)

и (—<о — d<a, — и), и

/((ш) — 0 при

других частотах.

Тогда

формула (3.09) дает

(3.10)

Так как в последней

формуле

левая

часть

неотрица­

также вытекает из формулы (3.10)

Так как <d—-круговая

частота (обычная частота равна

то 5Д<о) — интенсив­

/dw

.

\

если различать

положитель­

стот (^7- = 1

гц, например),

ные и отрицательные частоты.

Если

рассматривать только

положительные частоты,

т.

е.

писать

формулы (3.04) и

(3.09) в

виде

/2 = 4 fSz(<D)rf(D,

о

(3.11)

оо

то на спектральный интервал в 1 гц

приходится интенсив­

ность 25Дш).

Отсюда и

вытекает

название

спектральной

интенсивности

для функции

(ш).

Формулы (2.17) и (3.03) позволяют вывести неравенство

I'M’)

1

= 27

< -Д-

f S, (<d) d<3i,

2л

f '

'

т. е.

|^(г)|<^(0).

(3-12)

Поэтому функция корреляции при х = 0 имеет

наибольшее

значение. Это соотношение можно доказать

более

про­

сто, а именно с помощью неравенства

[/(0^/'(/-<^0

или

Л0 + Л^Д>^2/(0^-Д.

Образовывая среднее значение левой и правой

частей

этого соотношения, получаем неравенство

(3.13)

взаимная функция корреляции.

Для двух

процессов m(t)

и п (t) она определяется так:

Rmn ()* ==m(t)n(t—T).

(3.14)

Она отражает статистическую

связь двух разных процессов

Взаимные

корреляционные

функции

в отличие от

авто­

корреляционных функций

не

являются

четными,

но,

как

легко показать,

(З-15)

где

Rnm ()*

= n(t)m(t— i).

(3.16)

Действительно,

Rnm (— х) = п (0 /п (f + т) = п (/ — т) m(t),

откуда и следует

равенство

(3.15).

Соотношение

(3.15)

переносится и

на

соответствующие спектральные

функции

S

(w) = S

пт

(—<»).

(3.17)

тп'

'

'

'

4

7

В силу вещественности

функции

пользуясь

инте­

гралом Фурье

s„n (°’) = $

(х)dz'

(3-18)

нетрудно получить

также соотношение

'

5тп(-«0 = 5;,г(ш).

(3.19)

Функция Зтп(ы)

в общем случае комплексна,

поэтому

уяснить себе ее смысл,

возьмем

случайный

процесс

f (/),

равный

сумме двух

процессов

/п(1) и

п (t)

f

=

n(t),

(3.20)

и вычислим функцию

К, (’)= М0 + " (0) |"г(/ — г)4-п(<- х)] =

= (’) + (’) +

(’)

+

(')■

(3.21)

Переходя к спектральным интенсивностям и пользуясь

соотношениями (3.17) и (3.19), получим

S, (») = w + S, (»)+(») + S

("■) =

= («’) +

(“) + 2Re s,„(») ■

(3.22)

Слагаемые Sm(w) и Sn(w)

по

теореме

Хинчина имеют

четкий физический

смысл,

их

сумма

равна спектрадьной

интенсивности

(со)

при

отсутствии

корреляции между

случайными процессами

m(t)

и

п (/).

Дополнительное сла­

гаемое 2ReSOTz;(o))

есть

„интерференционная“

интенсив­

ность,

обусловленная статистической

связью

между m(t)

и n(t).

Мнимая

часть

комплексной

функции

Smn

столь

явного физического смысла не имеет.

функций и

Рассмотрим

примеры

автокорреляционных

R(O = R(0)e-“M,

S(o>)=^^

(3.23)

и наоборот

^(Т)==^В

(3.24)

Формулы (3.23) всего

легче

проверить,

задавая

функцию

7?(х) и вычисляя 5(ш)

по (2.16), а формулы (3.24) — зада­

вая S((o) и используя

соотношение (2.17).

В обоих случаях