книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

Скорость Vi вызывается в фиксированной точке следа вих­ рями этого следа и, кроме того, системой присоединенных вихрей профиля. Будем считать, что вихри эти распределены по контуру профиля с линейной плотностью ~(в. Обозначая ско­

рость, вызванную вихрями следа, через Vs, а вихрями профи­ л я — через Vn, получим

V*i =V*s + V * a.

У

Рис. 9.

Как видно из рис. 9, скорость, вызываемая в точке N следа, будет выражаться формулой

Vs f Г Х г ds',

2тс

где f' есть плотность вихрей следа в точке N', а г есть рас­ стояние N N . Скорость же V* представится в виде

1 I ТпХп dsx.

2тс

ЛВС

где гх есть расстояние от точки профиля, в которой поме­ щается вихрь "(п, до точки N, а интегрирование совершается по контуру профиля. Сила, действующая на профиль, на осно­ вании формулы (16) будет равна

Первый интеграл будет равен нулю, так как каждому зна­ чению подынтегрального выражения, взятого для точки N и учитывающего влияние вихря, который помещен в точке N , будет соответствовать равное по величине и противоположное по знаку значение, взятое для точки N и учитывающее влия­ ние вихря, который помещен в точке N.

Таким образом, сила будет выражаться формулой

7ХУ ~" dsdSv

CD ABC 1

29

есть индуктивная скорость, вызываемая вихрями следа на кон­ туре профиля. Формула (17) совпадает с обычной формулой, даваемой теорией крыла конечного размаха для сил индуктив­

ного сопротивления. Для вычисления силы R/ необходимо

знать плотность вихрей следа 4, а также плотность чп присое­ диненных вихрей профиля, которые распределены по его кон­ туру.

Заметим, что формулу (17) можно еще установить и дру­ гим путем. Начнем, для простоты, со случая бесконечно тонкой дуги. На основании формул (14) и (14, а) будем иметь:

ностью разрыва тангенциальной составляющей скорости. В со­ ответствии с этим можем написать, что

Скорости и* и v* представляют собой скорости возмуще­ ния, взятые на обтекаемой дуге. Это будут скорости, индуци­ руемые в точках этой дуги свободными вихрями следа и при­ соединенными вихрями fn профиля. Из полученной формулы вытекает, что

я,- = р J ( и Г х т п ) ^ ,

LB

30

причем

—>0. —> —> *

v . = V i + V П

есть индуктивная скорость, вызываемая на профиле свобод­ ными и присоединенными вихрями.

Легко убедиться, что интеграл

нутого контура следует рассматривать этот контур, как пре­ дельный случай дуги, начало и конец которой стремится к совпадению. Такого рода рассмотрение приведет полученную формулу (17в) к виду (17).

L

Так как циркуляционный поток и поток, создаваемый вихре­ вым следом, обтекают профиль, то функции тока Wr и Ws на контуре профиля имеют постоянное значение. Отсюда следует, что формула (18) может быть записана в виде

(рис. 10). Общее представление о форме такого следа профиля можно себе составить на основе того, что нулевая линия тока, которая получается при стационарном обтекании профиля поступательным потоком при угле атаки, дающем нулевую циркуляцию, переходит при отображении в контур круга и действительную полуось. Ясно, что след указанного вида вряд ли может существовать в действительности. Однако при дви­ жениях, мало уклоняющихся от прямолинейных и происходя-

31

тцих при малых углах атаки, приближенно можно принять, что вихревой след расположен на описанной нулевой линии

ности.

Помещение в центр окружности

Рис. Ю.

вихря с тем же направлением, что и наружный вихрь, не изме­ нит формы линии тока, которая останется окружностью, но сде­ лает циркуляцию вокруг этой окружности, равной нулю. Оче­ видно, что такая комбинация вихрей дает комплексный по­ тенциал

tr s СК -С ')

bFs

2** с -с ; *

Так как при безотрывном обтекании твердой окружности она является линией тока, то можно утверждать, что комплек­ сный потенциал §FS является потенциалом бесциркуляционного обтекания окружности потоком, создаваемым изолированным вихрем. Если вихри расположены непрерывно вдоль кривой £' так, что

8Г5 = i 0do',

то потенциал обтекания окружности потоком, создаваемым таким вихревым следом, будет

(20)

32

Конформное соответствие C= C(z) предполагается извест­ ным, поэтому, зная Fs (С), мы всегда можем найти функцию

Fs {z) = F U z ) ) .

Заметим, кроме того, что

где т и ds' — вихревая плотность и элемент длины вихревого следа в плоскости профиля, есть не что иное, как циркуляция всех вихрей следа, которая в случае, если профиль начал двигаться из состояния покоя, (Г0 = 0) должна быть равна с обратным знаком циркуляции вокруг профиля, т. е.

| ids' — — Г. s

На основании сделанных замечаний формулу (19) можно записать в виде

x + i K = - ^ 4 - J J ’( - l" c + ln-ir^ f-)T * ■ ! « » ' . <21>

к S

где k указывает, что интегрирование в плоскости С совершает­ ся по контуру круга. Но

ибо написанная подстановка дает — 2шг0, где z0 относится

кзадней кромке. Так как

J с-с -°, J чп С-С' _ 2 с"

кк

(23)

+ г г;

где через f ( s ) обозначено выражение, стоящее в предшест­ вующем интеграле в круглых скобках.

Так как в неподвижной системе отсчета местоположение вихря и его напряженность yds неизменны, то при интегриро­ вании вдоль следа плотность у следует считать функцией толь­ ко координат. Если же след рассматривать в подвижной си­ стеме координат, связанной с профилем, то у будет функцией координат и времени.

В абсолютной системе координат вихри следа неподвижны и имеют плотность, независящую от времени. Напротив того, если мы будем из неподвижной системы наблюдать за движу­ щимся профилем, то расстояние s, отсчитываемое вдоль следа бт задней кромки профиля до вихря, будет изменяться с тече­ нием времени и потому

:34

причем точкам, лежащим вне круга, соответствует верхний знак перед радикалом. Тогда

Г ■*! + V х] —,Г* — „2 (Х1 ) ,

где а = 2R.

Формула (24) в этом Случае даст при ис — const

Х = 0,

й " Л 1 т(, _ И Ы Л'"

а

d%v

Коэффициенты ап и Ьп определяются обычным способом при конформном отображении внешности профиля на внешность круга.

Для тонкого, мало изогнутого профиля можно приближен­ но принять, что

* « 6i + X-

и, следовательно,

Тогда получим

0000

ал —1

00

§ 5. Определение циркуляции

Скорость на профиле в проекции на касательное напрарление будет выражаться формулой

Если бы вихревого склада не было, то циркуляция опре­ делилась бы из условия

Таким образом, циркуляция Г при наличии вихревого следа складывается из циркуляции Г& и дополнительной циркуля­ ции Г', которую следует наложить на профиль для того, чтобы удовлетворить постулату С. А. Чаплыгина при обтекании про­ филя потоком, создаваемым вихревым следом. Как видно из формулы (26), эта циркуляция равна

36

Найдем сначала скорость ^ | - , получающуюся на окруж­

ности при обтекании ее потоком, который создается одним изолированным вихрем с циркуляцией §Г5. На основании фор­ мулы (20) имеем:

?£?1 Л I _ J______ Z _ \

_ 8£,1 1 2га С 1

г' + р- — 2/? cos (0 — б7)

Вособой точке 9 равно тс и потому скорость там будет

равна

Для того чтобы скорость в этой точке была равна нулю, до­ статочно на окружность наложить циркуляцию

(рис. 12)

ЗП = - STs X

Тогда общая скорость на окружности будет

В случае вихревого следа с плотностью вихрей 70 получим

причем интеграл берется вдоль линии вихревого следа в пло­

скости При интегрировании, следовательно, г и 6i должны быть известны как функции а. Можно, конечно, воспользоваться и равенствами

38