книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

Г Л А В А XV

КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ

§41. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

ИСИСТЕМЫ. ИМПУЛЬС СИЛЫ

Направляющие косинусы количества движения равны направляю­ щим косинусам (62) скорости, так как вектор количества движения материальной точки или частицы направлен по скорости:

Модуль количества движения легко подсчитать по формуле

Проекция количества движения на ось (как и проекция на ось всякого вектора) — скаляр 2-го рода и определяется величиной и знаком.

Если мы умножим проекцию количества движения на единичный вектор этой оси, то получим составляющую, или компоненту, коли­ чества движения по оси. Вектор количества движения точки (или материальной частицы) связан со своими компонентами по коорди­ натным осям обычным соотношением

к~!кх+7ку+кк,.

Количество движения материальной системы выражается суммой количеств движения всех частиц этой системы. «Количество движе­ ния целого есть сумма количеств движения отдельных частей его» (Ньютон). Таким образом, для материальной системы, содержащей п частиц или п точек,

где суммирование распространено на все частицы материальной системы.

вующей оси, а в знаменателе — вес всего тела или в векторной форме

ства, в которой материальное тело притягивается к Земле и к Солнцу с равными и противоположно направленными силами. В таких слу­ чаях понятие «центр тяжести тела» теряет смысл, но сама точка

Точка, определяемая координатами (160), совпадает с центром тяжести, но определение ее связано не с весом, а с массой частиц твердого тела или системы. Ее называют центром инерции, или центром масс. Это понятие шире понятия центра тяжести, так как масса не исчезает даже при таких обстоятельствах, при которых вес неощутим.

от знаменателя, определим статические моменты массы на данное мгновение:

Продифференцировав по времени, находим, что проекция коли­ чества движения на ось равна произведению массы системы и нро-

екции скорости центра масс на ту же ось:

Мы нашли, что количество движения всякой материальной сис­ темы равно количеству движения ее центра масс, если сосредото­ чить в нем массу всей системы:

1)В первом случае скорость центра масс равна нулю, следовательно, /С ----- 0.

2)Во втором случае скорость центра масс определим как вращательную относительно мгно­ венного центра скоростей, находящегося в точке касания диска и рельса:

g

Умножая это расстояние на угловую скорость со кривошипа, найдем скорость центра масс системы:

которые случаи удара), продолжительность которых измеряется всего

. лишь миллионными долями секунды. Если F = const, то векторную величину S, направленную по силе и равную по модулю произве­

Определим размерность импульса силы в физической системе единиц:

[ S ^ L W T - i .

Единицей импульса силы в системе СИ является 1 м-кг/сек. Размерность импульса силы в технической системе единиц

[S]T = L°F l T l .

Если сила выражена в кГ, а время—в сек, то единицей импульса силы является 1 кГ-сек.

Размерности импульса силы и количества движения одинаковы. Импульс переменной силы. Если сила непостоянна по величине

или по направлению, то для определения ее импульса за данный промежуток времени надо разбить этот промежуток времени на столь малые интервалы, в течение которых можно пренебречь изменением силы, и определить для каждого такого интервала элементарный импульс. Элементарным импульсом силы называют импульс за столь малый промежуток времени, при котором можно пренебречь изме­ нением силы:

Импульс переменной силы за конечный промежуток времени выражают пределом геометрической суммы элементарных импульсов за бесконечно малые части данного промежутка:

и

Следовательно, импульс переменной силы за данное время выра­

жается интегралом от вектора F по скалярному аргументу t.

Для вычисления импульса переменной силы пользуются его про­ екциями на оси координат. Построим прямоугольную систему коор­ динат и спроецируем элементарный импульс на ось Ох:

Итак, проекция импульса равнодействующей на любую ось за данный промежуток времени равна алгебраической сумме проекций импульсов составляющих сил на ту же ось и за то же время, сле­ довательно, импульс равнодействующей равен геометрической сумме импульсов составляющих:

§ 42. ТЕОРЕМЫ О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И СИСТЕМЫ И О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС

Теорема об изменении количества движения материальной точки. По основному закону

динамики под действием силы материальная точка получает ускорение. Но, чтобы сообщить материальной точке скорость, сила должна действовать в течение некоторого времени. Таким образом, скорость материальной точке сообщает не сила, а

импульс силы. Конечно, эта скорость зависит не только от импульса силы, но и от массы точки.

Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки в форме (127):

Мы нашли, что дифференциал проекции количества движения равен проекции элементарного импульса силы на ту же, ось.

Проинтегрируем левую и правую части первого из этих уравне­ ний в соответствующих пределах v0x, vx и /„, /; аналогично посту­ пив и с двумя другими уравнениями, получим:

т. е. вектор изменения количества движения материальной точки за какое-либо время равен вектору импульса силы, действующей на материальную точку за то же время. Конечно, и здесь под силой надо понимать равнодействующую, если на точку действует не одна, а несколько сил.

Решение. По заданным силам надо определить время движения точки. Но для решения задачи нет необходимости составлять и интегрировать дифференциальные уравнения движения, а можно воспользоваться теоремой об изменении количества

движения. На точку действуют вес G, сила трения /"г,, — fG cos 30° и реакция R плоскости. Направим ось Ох по наклонной плоскости вверх. Проекция равнодействующей всех сил на эту ось равна

А' = — G sin 30° — fG cos 30° = -—G

. 0,577 У'Т

нению скорости точки надо определить силу, производящую данное движение точки. Таким образом, задача является прямой задачей динамики. Решать ее мы будем, применив теорему об изменении количества движения. Примем горизонтальную

— Ь н.

Теорема о проекциях количеств движения системы. Теорема о количестве движения находит большое применение при исследо­ вании движения системы материальных точек, так как в этой теореме исключены все внутренние силы системы.

Пусть дана механическая система, сос­ тоящая из п материальных точек. Распре­ делив все силы, приложенные к точкам этой системы, на две категории (силы внешние и силы внутренние), напишем

дифференциальные уравнения движения точек системы в форме (129)

впроекциях на ось абсцисс:

m.dt — л і + л і -

dvxi m, dt

m, dl'm — Xе •

Сложив отдельно левые и отдельно правые части' написанных уравнений, получим

2 *i=o.

k-i

В левой части постоянные тк внеаем под знак производной, заменим сумму производных производной от суммы и получим для проекций на ось абсцисс

Мы не накладывали никаких ограничений на направление оси абсцисс, поэтому мы можем сформулировать следующую общую тео­ рему, называемую теоремой о проекциях количеств движения системы материальных точек: производная по времени от суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо ось равна сумме проекций всех внешних сил системы на ту же ось.

Умножая уравнения (169) на dt и интегрируя, найдем, что из­ менение суммы проекций количеств движения всех точек системы на какую-либо неподвижную ось за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов всех внешних сил системы на ту же ось за то же время:

но теорему о проекции количеств движения системы чаще применя­

№

Это равенство называют интеграмш к&.шчествй движения системы материальных точек и словами его можно сформулировать так: если

Справедливо н обратное заключение: если сумма проекций коли­ честв движения системы на какую-либо ось постоянна, то сумма проекции всех внешних сил системы на эту ось равна нулю. В са­ мом деле, дифференцируя (171) по времени, найдем, что производная по времени от суммы проекций количеств движения на ось Ох равна нулю и ввиду (169) равна нулю сумма проекций на эту ось всех внешних сил системы.

сумма проекций на оси, но и геометрическая сумма векторов коли­ честв движения точек системы, т. е.

Такой случай мы можем представить себе в изолированной ма­ териальной системе, т. е. в системе, на точки которой не действуют никакие внешние силы. Примером почти полностью изолированной механической системы может служить солнечная система (см. § 36). Количество движения изолированной системы остается неизменным; этот закон называют иногда принципом сохранения количества движения.

2 m*f** * mvCx; 2 mkvyk = mvCy; 2 mptk = mvCt.