книги из ГПНТБ / Поляхов Н.Н. Теория нестационарных движений несущей поверхности

§ 6. Окончательное выражение для сил

Из формулы (29)

00 00 _______

& потому величина силы Ys для пластинки примет вид

или же

Замечая, что первое слагаемое в общей формуле для силы Ys, т. е. слагаемое, дающее силу Н. Е. Жуковского, выражается формулой

30

Из предшествующего ясно, что общие выражения для сил, действующих на профиль при нестационарном движении, будут иметь вид

X — Xjk Д Х,„ + Х т Д Xi Д X s

(30c)

У = yjk + У*>+ Гт + Yi Д r s

причем Xjk и Yjk определяются, согласно теореме Н. Е. Ж у­ ковского, для квазистационарного значения циркуляции.

Для остальных составляющих выше нами были найдены соответствующие выражения. Относительно Х а и Уш следует заметить, что в них содержится влияние следа. Действительно, так как

Заметим, что все силы, зависящие от следа, требуют знания плотности вихрей следа т(Д . 0 -

§ 7. Распределение давления по поверхности профиля

Так как конформное отображение внешности круга на

внешность профиля известно, то определение скорости V'(u', v')t которая получается на профиле при обтекании его потоком, создаваемым вихревым следом на профиле, будет производить­ ся по формуле

40

V' = V°3F>

Rd%

где v 0 дается формулой (28). Скорости возмущенного потока около профиля всегда можно представить в виде

u = uk + u'-, v = vk + v',.

где первые слагаемые соответствуют движению с „квазипостоянной“ циркуляцией, а вторые — влиянию следа и добавоч­ ной циркуляции.

гдеPk есть давление, соответствующее движению с квазипостоян­ ной циркуляцией.

Так как нормальные составляющие Vn равны нулю, то

где Wk — мгновенная относительная скорость, которой соот­

ветствует давление рь- Эта скорость равна

’Щ =у { Щ — «У—щ У +(Vc +сох-v ky .

Определение величин, отмеченных индексом k, известно..

§ 8. Вычисление моментов

Вычисление моментов относительно начала координат, дей­ ствующих на профиль, следует производить по формуле

M = \ { x d Y - y d X ) ,

1

где

d X = — pdy\ dY — pdx

41,

и р дается формулой (5), так что

dX = — px dy — р [{ис — °>у) и -f- (vc + шх) v\ dy +

представляют собой соответственно действительную и мнимую части комплексной величины

dP — idQ = i ( u — iv )2 (dx + idy) = i (‘^ X d z ,

для элементарного момента dM получим

dM = x d Y —y d X = рх (xdx + ydy) + p {ucx + vcy) 5Ф -f-

42

откуда после интегрирования по контуру профиля получим

М = рJ(исх + vcy) 8Ф — ^ Re J^ J z d z —

i

есть момент, найденный в предположении, что движение происходит в отсутствии следа, т. е. как бы при постоянной во времени циркуляции, найденной для зафиксированных, мгновенных значений ис, vc, ш, так как

5Ф& = мс3ф, + дс8Ф2 + со8ф3 -(- Г^8Ф4.

Мы умеем определять на контуре круга Фи Ф2, Ф, и Ф4 как функции 6, поэтому определение Мь не представляет собой труда, если мы знаем д:(9) и у (б) согласно формулам (8а).

Так как

Это выражение есть момент силы рУсГ', проходящей через точку с координатами а0 и Ьй, относительно начала координат.

Момент M s*, выраженной формулой

M s* = p j ( u ex + Vcy) §Ф5,

L

4в

может быть несколько преобразован. Действительно, так как: функция 4^5 на контуре профиля постоянна, то можно написать

где

Ve* = uc — ivc-

Переходя в плоскость С, будем иметь:

где на основании формулы (20)

причем, как и раньше, о' есть длина дуги вихревого следа, проведенная из начала этого следа в точку, где помещается вихрь с циркуляцией -р, do' (рис. 11); С'— комплексная коор­ дината точки N ' . Так как

44

то, опуская значок штриха, будем иметь:

где ^ = |С|.

Вэтом случае, переходя в плоскость z, имеем:

ипотому для точек следа

и, следовательно,

а

Переходим ко второму интегралу формулы (32), а именно интегралу

L

Рассмотрим сначала бесконечно тонкий профиль, т. е. дугу. В этом случае можем написать

Mt = - -f Re j \{vt - ivn)\ - (vt - ivn)2H\ ze~m dz,

L в

причем интеграл берется по верхнему разрезу. Замечая, как и раньше, что

45

получим

Mi = — р Re J 'и, (vt* — ivn*) e~ibzds1 =

LB

= — p R e .^ t„ (u * — iv *)(x + iy )d sl,

LB

откуда

Mi = —p| f„ (m** + v*y)

LB

или векторно

Mi = p j [г X ( V"/* X Tn)J dsu

LB

где Vi* = Vi + Vn есть индуктивная скорость, вызываемая на профиле системой свободных и присоединенных вихрей. Можно убедиться, что

Г X (УпХТп)] dsl =°>

LB

имы окончательно получим

Для телесного замкнутого профиля мы получим формулы этого же вида, устремляя к совпадению начало и конец дуги.

Переходим, наконец, к третьему интегралу формулы (32). Этот интеграл имеет вид

-(x d x + y dy) =

L

Из этой формулы видно, что будет существовать момент М т, независящий от влияния следа

з

М т = — Р ^ Uk J Фк (xdx + УаУ)

46

где

Wj — UCi U 2 — V c , U 3 — о).

Так как Ф^, как функции полярного угла б, мы вычислять умеем, то вычисление момента М т не представляет труда, если мы знаем л;(б) и у (6) в результате конформного отобра­ жения. В частности, для эллипса имеем:

x = a c o s6, y = 6 sin6,

x d x + ydy = — ai ^ bi sin 26^6

и, кроме того,

Ф! = — bcos6, Ф2 = — a sin 6, Ф3 = — д2 . 62 sin 20

и, следовательно,

Mm = f ( a 2 - & 2)2<“ .

Наконец, из формулы (40) вытекает выражение для момента,, связанного с наличием следа,

М г' = — Р f (ГФг + Фв) (xdx + ydy) =

47

то

гг = СС+ 4 2С+ V ??- С+ ~ С+ 4 ' +

М

где через Д обозначено выражение, стоящее в формуле (42) в квадратных скобках. Так как для точек, лежащих на следе,

С = гел , Cj = ™ е ib,

48