книги из ГПНТБ / Преснухин, Леонид Николаевич. Основы теории и проектирования приборов управления учебное пособие для машиностроительных и энергетических вузов

в том случае, когда амплитудная характеристика из-за наличия тригонометрических функций состоит из ряда полуволн, в качест­ ве соо целесообразно принимать предельную частоту «огибающей», или первый максимум. Для параболического сглаживания наимень-

Показатель затухания амплитудно-частотной характеристики

параболического сглаживания s=2. Действительно, при о)->со и $=2

1/4+ <027-2

Д (<о)=—-------z------------

ограничено и отлично от нуля.

Время реакции на маневр при параболическом сглаживании,

как и для метода конечных разностей, равно наблюдательному

времени. Действительно, из выражения для фазово-частотной ха­ рактеристики параболического метода сглаживания получаем

Д, = 27^=2'/(0) = Гн.

Функция передачи параболического сглаживания определяется

непосредственно как лапласово изображение параболической функции веса.

132 Глава III. Определение параметров движения цели

зуемся ими для сравнения и оценки рассмотренных в § 19 парамет­

ров движения цели.

Начнем с выражения функции корреляции и спектральной плот­ ности ошибок в прямоугольных составляющих вектора скорости через характеристики ошибок слежения, получающихся при изме­ рении сферических координат цели. Имеем

х== Дсоэ & cos р,

у= Д cos е sin р,

Н—Д sins.

Отсюда следуют зависимости между ошибками в прямоуголь­ ных и сферических координатах цели:

8х = 8Дсоз ecos Р —Д8езй1 ecos р— Д8рсоэ s sin Р;

о_у = 8Дсоз е sin р—Д8е sin ssinp + Дор cos в cos В;

оН= 8Д sin е Д8е cos в.

Учитывая формулы, связывающие прямоугольные и сферические координаты, получим

8х = X — X tg е ■ 8е —у8р;

*y = -jy-y tge.8s4-x8p;

8Д = 8-^-/У—Л/ctg е-8г.

На большей части курса цели ошибки изменяются с гораздо большей скоростью, чем координаты. Поэтому при определении ста­ тистических характеристик ошибок можно пренебречь скоростью изменения координат, полагая их неизменными на отдельных участ­ ках курса.

Учитывая, что ошибки слежения в сферических координатах — практически не связанные случайные функции, можно записать сле­ дующие выражения для функции корреляции ошибок в прямо­

угольных координатах:

&х W ~ Ri Д (х) + tg2 sA’se Д} + У2/?s? (т);

А £

д (х) +-У2 ^2 &Rb (х)

А*

Rih (т) = RtД(9 + Я2 cig2 е/?6б(т)

134 Глава III. Определение параметров движения цели

Если — ошибки в прямоугольных координатах цели, то спек­

тральная плотность ошибок в прямоугольных составляющих векто­

Аналогичные выражения получаются для статистических харак­

ности несглаженных ошибок в vr и Q будут также иметь вид (211). Согласно известным положениям теории случайных функций спек­

цели, усредненных в соответствии с рассмотренными в предыдущих параграфах методами. Опуская промежуточные громоздкие вы­ кладки, приведем лишь окончательные результаты. Среднеквадра­ тичная ошибка в скорости, полученной по методу конечных разно­

стей, равна

ошибка в скорости, вычисленной по методу конечных разностей, за­

висит только от амплитуд ошибок в координате и не зависит от их

сглаживания.

Как видим, при одних и тех же статистических характеристиках ошибок в координатах различные методы определения параметров движения цели приводят к существенно различным ошибкам. От­ сюда вытекает естественная задача: какой метод определения па­ раметров движения цели при заданных характеристиках ошибок во

входных координатах определяет наименьшие среднеквадратичные величины ошибок в параметрах движения цели? Решению этого вопроса посвящается следующий параграф.

§ 23. Выбор оптимального метода сглаживания в ДСУ

При решении этой задачи наивыгоднейшим будем считать метод сглаживания, при котором среднеквадратичное значение ошибки в сглаженной скорости (при заданных статистических характери­ стиках ошибок слежения) будет наименьшим.

Дисперсия ошибок в скорости (или другом параметре движения цели), сглаженной устройством с функцией передачи У (г), может

где G~((u)—спектральная плотность скорости изменения ошибок

в величине q, поступающей на вход ДСУ:

Q -(ио) = <i)2Gs9 (ш).

Выбор наивыгоднейшего метода определения параметров дви­ жения цели сводится, таким образом, к нахождению функции Y(z), обращающей в минимум интеграл (217). Иногда удобнее опериро­ вать не со спектральной плотностью, а с функцией корреляции оши­ бок слежения или скорости их изменения. В таких случаях для ре­

136 Глава 111. Определение параметров движения цели

шения поставленной задачи формуле (217) можно придать более удобный вид.

Ошибка в параметре, сглаженном ДСУ с функцией веса Р(т), выражается через ошибки несглаженного параметра посредством соотношения

и

при этом Р(т)=0, если т>7’н.

Согласно теореме Пугачева функция корреляции /?8И(^ —£2) будет получена из /?8~(^ —^), если произвести над ней дважды

Р(т), отвечающую наиболее выгодному методу выработки парамет­ ров движения цели.

Если сглаживаемый параметр в соответствии с гипотезой не ме­ няется во времени, то (221) —единственное условие, ограничиваю­ щее выбор Р(т). Определение относительного минимума функцио­ нала вида (220) при условии (221) сводится к отысканию абсолют­ ного минимума выражения

где Xi — постоянное число.

Пусть Р(т) — искомая функция веса. Тогда всякая другая функ­ ция Q (т) =Р(т) +аДР, как бы мало по абсолютной величине ни было постоянное число а, увеличивает значение функционала /.

/(С) = /(Р+адР)>/(Р).

тН тН

Z(P+ аДР) = J J [Р(г,) + аДР^)] [Р (т2) + аДР (т2)] R-(т, -t2) X

О о

/н

X dxx Йт2-|-^11J [Р(т)4-аДР(т)] rfx—1

д

или

т т

нн

I(Р-фаДР)==а2 J *j ДР(т2) ДР^)/?-^ —т2) dtx dxi-\- О о

г~Тнгн

-|-2а j J Р (Tj) ДР (т2) р ~ (?! — т2) dt! а1т2 + -о о

of-c + /(Р).

Дифференцируя это выражение по а и приравнивая [в соответ­

ствии с условием (223)] полученный результат нулю при а = 0, по­ лучим

оLo

Это равенство должно соблюдаться при любой функции ДР(т). Для этого необходимо, чтобы второй множитель подынтегрального выражения был тождественно равен нулю.

Следовательно, оптимальная функция веса устройства, сглажи­ вающего ошибки постоянного по гипотезе параметра, должна при 0<т<Тн удовлетворять уравнению

Имеем

тнгт1

т2 Т1) *^(^2)^2

ОО

138 Глава III. Определение параметров движения цели

мечаем, что функция веса наивыгоднейшего метода сглаживания параметров движения цели всегда симметрична, т. е.

можно применить следующий искусственный метод. Пусть спект­ ральная плотность ошибок в несглаженном параметре представ­ ляется дробью

0^) = ^,

'S(u2)

где Q(co2) и S (со2) —многочлены от ®2. Тогда решение интеграль­

извольных постоянных могут быть вычислены при подстановке об­ щего решения уравнения (226) в интегральное уравнение (224) и условие (221).

Применим приведенное правило к определению оптимальной функции веса устройства, сглаживающего неизменные по гипотезе параметры движения цели. Пусть ошибки, искажающие координа­ ту, имеют функцию корреляции вида (214), т. е.

/?г 9 (т) = е-а И cos 2т.

При этом спектральная плотность ошибок в скорости изменения координаты или в параметрах движения цели определяется соотно­

шением (216).

Этой спектральной плоскости соответствует функция корре­

ляции

/?^(т) = 2аЕ2?8(т)-

- (a2 + 22) Efq е~Л N cos [2 hl - arc tg -^^-1. (227)

Здесь 3(т) — импульсная функция.