книги из ГПНТБ / Преснухин, Леонид Николаевич. Основы теории и проектирования приборов управления учебное пособие для машиностроительных и энергетических вузов
.pdf25. Аппроксимация оптимальной функции веса |
149 |
В этих формулах коэффициенты усиления ДСУ приведены нор мированием к единице, а масштаб времени каждого приближения
подобран так, чтобы уравнять их времена входа в режим с наблю дательным временем аппроксимирующего метода. Функции веса Pi, Рз, Pt и аппроксимируемая параболическая функция веса изо бражены на фиг. 93.
Для того чтобы иметь возможность быстро оценить порядок коэффициентов *Л и показателя а, не проводя всех указанных в на стоящем параграфе вычислений, можно рекомендовать следующий прием.
При больших значениях т аппроксимирующая функция веса
Р(г) = (Л2т + Л3^+ . . .
приближенно сводится к последнему члену:
Дл-сл-1 е-«. |
|
|
|
|
|
Полагая Дл = 1, |
можно, по |
|
|
|
|
крайней мере в первом прибли |
|
|
|
||
жении, найти а |
из |
условия |
|
|
|
/(оо) = 1 |
|
|
|
|
|
J т"—1 е~” <Д= 1 |
|
|
|
||
о |
|
|
|
|
|
или, что то же, |
|
|
|
|
|
(п-1)! _1 |
|
|
|
|
|
а" |
|
Фиг. |
93. Аппроксимация |
параболи |
|
откуда |
|
||||
|
ческой функции веса |
функциями, |
|||
а = ]/(л—1)!. |
имеющими кратные |
корни характе |
|||
|
ристического |
уравнения. |
|||
Тогда определение |
коэффициентов |
Ak сводится |
к более про |
||
стой задаче —к приближению функции Р(т)еи многочленом
Лх+Лт2+ • • • +Адл-1-
Когда величины Дй определены, можно найти более точное зна чение а из условия
J(Л2тД-Д3т2Д- . |
|
. |
. |
Д-Д^-1)e~a'ti/T= 1 |
||||
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
A<z . 2!А3 |
|
ЗМ4 |
|
’ |
' |
1 (л |
1)!А„ |
_ < |
02 + а-З |
‘ |
а4 |
' |
' Г а" |
|
|||
Повторяя несколько раз этот процесс, |
можно |
получить доста |
||||||
точно отчетливое представление о характере аппроксимации, кото
150 Глава III. Определение параметров движения цели
рая может быть произведена более точными, но и более громоздки ми методами.
Для синтеза ДСУ необходимо иметь функцию передачи У(z),
соответствующую функции веса, которой аппроксимирована опти
мальная функция веса.
Эту задачу легко решить, если учесть, что Y(z)=L(P).
В приложениях IV и V даны таблицы функций Р(т) и их изо бражений У (г), пользуясь которыми можно по вычисленной ранее
функции веса Р(т) |
найти соответствующую ей |
функцию переда |
||
чи У(г). |
|
|
|
|
|
|
|
§ 26. Синтез ДСУ |
|
Для того чтобы |
по |
вычисленной функции передачи составить |
||
схему ДСУ, |
необходимо установить, как вид |
функции передачи |
||
влияет на |
структуру |
схемы дифференцирующе-сглаживающего |
||
Фиг. 94. Параллельное со единение двух ДСУ.
устройства. Характеристики элементар ных наиболее распространенных звеньев ДСУ рассмотрены в § 21. Сложные схе мы ДСУ составляются последователь ным и параллельным включением эле ментарных звеньев, введением положи тельных и отрицательных обратных связей и образованием различного рода це почек. Рассмотрим, как при этих соединениях и связях меняются харак теристики ДСУ.
При параллельном соединении двух дифференцирующе-сглажи-
вающих звеньев (фиг. 94) сглаженная скорость получается как ли
нейная комбинация скоростей, определенных в каждом звене.
Очевидно, что функция веса, переходная характеристика и
функция передачи такой схемы будут выражаться аналогичными формулами:
P(x) = aPl (t)+6P2(t);
/(0==a/i (0 + V2(0;
Y(z) = aYl (z) 4- ЬУ2 (z).
Коэффициент усиления схемы с параллельным соединением
звеньев равен
k — f (оо) = afx (оо) -ф bf2 (оо) = ak{ + bk2.
Амплитудно-фазовая характеристика такой схемы равна линей ной комбинации амплитудно-фазовых характеристик составляю
щих:
A (w) |
= аА1 (и) |
-ф ЬА2 (ш) е~Р^. |
|
|
|
£ 26. Синтез ДСУ |
|
|
151 |
||
Следовательно, амплитудно-частотная и фазово-частотная ха |
||||||||
рактеристики сложного ДСУ выражаются |
через |
характеристики |
||||||
составляющих звеньев по тем же правилам, по |
каким модуль и |
|||||||
аргумент суммы векторов выражаются через модуль |
и аргумент |
|||||||
векторов слагаемых. |
|
|
|
|
|
|
||
А2 (ш) = а2 А? (®) |
Ь2А2 (со) -J- |
(®) А2 (со) cos [<р2 (°>) — ®i (<°) ]; |
||||||
+ „ |
,.А |
^1(<o)sin< i(u)4-i>A2(<»)sill<P2(“) |
|
|||||
lg |
CD ((О) |
==----------------------------------------- . |
|
|||||
|
|
аА[ (ш) cos |
(ш) -ф ЬЛ2 (ш) cos ср2 (“) |
|
||||
Динамическое отставание сложной схемы можно выразить через |
||||||||
динамические отставания |
составляющих |
звеньев |
следующим об |
|||||
разом: |
|
|
|
CPi |
(to) |
|
фо (со) |
|
|
|
|
|
|
||||
у- _ Jjm V (ы) __ |
ajM0)lim |
+ ЬА2 (0) lim |
м . |
|||||
|
<°~>о м____________ "—0 |
|||||||
д |
w->o |
<0 |
|
uAi (0) -|- ЬА2 (0) |
|
|
||
Но |
|
|
д2(0)=/2 |
|
|
|
||
^i(0)=/i(°°) = ^i; |
|
|
|
|||||
|
|
ИтД^) = Гд1; |
Ит^=Гд2. |
|
|
|||
|
|
ш—»-0 W |
|
о)“*0 |
& |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
у- |
|
-ф Ьк2Тл2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
Выбирая то или иное соотношение между а и Ь, можно обеспе |
||||||||
чить любую заранее заданную |
(положительную |
или |
отрицатель |
|||||
ную) величину динамического отставания.
В частности, подчиняя выбор коэффициентов а и Ъ соотношению
аk2 ТД2
&k\ Гд!
можно обеспечить отсутствие динамического отставания у ДСУ и, следовательно, мгновенную реакцию дифференцирующе-сглажи-
вающего устройства на маневр цели (74=0). Это значит, что век тор скорости будет направлен по касательной к сглаженному курсу цели, т. е. параллельное соединение двух ДСУ позволяет независи мо от времени входа прибора в режим обеспечить отсутствие в па раметрах движения цели скоростных ошибок (ошибок, определяе
мых ускорением дифференцируемой координаты) и мгновенное реагирование на маневр.
Если ДСУ состоит из двух развязанных между собой последо вательно включенных звеньев (фиг. 95), то одно из них 1 должно быть дифференцирующе-сглаживающим или только дифференци
рующим, а второе2—-сглаживающим. Здесь речь идет о развязан ных звеньях, т. е. о таких, когда первое звено действует на второе,
а второе не оказывает обратного воздействия на первое.
152 Глава III. Определение параметров движения цели
По определению функции передачи имеем
=Ь~^ = УЛ^-
L W |
L (vx) |
Перемножая оба равенства, получаем
^4 = У(г)=Г1(г)У2(г). |
(253) |
Фиг. 95. |
Последовательное, со- |
Фиг. 96. Обратная |
связь в ДСУ. |
единение |
двух развязанных меж |
|
|
ду собой звеньев; второе звено— |
|
|
|
только сглаживающее. |
|
|
|
На основании теоремы Бореля устанавливаем |
связь между ре |
||
зультирующей и составляющими |
функциями веса: |
||
Переходная характеристика сложного устройства выражается
через переходные характеристики звеньев по формуле
t |
|
t |
|
dt J |
= |
dt J |
f2 (0 A (t—) dt. |
• |
|
||
о |
|
о |
|
Подставляя в |
формулу (253) /со вместо z, получаем |
||
А (<о) е~Л(<«) = Д1 (<о) е-л.(»)Д2(со) *(»),£-/
откуда
Л(со)=А1 (со) Д2(“); |
с(со) = сР1 (со)+?2(ш)-/
Легко видеть, что k = kyk2 и
ТА = ТлЛ-Т12-
(254)
(255)
Характеристики ДСУ могут резко измениться и без включения
дополнительных звеньев, если в схему ввести так называемые об ратные связи. На фиг. 96 показана обратная связь (часть выход ного сигнала возвращается обратно на вход).
Если возвращаемая часть выходного сигнала складывается
с сигналом, подаваемым на вход, то такая обратная связь называет
$ 26. Синтез ДСУ |
153- |
ся положительной. Если в дифференциале (Д) происходит вычита ние сигналов, то обратная связь называется отрицательной.
Коэффициент |
р |
называется |
коэффициентом обратной связи. |
||
Функция |
передачи |
разомкнутого |
устройства |
равна |
|
|
|
|
Z. (х± »Л) |
(256)> |
|
|
|
|
|
||
Функцию передачи того же ДСУ с введенной обратной связью- |
|||||
(замкнутой схемы) |
обозначим через УДг). По определению |
||||
Г’(г)=7^- |
|
(257) |
|
|
|
|
Ь {Л) |
|
|
|
|
Разделив обе части ра |
|
|
|||
венства (256) на L(x), по |
|
|
|||
лучим, учитывая |
(257), |
|
|
||
К(г) =—, |
|
|
|||
' ’ |
1 ± |
)(* |
|
|
|
откуда |
|
|
Фиг. 97. Соединение |
звеньев ДСУ цепочкой. |
|
|
|
|
<258> |
|
|
В формуле (258) знак минус относится к положительной обрат ной связи, а плюс — к отрицательной.
В цепи обратной связи может быть установлено дополнительное-
сглаживающее звено. Если Y0(z) — функция передачи этого допол нительного звена, то
У>& |
Y{z) |
|
|
|
(259) |
|
ТрГ(.г)Го(< |
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
||
Рассмотрим соединение |
звеньев ДСУ цепочкой, |
схема которой |
||||
изображена на фиг. 97. |
|
|
|
|
|
|
Для простоты рассуждений вообразим, |
что |
цепочка |
представ |
|||
ляет собой электрический |
четырехполюсник. |
Входной |
сигнал х |
|||
является входным напряжением схемы, а |
падение |
напряжения у |
||||
на (2п)-ном звене — выходным сигналом; |
УДз)—функция пере |
|||||
дачи k-vo звена, а 4 — ток, протекающий через звено.
При этих условиях уравнения Кирхгофа для отдельных звеньев,
имеют (в операторной форме) следующий |
вид: |
Z (/2) К2 (г)=L (Z3) Гз (г) + L (/4) К4 (г); |
(260)' |
Z(/2n-2) K2n-2(2)=Z(/2n-l) y2n-i(2) +Z(/2n) r2„(z).
154 |
Глава III. Определение параметров движения цели |
При этом токи связаны соотношением
— Л;
Лл-2— Лл-3— hn-Г,
Подставив (261) в (260), получим
iGv)=z(/1)[r1 + r2]-z(/3)Jz2;
Z (A)r2=Z (/3 [Г2 + Г3 + У4]-L (/6)Г4;
^(/з)^ = ^(4)[^ + ^+^]-^(/7)^.
(261)
'I
(262)
L |
— Ь (/2л—з)[У2л-4 + 1^2л -з + У2Л-2] —L (/2л-1)У2л-2‘, |
|
L (/2л~з) Yln-i — L (/2п-1)[¥2п-?~1-У2л—1 + Y2n] . |
|
|
|
Выходной величиной цепочки является у, определяемая из |
|
уравнения |
|
|
|
А(3') = А(/2п)Г2л(г) = А(/2„_1)Г2л(г). |
(263) |
|
Исключим из уравнений системы (262) изображения |
промежу |
точных напряжений и свяжем выходную величину у с |
входной х. |
|
Для этого помножим обе части уравнений системы соответственно на No, N1}. . . Nt, . . . Mi-ь выбранные таким образом, чтобы при по
членном сложении всех уравнений |
все |
промежуточные величины |
|||||||
взаимно уничтожились. |
|
|
|
|
|
|
|||
Из |
системы (262) |
видно, что |
изображение |
каждого тока |
|||||
Д(/2%-з) |
входит только в три уравнения системы: |
£-ое, |
(й —1)-ое |
||||||
и (й —2)-ое. |
Для |
того чтобы из |
этих уравнений |
исключить |
|||||
Д(/2Й_3), необходимо между М-2; |
Nk-i и Nk соблюдать следую |
||||||||
щую зависимость: |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
NkYik = Nk^ [Г24_2 + Г2.,-1 + К2,]-М-2Г2.,_2. |
(264) |
|||||||
Здесь k — 2, 3, |
4 . . |
. |
п. |
M-i и М-2 |
находить Nk, |
||||
Уравнение |
(264) |
позволяет по |
|||||||
■обеспечивающее исключение А (/2*—з) |
из |
системы (262). Из урав |
|||||||
нений (262) видно, |
что начальные |
множители |
и |
следует |
|||||
.выбирать равными соответственно единице и т^-^ + ^г).
‘ 2
$ 26. Синтез ДСУ |
155 |
Составив указанную линейную комбинацию уравнений системы
(262), получим
L (л) NQ = L (/2.%—1)[ К2п-2“|-2л—1 Ц- ^2л1 -^л-1 —L (Ал—1) ^2л—1-М,—2 •
Согласно уравнению (263)
£(/2л_1)=^>.
Z 2л
Кроме того, 7VO = 1. Следовательно,
А(л)=^){[Г2п_2 + Г2л-1 + Г2„]А^-1 -Г2л-2Лгл-2}. .
' 2л
Учитывая формулу (264), получаем
L(x)=L(y)Nn. (265)
Функция передачи всей цепочки Y (z) по определению равна от ношению изображения выхода к изображению входа, поэтому
|
Г(г)=^= —. |
(266) |
||
|
v |
Цх) |
Nn |
|
Формулы (266) |
и (264) |
позволяют последовательно |
выражать |
|
функции передачи |
цепочек из любого |
количества звеньев через |
||
функции передачи соответствующих звеньев, а по У(z) могут быть получены и другие характеристики ДСУ.
Элементами рассмотренных ранее схем могут быть дифферен цирующие и интегрирующие устройства, усилители, запаздывающие звенья или более сложные элементы, в свою очередь состоящие из
указанных выше элементарных устройств,— инерционные и колеба тельные звенья.
Под дифференцирующими звеньями подразумеваются элемен
ты, дающие мгновенную производную, т. е. тахогенераторы, транс
форматоры и др. Функция передачи дифференцирующего звена
У(£)=г.
Интегрирующими звеньями являются фрикционы, конденсато
ры и другие элементы. Их функция передачи
Г(г)=т-
Под усилителями подразумеваются устройства, умножающие входную величину на постоянное число. Этими звеньями могут быть'
делители напряжений, зубчатые или рычажные передачи, ламповые усилители и т. п. Функция передачи усилителя
Y(z) = k.
156 |
Глава III. Определение параметров движения цели |
Под запаздывающим звеном подразумевается устройство, вос производящее входную величину с отставанием на Т сек. Запазды вание обеспечивается, например, магнитной записью координаты, последовательным зарядом конденсаторов, расположенных по окружности, или другими средствами. Функция передачи запазды
вающего звена записывается в виде
K(z)==e~^.
Все линейные дифференцирующе-сглаживающие устройства легко могут быть представлены в виде схем, собранных из перечис
ленных элементов, соединенных теми или иными связями.
--------*
—h6(zheo"l-»-l
'l7(t-rH)
Фиг. 98. Структурная схема ДСУ, работающего по методу конечных разностей.
Схема ДСУ, показывающая, из каких элементов составлено устройство и какими связями эти элементы соедийены, обычно на зывается структурной. На фиг. 98 приведена структурная схема дифференцирующе-сглаживающего устройства, работающего по методу конечных разностей.
Функция передачи этого ДСУ имеет вид
Г(г) = (1-^2Гн)Л1 |
(2б7) |
* н |
|
Из формулы видно, что схема должна состоять из |
параллель |
ного соединения входа [У(г) = 1] и выхода запаздывающего звена
[У1 (z) = е н]. Кроме того, после суммирующего устройства должен быть последовательно включен усилительный или масштабный эле мент с функцией передачи
* н
Контур RC и автоматический фрикцион, используемые для опре деления сглаженной скорости, имеют функцию передачи вида
(268)
Эти элементы можно рассматривать (фиг. 99) как дифференци рующее звено с последующим усилением (k=T), замкнутое цепью обратной связи с коэффициентом 0=1. На практике оказывается более удобным к элементарным звеньям относить не только четыре
£ 26. Синтез ДСУ |
157 |
названных выше элемента, но и более сложные устройства, обычно представляющие собой самостоятельные конструктивно закончен ные узлы ДСУ.
К этим устройствам следует отнести:
1)звенья, определяющие скорость по методу конечной разности
иимеющие функцию передачи
К(2) = (1-е-гГн)^-; ' н
Фиг. 99. Дифференцирующее звено с экспонен циальным сглаживанием.
2)инерционные звенья с функциями передачи: при работе в режиме сглаживания
K(z)=——,
1 + zT
б) при работе в режиме дифференцирующе-сглаживающего элемента
Г(2) = -^;
'1+гГ
3)колебательные звенья, соответствующие знакопеременному сглаживанию с функцией передачи:
а) при сглаживании
|
K(z) =------ |
1 |
, |
|
|
/ |
\2 |
|
|
|
|
|
+ "2 |
|
б) при дифференцировании со |
сглаживанием |
|||
' |
K(z) =----- . |
|
||
' / |
1 |
\2 |
|
|
|
|
|
-Н2 |
|
Схемы инерционных звеньев в электрическом |
исполнении изо |
|||
бражены на фиг. 62, а в |
механическом —■ на фиг. |
63. |
||
Колебательное звено в механическом исполнении показано на фиг. 77. Аналогичное звено может быть собрано и на электрических
элементах: А, С и L. На фиг. 100 изображены схемы |
колебатель |
|||
ных звеньев, работающих в |
двух указанных выше режимах. |
|||
Рассмотрим |
пример |
синтеза |
сглаживающего |
устройства |
с использованием |
перечисленных |
звеньев. |
|
|
158 |
Глава Ш. Определение параметров движения цели |
|
|
Пусть оптимальная функция веса СУ, изображенная на фиг. 92 |
|||
сплошной |
кривой, аппроксимирована функцией вида |
(242) |
|
|
Р(т) — 0,94е~°'57т — 0,99<?-0’45т sin (0,49т -j- 1,87). |
||
Оптимальная функция веса и ее аппроксимация показаны на |
|||
фиг. 101. |
Этой аппроксимированной функции |
веса соответствует |
|
функция передачи |
|
|
|
|
Y (z) =--------10,9г102,4------ |
’ |
(269) |
|
v ’ 420гЗ+ б16г2 4-395г+ 102 |
х |
|
p(t)
Фиг. 100. Схемы колеба |
Фиг. 101. Функция веса |
тельных звеньев в элек |
Сглаживающего устройства |
трическом исполнении. |
и ее аппроксимация. |
а—при сглаживании, б— |
|
при дифференцировании |
|
со сглаживанием. |
|
Для синтеза схемы следует разложить функцию передачи (269)
на элементарные |
дроби. |
(270) |
|||
у |
__ |
1 |
г |
||
'65___________ 0,0,94г_______________ 0,285_______ |
|||||
|
7 |
1,76г+ 1 (2 + 0,45)2 + 0,23 (г + 0,45)2 + 0,23 ’ |
' |
7 |
|
Такой записи функции передачи СУ соответствует согласно пра вилам синтеза структурная схема, изображенная на фиг. 102 и со
Фиг. 102. Структурная схема СУ из инерционного звена и двух колебатель ных звеньев.
стоящая из инерционного звена, работающего в режиме сглажива
ния, и двух колебательных звеньев, одно из которых работает в режиме сглаживания, а другое — в режиме дифференцирования со сглаживанием.