книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

Следовательно,

dV

/ = (x i +

1) I Xi +

cos 0'

(71a)

Отсюда вытекает, что Г',

выражаемое

формулой (71), примет

вид

Г

'

-

=

а

) d x 1.

(71 в)

1

Эта формула совпадает

с

ранее

полученной нами

формулой

для неизогнутой

пластинки — формула

(29).

Мы видим, что в рамках вихревой

теории тонкого профиля

Отметим, наконец, что величина

Y

t) dxi

v ns

— JCj

(72)

величину

Г (t ),

например

в

случае

колебаний

профиля,

всегда можно наити f,

1 <Н'

и

затем,

определив

равное — ——

коэффициенты Ап, найти величину fn.

Посмотрим теперь, как можно представить уп при

помощи

одной интегральной формулы. Имея

в

виду,

что,

согласно

формуле (68),

sin nb, __sin 0' J

cos я0 М

cos 0 — cos (

будем иметь:

sin 0'

2

A-пcos я0'

Тп(6\

\ л - i

т db'

t) = 2Vc\ A 0c t g ^ + ^

cos 0 — cos О

откуда, принимая

во внимание (79), получим

Щ »'.

t ) - 2 V e L

^

^

Sin 0' f /(0 ,

t) + Да, ( 0 ^

db 1( | 73J

'

^

cos 0 — cos f

HO

1Z

db

A

> = | j

[/(<>,

0

+

t)\

и, следовательно,

X„(S', * ) = ~ j [ / ( e*

0 +

A“s(8, 01 (ctg^

cos0 — cost ,\db =

0

)[/(» ,

<) +

4 .,(« .

<)]<»

2VC ,

0'

C,

6

/(0 , t) +

Aa,(0, t)

= — ^

6'

Г.

ctg y J ^

2

.cos 0 — cos 67-У- sin 6 db.

Замечая, что

x[ = — a cos 6',

x 1= — acosb,

получим

T

+ X, f (x1, t) + Aa, (xb t)

d x v (74)

Xl—x'l

Отсюда видно,

что

Тп = U

+

т ' .

где через i nk

обозначена квазистадионарная

вихревая

плот­

ность, а

+а

. / _

2 . /

а ~ х Л

I f a

+ Xl Vns(Xl,

t) .

( -

Т" ~ * V

а + Х\ ) У a - Xl X l - X[ d X "

—а

а

Тогда формула

(75)

представится в виде

_________

со

+ в

д ~Ь Х1

dX-i

a~ xt

(?— JCi) (Д?!— дг,)

Применяя

метод неопределенных

множителей, получим

Г

*1

dx1

Л-a

+ Xi

dx!

^

= —

C -

f v

-

Х1

(g — x l ) ( x l ~ Xl)Л

g - д : ,

j

У

a

— ДГ, g — Xl

+ X1

dX-[

'X1

Xl — JCj

Сделав

известную

нам

замену

переменного

х г = — a cos 6,

= — a cos 6', будем иметь— см.

(68) и (71а) —

.

Г

I Га + Xl

dXl

тс

sin 0 dd

_

С

0

0

J

т а — Xl

x

x '

J

^ 2 cos 0 — cos 0' ~

TC’

/ = f \ f -a± *

= a f (! -T “i iL f = ^ / i / ~ e + £ _ Л

J г a — Xx g — ДГ1

J E + e c o s 9

\ r c — a

/

На основании

этого

интеграл /

примет вид

7=

_!1_? | Л ± £

и потому

E-Jfi

'

Е _ а

-

= 1

I /

а ~ х \

I

л[

g + д

-jdh

Тп

* V а +х\

J

* £- « £- Х\ ‘

Так как интегрирование по х х выполнено, то, вводя

вместо £

обозначение x lt получим

J_ л [ а - Х1 ( 1f

+ а _ j d £ i _

(76)

Тп = к V а + х[ J V х х — а Х1-- Х\ 9

L

+ P ^ J x[u'dx'v

,

< НФГ + Ф,)

где и =

--------;-----. Взяв за начало отсчета дуг точку

дхг

*П

= И

На основании (76) имеем:

+а

х\ ч'йх', = —

x xdx j

d x u

1 1п 1 л

куляция его неизменна во времени,

то при профиле движу­

щихся вдоль оси — х 1 мы получим

1\ =

Y 4

------Р ^ Г , ( ] / | ± f _ 'l ) +

fUea

где

ис

dxj

dt

В случае непрерывно распределенного вихревого следа

будем

иметь:

Т' = — рисР + риса

где

Г'

есть добавочная циркуляция, определяемая форму­

лой

(71в). Сила

а

уже знакома нам (см. стр. 55).

и силу, зависящую

Точно так же можно было бы получить

от ускорений и присоединенных масс.

§ 11. Вычисление силы X

Выше мы видели,

что

сила X может

быть представлена

в виде — см. формулу

(30с) —

X — Xjk

+ Х т + Xi -j- x s,

Xjk — ррф/г,

Х ш— — рш J xd (ф/; -)- Ф$ + Фг') — X wk -|-

ХшТ',

L

Х т = — (rnnuc+ mn vc +

mlS">l),

Xi = P J InVids!, X s = — f>r'vc + X s,

L

причем X s следует находить, применяя

формулу (25), а Х т

нять, имея

в виду формулу (30,f), что

А' =

X k +

р j

- р® J Y (-«i — Y

a2) dXl~ pr'Vc’

^

где

через

X ^

обозначено выражение,

соответствующее квази-

стационарному

рассмотрению. Определение X £ известно и мы

на нем не

останавливаемся. Индуктивная скорость, входящая

в формулу

(77), будет выражаться так

idx,

xl - x l

В случае

гармонических колебаний величины f, fn и Г'

могут

найти силу X.

в этом случае

имеем:

Действительно,

QO

_____

Х « = рш j -f (xj — Y

х\ _

я«) dxx=

a

(Г ^ ш -ф F 2C „ ) c o s Щ,

= pu>aa [(Г ^ щ — r 2S c o )sin

—

где

C’m = j

cos 3(xx— 1) (л, — ]/"x?— \ } d x x,

i

_

_____

00

Sa> =

| sin a(Art — 1) (-*1 —] / ”xi —

1) d x t.

1

Или же

OO

_

________

_

{-

ртаыГ*еы j

( * ,

_

J / ^ _ i

) ^

Для скорости Vi в точке с абсциссой xj получим

ОО

^ = i j t S " “ 2^ КГ1С«- - ГЛ)sin

-

(г<^ + г*с/)cos^1.

a

*

S/ =

Г s‘n°(-*1—1) dxi

( X i < D-

cos а (хг — 1) dx1

J

Если положить

то для X t получим

Tn = f m COS 4

+ Tn2 S i n 4,

1-u

{

cos 4 sin 4

J [fni (ГiQ — Г2C/) — fn2 (Г,S ;+ r2Q )| dx\ +•

+ д

—a

+ a

ч

Из этой формулы

видно,

что среднее за период

значение Xt

будет выражаться

так

Xt*сргп = 4паpa

Г ■j-a

+a

j -г.* (г,с, -

г а ) л*;- f Tni(raS/+ г8С/)rfx;

Если, в частности, имея в виду приближенный характер

решения задачи, для заданного

момента времени t принять,

что скорость Vi _одинакова

во всех точках хорды профиля и

равна ее значению

в некоторой

точке с абсциссой х*,

то Xj

примет вид

pa

X,

(Гt +

r$)Si(a, ХЦ

icp"

4па

Составляющая

Xjk —

РГ ^ с

при поступательных колебаниях — см. формулы (45) и

(46) —

будет иметь следующее среднее за период значение

( • * л > „ = р « « М +

Ш <г “ +

= 4 S - r i -

Наконец сила X s, равная в первом приближении — рГ'^, на

основании формул

(45),

(46)

и (50) даст

x Sep= -

ш

I-

С + (г «г « +

Г*Г.*) S}.

Напомним, что, согласно формулам (53),

Гt =

Tift (1— sEj), r 2 = r 2ft(l +ae2),

и потому при малых о можно написать

X,ср '

.(<

[1 — О (S + 5;,)].

' 4Tie

Предположим,

что пластинка в плане имеет форму прямо­

угольника

и обладает постоянной по размаху

циркуляцией.

__

£&,£)

,

Сечения

пластинки плоско-

стями,

перпендикулярными

ее размаху, могут иметь раз­

личную

кривизну, которую

мы будем считать малой, по­

нимая это выражение в том

смысле, в каком его пони­

мают в теории тонкого про­

филя. Допустим, кроме того,

что пластинка движется с по­

стоянной скоростью и вдоль

Рис.

15.

хорды среднего сечения и

имеет в

перпендикулярном

Будем

рассматривать

взятую

направлении

скорость v.

пластинку как вихревую несу­

1

Тп (хг, t) d x x

I f

T(*i. *)dxi

2 л J

Ут { Х у * ) + 2л j

Х1_ х г'

где

_ 1_

Г а:пгп(*!•

б dxi

Vc\ a -

<Ь_i

1

f

K-j (xx, t) dxx

Vin, (78)

2л

J

х[ -

х х

d x ,

271

J

x, —x[

—а

dVn = -

7п dx\

k X г

dz,

4тг I

где

гз

г — [х' —

i + (zr— z) k.

5*

67

,

1

i, + 2'

+

J / ^ - - * i ) S+ (7i+ z')3

Z.J —z’

j/ (-*i—*l)2+(^-1—я7)2

f

(-Zj

JCi> z , L i j

(80)

2*

— *1

и, следовательно,

+«

1

г»п =

Г

inKydxi

(81)

2n

J

x [ — х г

А"по =

1

(82)

где

а

• Л11 п

а р

1 а

=Xf—s.

Л11 —

_ L -1- £

~

*, -„ _-*i

1 _ -1