Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Преснухин, Леонид Николаевич. Основы теории и проектирования приборов управления учебное пособие для машиностроительных и энергетических вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

10.64 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

§ 21. Устройства для определения параметров движения цели

119

Динамическое отставание при экспоненциальном сглаживании

ТЛ = ?' (0) = Т, так как <р' (<») = 7 .

Таким образом, время реакции на маневр

т^27^=—Тн.

мд 0 и

Следовательно, время реакции на маневр цели при экспонен циальном сглаживании в 1,5 раза меньше, чем при сглаживании

по методу конечных разностей с тем же наблюдательным време нем. Повышенная чувствительность экспоненциального метода определения параметров движения цели к маневру обусловлена ха рактером функции веса. Из фиг. 65 видно, что ординаты функции веса убывают с увеличением т. Это значит, что при усреднении па раметров движения цели больший вес придается значениям усред няемой величины, возможно ближе расположенным к .текущему моменту времени. По мере старения данных их влияние на выраба тываемые значения параметров движения убывает.

Из рассмотренных элементов, осуществляющих экспоненци альное сглаживание, могут быть составлены различные схемы. Так, если одинаковые ячейки RC включить последовательно через развязывающие усилители с коэффициентами усиления, равными единице, то такая цепочка из п ячеек будет сглаживать ошибки, поступающие на вход, со следующей функцией веса:

л-1	--=-			(192)

где T=RC — постоянная времени одной		ячейки.
На фиг. 70 изображены графики Рп(т)		для п=1, 2, 3 и 4. При
расчете этих графиков Т для каждого	звена		принималось	таким,
чтобы наблюдательное время всей	цепочки		оставалось	равным

20сек.

Переходная характеристика «-кратного экспоненциального

сглаживания равна интегралу	от	функции	веса:
1		хп~1 е	т dx =
7”(п —1)!		хп~1 е	т dx =
7”(п —1)!		~
= 1 — е			1	(193)
= 1 — е		(п-1)!		(193)
		(п-1)!
Графики fn(t) для цепочек,	обладающих одинаковым наблю

дательным временем, равным 20 сек., изображены на фиг. 71.

120 Глава III. Определение параметров движения цели

Наблюдательное время Тя устройства, реализующего «-крат ное экспоненциальное сглаживание, определяется из соотношения

Д(Гн) = 0,95.

Обозначая у-=к(«), получим уравнение, позволяющее свя

зать наблюдательное время устройства для «-кратного сглажи

вания с постоянной времени его отдельных звеньев.

х"-1

— 0,05.

(п-1)!

л-кратном экспоненциальном сглажи	ристики для n-кратного экспо
вании.	ненциального	сглаживания.

Решение этого уравнения для «<10 сведено в таблицу.

п	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X (п)	3	4,7	6,29	7,75	9,15	10,51	11,84	13,15	14,43	15,71

Z(«) показывает, во сколько раз наблюдательное время «-крат ного тахометра больше постоянной времени каждого его звена.

Амплитудная и фазовая характеристики «-кратного экспонен

циального	сглаживания определяются как модуль		и аргумент
преобразования		Фурье от функции веса:
		Л(“)=—1—z;	(194)
		<РЛ ((o)=«arctg<oT.	(195)
На фиг.	72,	73 и 74 приведены графики характеристик Ап (<о),
<р„((«) и Вп (<о) = ш Ап (<о), рассчитанные из условия,			что наблюда

тельные времена различных цепочек из контуров RC одинаковы и равны 20 сек.

§ 21. Устройства для определения параметров движения цели

121

Показатель затухания s характеристики Л»(со), как видно. формулы (194), равен п.

Фиг. 72. Амплитудно-частот			Фиг. 73. Фазово-частотные ха
ные	характеристики	для	рактеристики для	я-кратного
«-кратного экспоненциального			экспоненциального	сглаживания.

сглаживания.

График зависимости предельной частоты соо от числа ячеек п при фиксированном значении наблюдательного времени цепочки

Гн дан на фиг. 75.

X (л)

Фиг. 74. Характеристики В (о>) для		Фиг. 75. График зависи
n-кратного	экспоненциального	мости	предельной часто
	сглаживания.	ты от	числа звеньев п.

Динамическое отставание при n-кратном сглаживании опреде ляется из формулы

7\ = lim — arc tg ч>Т = пТ=^-;

Ф-И) ш

л vO

122	Глава III. Определение параметров движения цели
«следовательно, время реакции на			маневр
	ГТЛ	2л	m

м~ Х(л) 7 н'

На фиг. 76 изображен график отношения TJT„ в функции «от п. Сравнение характеристик устройств для n-кратного сгла

живания параметров движения цели при различных п приводит к следующим выводам.

По Мере увеличения п крутизна амплитудно-частотных харак теристик в районе больших частот возрастает, в то время как ди

>-фиг. 76. Отношение вре

мени реакции на маневр

;цели к наблюдательному шремени в зависимости от числа звеньев п.

апазон малых частот, которые незначительно искажаются при сглаживании, удлиняется. При частотах, свойственных спектру ошибок слежения (со —2-J-3 1/сек), и при наблюда тельных временах порядка 10—20 сек. увели

чение п свыше 3—4 практически не улучшает демпфирующие качества n-кратного экспо ненциального сглаживания. С другой сторо ны, увеличение п увеличивает крутизну фа зовой, характеристики в нулевой точке. Это значит, что с увеличением п время реакции на маневр возрастает и, следовательно, чув ствительность ДСУ к возможным измене ниям параметров движения цели притуп ляется.

Из фиг. 76 видно,	что при	Ти>Та п>3. Сглаживающие свой
ства ДСУ улучшаются ценой		резкого	понижения	чувствитель
ности к маневру. Поэтому		вряд ли	рационально	для опре
деления параметров	движения цели		использовать	устройства
n-кратного экспоненциального		сглаживания при п>3. Однако

сдвоенный и строенный экспоненциальные тахометры при стати стических характеристиках ошибок современных систем слежения являются вполне удовлетворительными узлами определения пара метров движения цели, неизменных по допущению.

Функция передачи, отвечающая n-кратному экспоненциаль ному сглаживанию, определяется по известным правилам вычис ления преобразования Лапласа.

е	т =---- !----
J	(14-гГ)'1
2ИЛИ
1_____
zT„ } п ‘

X(n)j

£ 21. Устройства для определения параметров движения цели

123

	Можно показать,			что				т	быть пред
	Можно показать,			что	функция Х(л)=-у- может				быть пред
ставлена в		виде			X (я) =71
		п			X (я) =71
где	1х (я)	п	при	п ->	со.	т->
где	---- > О		при	п ->	со.	В таком случае согласно известной
из анализа теореме
			lim K.(z) = lim ----- J----- - — e-zTa.
				•I '	'	f	.	~T \ n
						\	.	££н\
						\		n /

е~гГн— функция передачи запаздывающего звена.

Фиг. 77. Схема из двух автоматических фрикцио нов, работающая как сглаживающее или диффе- ренцирующе-сглаживающее устройство.

Таким образом, при беспредельном увеличении п л-кратное

экспоненциальное сглаживание сводится к чистому запаздыва нию.

Из контуров RC или автоматических фрикционов могут быть составлены схемы не только с последовательным включением элементов, но и более сложные. Одна из таких схем изображена

на фиг. 77. Она	состоит из двух автоматических	фрикционов
Фи Д1 и Ф2;	Дг, дифференциала Д3, двигателя постоян
ной скорости М,	одной зубчатой пары с z=3 и	нескольких с

l~1. Если на вал 1 подавать сглаживаемый параметр или диффе ренцируемую координату и, то эту схему можно использовать как

СУ или ДСУ. В первом случае сглаженное значение	параметра
я снимается с вала 2, а во втором случае сглаженное	значение

скорости изменения координаты и будет получаться как угол пово

рота вала 3. Напишем уравнение, описывающее работу этой схе мы в режиме сглаживания.

Уравнение автоматического фрикциона Фь Д1, имеющего по стоянную времени Т\, запишется в следующем виде:

Лу+У = л-

(196)

124 Глава III. Определение параметров движения цели

Аналогично для Фг; Да					(197)
	Т2и-\-и—у.				(197)
С дифференциала Д3 снимается величина
		За —и			(198)
		2			(198)
		2
Исключая из	формул ()96) — (198)		промежуточные величины
х и у, получаем	уравнение,	связывающее		сглаживаемое	(и) и
сглаженное (и) значения параметра:
		, 3	За		(199)
		Н-------- и=--------- .			(199)
		21\Т2	2Т\Т2
Функция передачи этого		устройства
			3
	£(а)=		21\Т2_________
	J-W z2_\|_7—- + —)Z + 2T т
или		\ 11	I 2 /	2
или

			(199')
			(200)
Такая функция передачи,	как известно,	соответствует	колеба
тельному звену. Функции передачи Y (z)		соответствует	функция
веса СУ Р(т), имеющая вид
=	[r(z)]=Por“SinvT,		(201)
		со

где Ро — нормирующий множитель. Для того чтобы Jp(t) d-t рав

нялся единице, необходимо иметь следующее соотношение между

Ра и параметрами схемы:

p-=v(,!+^)-

(202)

§ 21. Устройства для определения параметров движения цели				125
График функции веса (201) для			v = 0,5 1/сек и 7'=6,6 сек.
(7н=20 сек.) изображен на фиг. 78.			Функцию веса такого	вида
называют знакопеременной.
Переходную характеристику рассматриваемого метода сглажи
вания определяем	из соотношения
t
/(0=1 P[x)dt= —----- —/-jrsinvf + vcosvzj
I	---	>^2	_L -----
v	1 y2		72

Фиг.	78.	Знакоперемен					Фиг. 79. Переходная ха
ная	функция		веса.				рактеристика		при зна
							копеременной		функции
								веса.
или, учитывая зависимость (202), получаем
/(0 = 1 — 1f1+77^-е							Т sin(vf+arctgvT).			(203)
		V			(^т)2
Наблюдательное время СУ можно найти из соотношения
			-----------				+
			1	+ —!—/“=0,05.
После преобразований					(^)2
После преобразований				получим
		Т= 37’+ — Infl +—!—V								(204)
		н		1	2	к	1	(<Г)2 /
При v7’>2 можно считать 7’н^37'.								рассчитанный для тех же
График переходной			характеристики,					рассчитанный для тех же
условий, что и функция веса, изображен на фиг. 79.
Частотные характеристики знакопеременного									сглаживания вы
числяются по		формуле	(157)
										(205)
		.	.		,		2шт			(206)
		ф (со) = arc tg ■--------------------- .								(206)
			>		6	1 + (72_ш2)7-2

126	Глава III. Определение параметров движения цели

Фиг. 80. Амплитудно-частот ная характеристика при знакопеременной функции веса.

Характеристики Д(о>); ср (и) и 5(<о) =

—шЛ(си) для 7'н = 20 сек. изображены на фиг. 80, 81 и 82. Характеристика В (ш)

достигает максимума при

+ (207)

Поскольку ДСУ обычно рассчитывают ся на наблюдательные времена порядка 10—20 сек., то 1/Р оказывается весьма

малой величиной, и поэтому в качестве предельной частоты со® можно принять соб ственную частоту ДСУ, равную v.

Показатель затухания А (<о), как видно из формулы (205), s = 2.

Динамическое отставание Тл рассма

триваемого метода сглаживания просто вычисляется из формулы (206) как пре-

дел	w (“)	при	л
	ш		<» -> 0.
		г —		27	(208)
		д	1	+

т. е. динамическое отставание Тл, а следовательно, и время реакции ДСУ на маневр Ты убывает по мере увеличения собственной часто ты v и постоянной времени Т. Естественно, что при этом эффектив

ность сглаживания значительно уменьшается.

Фиг. 81. Фазово-частотные	Фиг. 82. Характеристика В (со)	при
характеристики при зна	знакопеременной функции	веса.
копеременной функции веса.

В заключение рассмотрим еще один метод определения парамет ров движения цели, представляющий известный теоретический

§ 21. Устройства для определения параметров движения цели

12Т

интерес. Это так называемый метод параболического сглаживания.. Приближенная реализация этого метода достигается *комбинацией

устройств рассмотренного вида.

Задача о параболическом сглаживании возникает при *решении следующего вопроса. Пусть требуется найти функцию веса, с кото

рой следует сглаживать скорость линейно меняющейся координа

ты, искаженной чисто случайными			ошибками		слежения,	чтобы
обратить при этом в минимум средне
квадратичное	отклонение Дх	сгла-	.		\i	,
женной координаты от сглаживае-
мой. Это отклонение равно		(см.	^1		■	Л
фиг. 83)					---- Р
Вычислим	среднеквадратичную		II		-----Тн------- -Q
					I-----U—L_Lt-
величину Е2	отклонения кх.		о	t-T„	t-t t
			Фиг.	83. Сглаживание		скорости»
f [x(t-^~(Xt-vx^dx.			при	линейном изменении коор
					динаты.

* H J

Х( и vx обратят Е2 в минимум в том случае, когда

dEj п	дЕ2
—?=0 И	0.
dXt	dvx

Составляя выражения для этих частных производных и прирав нивая их нулю, получим

J [х(£ — -t) — (Xt— Т^т)] tck — 0,

откуда

т2

т3

ЛЛ

128	Глава III. Определение параметров движения цели

или, разрешив эти уравнения относительно Xt и vx, придем к фор мулам

J	J н
О
	6(2т~Гн) X{t-T)d,.

Интегрируя второе выражение по частям, получим

Фиг. 84. Функция	веса па	Фиг. 85.	Переходная	ха
раболического	сглажива	рактеристика параболическо
ния.		го	сглаживания.

Полученное равенство показывает, что для достижения мини мальной дисперсии отклонения Ах необходимо скорость х(т) сгла дить с функцией веса, равной

	6? (Гн-Г)	при
Р(т) =	уЗ	при
Р(т) =	J н
	о	при

Эта функция веса на участке (0; TR) представляет собой пара болу (фиг. 84). Отсюда и название метода определения параметров движения цели — параболическое сглаживание.

Определим характеристики параболического сглаживания. Переходная характеристика получается интегрированием функ

ции веса

ЗГ„^2 — 2б>		для	0 < t < Тн
/(f)’	Г2

	J н	для	t > Гн.
График f(t) изображен	1
	на фиг.	85.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2713 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ