книги из ГПНТБ / Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем

найти вероятность исправной работы элемента в течение заданного времени I или найти с заданной вероятностью р время / исправной работы элемента.

p(ti) p(hM

В практических задачах иногда бывает нужно знать вероятность исправной работы в течение времени (П, t2), а нс времени (0, t2), т. е. ставится вопрос о переносе начала отсчета времени (рис. 1.2). Для этого случая запишем формулу (1.6) в виде:

Таким образом, вероятность исправной работы в течение вре­ мени (/ь t2) элемента, который был исправен к началу этого периода-, будет

t,

- I ). (<) at

(1.9)

10

Рассмотрим систему, состоящую из т разнородных элементов.

где обозначенная через Л (t) интенсивность выхода из строя системы равна сумме интенсивностей выхода из строя элементов:

т

t3

Вычисление интегралов j \ { t ) d t или | X(Х)йД можно произво-

системы в течение заданного времени t или найти с заданной веро­

площадь под соответствующим участком кривой равна —In Р.

И

Таким образом, вычисление функции надежности системы сво­ дится к суммированию площадей под графиками интенсивности выхода из строя элементов и нахождению по таблице экспоненци­ альной функции значений P(t).

Процесс вычисления P(t) значительно усложнится, если поль­ зоваться плотностью вероятности времени исправной работы эле­

ментов f(t) = —— — . функция надежности P(t) в этом случае, dt

в соответствии с формулами (1.1) — (1.2), будет определяться выра­

функции надежности системы по плотностям вероятности времени исправной работы элементов в общем случае приводит к очень громоздким вычислениям. В общем случае пользоваться графи­ ками fj (0 при вычислении функции надежности системы P(t) практически возможно лишь при замене формулы (1.15) каким-либо приближенным выражением.

Вычисление функции надежности системы по плотностям веро­ ятности f j (t) элементов несколько упрощается лишь в случае, когда графики fj(t) достаточно точно совпадают с теоретическими зако­ нами распределения: нормальным законом или законом равной веро­ ятности и при этом систему можно разбить на небольшое число групп одинаковых элементов. Кроме того, при малых периодах работы

(при j A (t) dt 1), можно правую часть формулы (1.11) разло­

жить в степенной ряд и, пренебрегая членами в степени выше пер­

■J=io

12

Вычисление и использование интенсивности выхода из строя приводит к достаточно точному и простому решению задачи. Воз­ можность применения формул (1.6) —(1.14) ограничивается лишь хорошо согласующимся с практикой требованием практической невозможности совмещения двух и более первичных неисправностей в один и тот же момент времени.

Для применения изложенного метода оценки надежности эле­

основании экспериментальных исследований. Графики должны ото­ бражать действительность, а не «подгоняться» под теоретические законы распределения, например, закон X= const. Только в этом случае можно использовать метод расчета надежности в качестве инструмента для повышения надежности элементов и систем. Неко­ торые примеры использования графиков Х(t) для решения ряда инженерных задач будут рассмотрены в § 1.4.

Вдальнейшем изложении графики>X(t) и АД) будут иногда называться «ламбда-характеристиками»:

X(t) — ламбда-характеристика элемента;

Л(t ) — ламбда-характеристика системы.

Внекоторых статьях надежность элементов и систем характери­ зуется средним сроком службы элемента или системы, под которым следует понимать математическое ожидание срока службы элемен­

та. Согласно определению математического ожидания,

ооос

Интегрируя по частям, имеем

оо

При конечных X функция надежности быстро уменьшается с тече­ нием времени. Поэтому существует предельное соотношение

Поэтому при X -- const функция надежности может быть записана в виде

13

Иногда средний срок Службы неудачно называют средним вре­ менем между отказами илисредней наработкой на один отказ. Для элемента неточность этих выражений состоит в том, что он может отказать только один раз.

Формула (1.23) часто называется «экспоненциальный закон надежности».

Учитывая (1.12), можно написать формулу для вычисления среднего срока службы системы ^с„ст по средним срокам службы элементов tj 0:

т

1

(1.24)

^СИСТ

Следует отметить, что средний срок службы элемента является понятием условным, так как обычно ни один элемент не работает столь продолжительное время. Элементы схем автоматики и радио электроники устаревают гораздо раньше, чем успеют проработать время, соизмеримое со своим средним сроком службы. Более того, значения tj0 обычно вычисляются по экспериментальным данным об отказах элементов в начальный период их эксплуатации. Поэтому tj о можно понимать как условный средний срок службы элемента, который имел бы место в действительности, если бы эле­ мент сохранял в течение всего срока службы ту интенсивность выхода из строя, которой он обладал в начальный период эксплуа­ тации.

Согласно формуле (1.23), средний срок службы системы (также

элемента и системы пользоваться не будем. Это объясняется как несколько путанным физическим смыслом термина «средний срок службы», так и практическим неудобством вычисления среднего срока службы системы по формуле (1.24). Кроме того, при опериро­ вании средними сроками службы элементов и систем эксперимен­ тальные данные подгоняются под теоретический закон распределе­ ния const, что также часто приносит вред (§ 1.4).

§ 1.3. ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ОБ ОТКАЗАХ

Графики интенсивности выхода из строя A.(t) или плотности вероятности f(t) строятся по статистическим данным об отказах эле­ ментов (или систем). Статистические данные могут быть получены как в результате лабораторных испытаний, так и путем наблюдения за находящимися в реальных условиях эксплуатации элементами и системами. Рассмотрим способы получения и обработки эксперимен­ тальных данных в этих двух случаях.

При лабораторных испытаниях достаточно большая группа эле­ ментов работает в условиях, по возможности приближающихся

14

к эксплуатационным. В целях экономии экспериментального мате­ риала вышедшие из строя элементы не заменяются новыми, из-за чего количество работающих элементов все время уменьшается. Обрабатывать результаты лабораторных испытаний можно двумя способами;

Здесь и в дальнейшем статистические величины будут отмечать­ ся звездочкой. Результаты вычислений сводятся в таблицу, в кото­ рой приведены интервалы Atf в соответствии с их порядковым номером и соответствующие им значения к*:

Эта таблица оформляется в виде ступенчатого графика рис. 1.4. Для этого по горизонтальной оси последовательно откладываются

интервалы Att и на каждом из них строится прямоугольник с высо­

15

мени А^., делится на число элементов, поставленных на испытание:

А«;

(1.26)

N- Д^-

Соединив полученные для каждого интервала времени At t значе­ ния / * плавной кривой и переходя от статистических понятий к веро­ ятностным, получим плотность вероятности времени исправной

и соответственно, перейдя от статистических характеристик к непре­ рывным вероятностным, получим формулу (1.18).

Так как для практических расчетов надежности обычно исполь­ зуется интенсивность выхода из строя, то при обработке результатов

интервалов не должно быть слишком большим, ибо при этом могут

выбирать все более короткие интервалы. Каких-либо правил на этот счет не существует, но необходимые навыки очень быстро приобре­ таются в процессе работы. Обычно интервал наблюдения разбивают на 7—20 интервалов.

Длину интервала AД. часто приходится делать неравномерной. В частности, обычно оказывается целесообразным разбить первый

эксплуатации сведения об их отказах обычно получаются в резуль­ тате наблюдения за группой работающих систем. В результате наблюдения необходимо иметь время исправной работы каждого из отказавших элементов. При наличии достаточного количества дан-

16

ных обработка их ведется по формуле (1.25). При этом под ^ п ( понимается число отказавших элементов, время исправной работы которых закончилось на интервале A*)- — ti При этом учи­ тываются отказы лишь установленных в системе перед началом периода наблюдения элементов.

В тех случаях, когда элементы или системы проработали раз­ личное время, приходится делить их па группы по числу наработан­ ных часов. При вычислении значений Х/|: для различных периодов работы элемента (системы) используется различное, все время уменьшающееся, число групп. При этом точность построения к(1) несколько снижается по мере роста /.

Рассмотрим примеры построения графиков X{t) по эксперимен­ тальным данным.

ПРИМЕР 1. Под наблюдением находились две группы рабо­ тающих однотипных устройств. Устройства первой группы нарабо­ тали 1100 часов; устройства второй группы - 500 часов. В устрой­ ствах первой группы имеются 40000 элементов определенного типа; в устройствах второй группы ----- 80000 элементов этого же типа. В процессе эксплуатации зафиксирован ряд отказов устройств из-за

Необходймо построить /.-характеристику, используя при этом

ПРИМЕР И. Имеются приведенные в табл. 1.3 статистические данные об отказах трех групп одинаковых устройств.

Устройства разделены на группы по числу наработанных часов:

рассматриваемого устройства.

Вычисления по формуле (1.25) сведены в табл. 1.4.

18

Построенная по данным табл. 1.4 Л-характеристика рассматри­ ваемого устройства изображена на рис. 1.6.

А , f/vee

f»**-