Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.10.2023

Размер:

23.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4728 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Дифференциальные

уравнения

движения

ТОЧКИ

МОЖНО

материальной

точки

форме

Эйлера.

Движение

г,

мы

изучали

три

*\,

описать в проекциях

на

оси

кинематике

способа

естественного

трехгранника

определения

движения

точки:

1) вектор-

двумя

уравнениями:

ный,

прямоугольных

координатах,

„

3) естественный.

Соответственно

ди-

намике

мы

можем

определить

движение

т^_V=р

точки

по

заданным

силам

(или силы

по

заданному

движению)

векторным

уравне

нием

(125),

в проекциях

на

прямоуголь

ные оси — уравнениями

(126),

также

естественными

уравнениями

движения. Из многих форм уравнений

движения эти три применяют

наиболее

часто.

Проецируя

ускорение

на

оси

естественного

трехгранника,

мы

нашли (см. § 23), что

проекции

ускорения

на касательную аТ,

на

главную

нормаль

и на

бинормаль

аь

выражаются

следующими

формулами:

у3

aT~~~df''

—

~'*

вместо

трех

составляющих

полное

ускорение

имеет только две.

Но сила

всегда направлена

по

ускорению

точки,

следовательно,

проецируя силу на оси естественного

трехгранника,

мы

здесь

получим

только

две

составляющие

(FT—на

касательную

и FN

—

на главную нормаль) и определим движение точки только

двумя

уравнениями 1 :

( 1 2 8 >

m T

= FN.

)

Задача № 106. Горнолыжник в конце склона развил скорость

54 км/ч,

после

чего свободно скользил по горизонтальному

прямолинейному

участку

пути. Опре

делить длину

и время

свободного

скольжения,

если

коэффициент

трения лыж по

снегу / ' = 0,051.

Решение.

задаче

примем

единицы

СИ;

тогда

вес

лыжника,

выраженный

ньютонах, G = 9,81-m,

где m — его

масса

в кг.

Задача

является

обратной зада

чей динамики,

так" как требуется определить движение

по заданной

силе F T p

/'G\

Достаточно одного первого из уравнений (128),

потому что движение

прямоли

нейное. Проекция

силы

имеет

отрицательный

знак, так

как сила

трения направ

лена против

скорости,

а скорость

направлена

положительном

направлении

(в

сторону

возрастания

расстояния):

,п - ^ - = —0,051т-9,81. dt

Сокращаем на m и разделяем переменные:

dv= — 0,051-9,81 dt = — 0 , 5 0 Л .

Интегрируем:

и==—O.SOf-l-d.

1 Эти уравнения называют дифференциальными уравнениями движения мате риальной точки в форме Эйлера. Они даны Эйлером в 1736 г.

Чтобы определить постоянную Cj,	подставим	вместо / нуль, а вместо v—началь-
54-1000	,
ное значение скорости 3600 * ~	м /с е к :
15 = —0,50-0 +		Q .

Подставляя это значение C t в уравнение, полученное после интегрирования, и заменяя v по (53), получим новое дифференциальное уравнение:

-+S -=-15 — 0,50/.

о/

Разделим переменные

проинтегрируем:

^ ,

5 /

^ + С ,

В начальное

мгновение

лыжник

не

прошел

еще никакого расстояния

по

гори

зонтальному

участку,

потому С 2

= 0. Время

скольжения

до остановки

опреде-

лим,

положив

в уравнении,

полученном

для скорости, - ^ - = 0 :

15—0,50/ = 0,

откуда / = 30.

Подставляя это значение / в последнее уравнение, найдем длину

свободного

скольжения.

Время скольжения 30 сек,

225 м.

О т в е т .

длина

Задача

№ 107. Маятник

Борда

для определения ускорения

свободно падаю

щих тел представляет собой латунный

шарик массой 200 г,

подвешенный

на

очень

тонкой

проволоке

длиной

100 см.

При

качании шарик

в наинизшем

положении

имеет

скорость 8 см/сек.

Определить натяжение проволоки

в ее нижнем

конце при

наинизшем

положении

маятника.

Решение.

В задаче

применена

физическая

системаединиц. Примем

в см,

М в г,

Т в сек.

Задача относится к прямым задачам

динамики. Чтобы

по данному

движению

латунного

шарика,

принимаемого

за

материальную точку,

определить

действую

щую

силу,

напишем

второе

из естественных

уравнений

движения материальной

точки

(128).

В наинизшем положении

на шарик действует

сила

натяжения

про

волоки, проекцию которой Т будем считать положительной, так как она направ

лена	внутрь	траектории, и сила тяжести G = 200-981 дин, проекцию которой
будем	считать	отрицательной:

или, подставляя числовые значения,

2 0 0 - ^ = 7—196 200,

откуда получаем ответ.

О т в е т . Т = 196328 дин = 1,96328 и.

Движение точки в плоскости

можно описать двумя уравнениями в полярных координатах

Уравнения движения точки в полярных координатах**. В ряде задач бывает удобно

исследовать	движение	точки	в полярных
координатах.	т-т	f	•
координатах.	Примем	без доказательства,

•что проекция ускорения точки на поляр

ный радиус-вектор равна (г—пр2), а на перпендикулярное направ ление равна (гф-(-2г(р). Помножив на массу эти проекций ускоре ния точки и приравняв проекциям силы, напишем дифференциальные

уравнения движения точки в полярных координатах:

m.{r~r^)rFn

( 1 2 9 )

т (rcp-f- 2гф) — F,,. і

Движение материальной системы, состоящей из п

точек, может быть опре делено системой Зп диффе ренциальных уравнений

Дифференциальные уравнения движения точек материальной системы. Пусть имеется материальная система, состоящая из п материальных точек. Для каждой из этих точек мы можем написать по три дифференциальных уравнения движения:


			mkxk	= Xh, mkyk = Yk, mkzh = Zh,
где mk—масса			6-й точки,		xk, yk и zk~проекции		ее ускорения, a Xk,
Yk	и	Zk—проекции		равнодействующей		всех	сил, 'приложенных
к	этой	точке	(k=\,	2, 3, . . ., /г).
	Далеко не всегда действующие силы бывают известны. Обычно
остаются неизвестными внутренние силы. Для							вывода некоторых
общих		теорем	динамики		и при решении	некоторых частных задач

бывает удобным выделить внутренние силы уже при написании диф

ференциальных			уравнений		движения.
Рассмотрим сначала одну из материальных точек системы, напри
мер	точку	с индексом 1(6=1), и распределим						все силы,		приложен
ные	к этой	точке, на две группы: внешние					и	внутренние.-			Сложив
все внешние силы, действующие на эту точку,								получим		их	равно
действующую F\,				а сложив все внутренние,			получим		равнодействую
щую	внутренних			сил F{. Проекции		этих сил обозначим				Х\,	Y{, Z\
и Х{, Y[,		Z\.
Аналогично			поступим		с силами,	приложенными			к	остальным

точкам, и заменим в написанных выше уравнениях проекции равно

действующей	Xk суммой Хек + Х{; то же сделаем по двум			другим
осям. Тогда	дифференциальные уравнения примут вид:
	m^ck	= X%-\-Xlk\	^
	mkyk	= Y\ + Yi;	\ ,	(130)
	mkzk = Z\| + Zlk>		)

где k— 1, 2, . . . , п.

Следовательно, движение свободной механической системы, со стоящей из п материальных точек, определяется системой Зп диф ференциальных уравнений второго порядка.

Если система не свободна, а на нее наложены связи, выражаю щие некоторую зависимость между координатами точек механической

системы, то бывает возможным		сократить число дифференциальных
уравнений	движения, о чем будет подробнее сказано в § 52 и § 53.
В ряде	случаев оказывается	целесообразным	разделить все силы,
действующие на материальные		точки механической системы		на две
категории	по иному признаку,	а именно на активные силы		и реак
ции связей. Как уже было сказано, реакции			связей часто	зависят

от движения системы и не могут быть найдены, пока не определено движение системы. Обозначая проекции равнодействующей всех ак тивных сил, действующих на k-ю точку, Xjj, Y% и Z%, а проекции равнодействующей всех реакций связей, приложенных к k-u точке, X'k, Yi и Zrk, получим:

mkyk-Y%	+ Y'k; \	(130')
mkzk^Zak	+ Zrk, J
где k= 1, 2, . . . , п.
Во всем нашем курсе (если	это специально	не оговорено) рас

смотрены только свободные механические системы и механические

системы с идеальными	связями. Понятие идеальных связей нам уже
встречалось в статике	(см. § 4) и будет уточнено в динамике
(см. § 51).

В дальнейшем из дифференциальных уравнений (130) и (130') мы выведем общие теоремы динамики таких материальных систем.

Решение многих проблем по динамике механических систем со пряжено с большими трудностями математического характера. Интегрирующие машины в очень многих случаях дают возможность преодолеть эти трудности.

§ 39*. КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Вкачестве примера интегрирования диф-

Кисследованию колебании ферёнциальных уравнений движения рас-

однои	материальной	точки	^ r		,-		»
могут быть сведены		многие	смотрим	колебания		материальной точки,
технические задачи			Еще совсем		недавно	изучение	колебаний
			не входило		в программу курсов		теорети
ческой	механики	высших	учебных	заведений. Но необходимость со

здания новых методов расчета всевозможных машин и различных

сооружений, обладающих большой	прочностью	при небольшом весе,
а также необходимость увеличения	скоростей	и производительности

машин стимулировали быстрое развитие раздела динамики, называе мого теорией колебаний. Раздел, посвященный колебаниям, включен теперь во все программы по теоретической механике. В нашем курсе колебаниям посвящены § 39 и § 53.

С основами явлений колебаний удобно ознакомиться сперва на примере колебания одной материальной точки. Изучение вибраций одной материальной точки интересно также и потому, что к вибра ции точки могут быть непосредственно приведены многие практи чески важные задачи.

Пусть точка М массы т притягивается к точке О силой F, про порциональной (рис. 162) расстоянию ОМ, а начальная скорость точки М направлена по прямой ОМ или равна нулю. В таком слу чае точка М будет двигаться по прямолинейной траектории, вдоль которой мы направим ось х. Начало координат возьмем в точке О (в равновесном положении). Сила F как бы стремится вернуть точку М

Б равновесное положение О, за что ее называют восстанавливающей силой. Примером такой силы могут служить сила упругости стержня, совершающего малые колебания, или равнодействующая сил веса G и натяжения Т нити при малых колебаниях маятника и т. п. Чем больше


координата х, тем больше величина				этой	силы.		Вместе			с тем сила
У			(точнее говоря,				ее	проекция на			ось
			Ох) по знаку всегда противоположна
			знаку	координаты				х.	В самом деле,
			если	точка	М		находится справа				от
О	ff	, v f р	х начала	координат			О, то		координатах
		* — * •	положительна,			а	сила		направлена		в

			отрицательную			сторону,				и наоборот,
			если	координата			х	отрицательна,			то
		Р и с - 1 6 2	восстанавливающая					сила		направлена
			в положительную сторону. Обозначив
коэффициент		пропорциональности между силой и расстоянием через с
(причем	с > 0), выразим восстанавливающую силу							формулой
			F = — cx.							(131)

Пусть на точку М во время ее движения действует сила сопро тивления R, пропорциональная скорости точки и направленная про тив скорости. Таким образом, если точка М движется вправо

(х > 0), то сила сопротивления

направлена

влево

(R <

0), и, на

оборот, если х < 0, то

R > 0.

Обозначив

коэффициент

пропорцио

нальности через а (причем а > 0), мы определим

силу

сопротивле

ния (выражаясь точнее,

ее проекцию на ось Ох) формулой

R = — ax.

(132)

Кроме того, пусть на точку

М действует

возмущающая

сила

Р,

т. е. некоторая дополнительная сила, вызывающая

изменение

дви

жения, обусловленного

основной

силой

Возмущающая'

сила

на

правлена по прямолинейной траектории

точки М и,

периодически

изменяя свою величину и знак, раскачивает точку

М то в ту, то в

другую сторону. Мы ограничимся

рассмотрением

простейшего

слу

чая и предположим, что сила Р

изменяется

с течением

времени

по

закону синуса:

P = Hsmpt.

(133)

Очевидно, что сила

Р изменяется в

пределах

от

-j-Я до

—Н.

Пример такой силы приведен в задаче № 110.

Напишем дифференциальное уравнение движения точки М:

mx = F-^R~\-P

или тх = —сх—ax

Hs'mpt.

Разделив обе части уравнения, на т, введем обозначения

- = 2/г, — = = А

(134)

и	перенесем члены, содержащие х или	его производные,	влево:
	xJr2nx-\-k'ix=*hs,\r\pt.		(135)
	Мы имеем неоднородное линейное дифференциальное		уравнение
с	постоянными коэффициентами. Общее	решение такого	уравнения

складывается из: 1) общего решения соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения (135) без правой части, и какого-либо

частного решения неоднородного уравнения (135).
Для интегрирования		уравнения
		лЧ- 2«х +		/г2х =	0
составим	характеристическое		уравнение
		z2 + 2nz + k2 =			0.
Если п <	k («малое сопротивление»),			то	характеристическое			уравне
ние имеет	комплексные корни:
	2 Ь А =		—П±.І	Vk2—		П2
и общее решение однородного			уравнения		имеет		вид
	х. = є""' (С\ cos Vа—ft1			+ C2 sin Vfc — n* t),				(136)
где Cj и	C2 — постоянные	интегрирования.				Эти	постоянные	можно
определить лишь после того, как будет					получено частное			решение
неоднородного уравнения		(135).
Частное решение неоднородного уравнения (135) при рфк								будем
искать вида		х=	В sin (pt— б).
		х=	В sin (pt— б).

Подберем такие постоянные Б и б, при которых написанное выражение удовлетворяет уравнению (135). Найдем первую и вто рую производные от х по времени:

х — Вр cos (pt — б); х — — Bp2 sin (pt — 6)

и подставим в (135) написанное выражение х и его производных:

— Bp2 sin (pt — б) + ЪхВр cos (р/ — б) + k2B sin (р/ —-б) = h sin pt.

Преобразуем		правую		часть	этого	равенства:
hsin/?/ == h sin (pt — 6 - f 6) —/isin						— 6) cos б - f h cos (pt — 6) sin			6.
Перенеся все члены влево и собирая члены, содержащие								s\n(pt	— б)
и cos (pt — б), получим
[В (k2	— p2)—h	cos б] sin (pt — b) -1- (2Bnp — h sin 6) cos (pt — 6) == 0.
Это	равенство		обращается		в тождество,		если
		B(k2—p2)=/icos6;				2fiHp =	Asind,
или
	Д =		,	*,	= -	; t e	a - А .	(137)

Складывая общее решение (136) однородного уравнения с най денным частным решением неоднородного уравнения, получим общее решение неоднородного уравнения (135) в таком виде:

о~ nt (Cj C O S K / J 1	— n-t 4- C2 sin J ' > — n11)	- f
+ л Г і у ,	= = - - s i n ( ^ - 6 ) .	(138)

Прежде чем исследовать сложное колебательное движение точки под действием сил F, R и Р, выражаемое уравнением (138), рас смотрим более простые движения, которые точка совершала бы под действием одной силы F или же под действием силы F и какойлибо одной из двух остальных R или Р.

				Свободные		колебания			без	сопротивления.
Точка, движущаяся по пря-				Предположим,			что	на	материальную точ-
мой,	совершает под дейст-			к М	( ш	р и с _	] б 2	на	стр.	274) действует
вием	восстанавливающей			J	4	г			J	, 0 1 ,	'
силы	гармоническое		колеба-	только восстанавливающая						сила (131), сила
		ние		же сопротивления (132) и возмущающая
				сила (133) равны пулю. Пусть начальная
скорость		точки	М направлена		по	прямой		МО	или равна		нулю.
В таком		случае	точка М будет двигаться по прямой ОМ (по оси Ох),

дифференциальное и кинематическое уравнения ее движения мы по

лучим, положив в (135) и в

(138)

равными

нулю.

самом

деле,

если

сила

сопротивления

R-=Q,

то,

следовательно,

а =

по

тому

что

R = — ах

их переменная

величина.

Если

же

а = 0,

то

равно нулю и п, которое согласно (134) равно

. Аналогично, ра

венство нулю возмущающей

силы

означает,

что

равны

нулю Я и п.

таком случае

уравнение (135) принимает

вид

а его

интеграл

х +

£2 х==0,

(139)

x^C^oskt

+ C^rnkt.

(140')

Этому уравнению придадим более удобный

вид, для

чего

выразим

постоянные интегрирования

Сх

С2

через

две

другие постоянные

величины

Аир,

однозначно

связанные

с С\

С2

соотношениями

Тогда

L V - ^ s i n p 1

4cosp.

(140")

x =

As\n(kt-\-$).

(140)

Это уравнение является одним из важнейших уравнений в тео рии колебаний и описывает наиболее простое колебательное движе ние, называемое гармоническим. Еще в древности было известно, что если некоторая точка М' (рис. 163) равномерно движется по окружности радиуса О'М' — А со скоростью kA, то проекция М этой точки на какую-либо ось Ох, лежащую в плоскости окружности, совершает гармонические колебания. Мы воспользуемся рис. 163, чтобы нагляднее ознакомить читателя с параметрами гармонического колебания.

Если

точка

М'

опишет

полную

окружность, то

точка

совер

шит одно

полное

колебание.

М (или, что то же, время,

Время

одног.о полного колебания

точки

в течение

которого точка

М'

описывает

одну полную окружность) называют перио

дом т„

колебаний.

Угловая

скорость k,

которой

пово

уи-д

рачивается

радиус-вектор

О'АГ

при

рав- .

\ \

номерном движении точки

М',

равна

цик-

! \ ^ \

лической, круговой или угловой частоте

колебаний

точки М. Эту

величину

обычно

коротко называют частотой, хотя, как

будет видно из дальнейшего, оба

понятия

не вполне

идентичны.

Период

угловая

частота

связаны

Рис. 163

простым соотношением, которое становится

очевидным, если учесть,

что т0 — это время, в течение которого

ОМ',

вращаясь

угловой скоростью

поворачивается

на 2л:

т„ = ^

6 = ^ ,

(141)

или ввиду

(134)

т„ =

2 я т / ^ .

(142)

Период имеет размерность времени [ т ] - Т Л

Частота имеет размерность угловой скорости

[k]=T~\

Из (141) видно, что круговая частота k равна числу полных колебаний, совершаемых в 2я сек. Частота v колебаний пропор циональна круговой (циклической, угловой) частоте k и равна — .

В технике и в физике частоту обычно измеряют в герцах					(ги).		1 гц —
частота, равная одному полному колебанию (циклу)					в	секунду.
Иначе говоря,	герц есть		частота такого периодического			процесса,
который повторяется каждую секунду. Обратите внимание							на то,
что частота и	период	гармонических колебаний		зависят		от	массы
точки и коэффициента		с	восстанавливающей силы	и не	зависят от
начальных данных.

Максимальное отклонение А точки М от среднего (равновесного) положения О в ту или в другую сторону (или, что то же, радиус круговой траектории точки М') называют амплитудой. Амплитуду измеряют в единицах длины:

	И 1	і-'-
Аргумент синуса {kt-\-$)	называют		фазой колебания, a f5 — на
чальной фазой. Физический	смысл	фазы	колебания выявляется при

сравнении двух колебаний с одинаковыми частотами, но с разными

начальными	фазами. Колебание			с фазой	+	опережает	колеба
ние с фазой	kt,	а колебание с фазой (kt — р1)				отстает от него (разу
меется, при положительном Р).
Напомним, что А и 6 являются постоянными интеграции,							а сле
довательно,	их определяют		по начальным		данным. Пусть в		началь
ное мгновение		t = 0, х — XQ	ИХ	— XQ . Продифференцировав			(140) по

времени,

получим х

Akcos(kt

fi), и

подставляя

начальные

зна

чения:

= Asln$

и х0

Akcosfi,

получим

(143)

Из

тех

же

равенств

можно

определить

начальную

фазу

tgP = ^ 4 2 - .

Амплитуда

и начальная

фаза

зависят

от частоты

и от

ха

данных.

начальных

Задача

№

108

(32. 2, 826 М). Груз

весом

2 Т

подвешен на тросе

(рис. 164).

При равномерном

спуске груза

со скоростью

v — 5м/сек

произошла

неожиданная

задержка

верхнего

конца

троса

вследствие

защемления

троса в обойме

блока.

у/////.

Пренебрегая

весом троса, определить

его наибольшее на

тяжение при последующих колебаниях груза, если коэф

фициент жесткости

троса

с = 4

Т/см.

Решение.

Примем

следующие

единицы

измерений:

длина—в

см, время — в сек,

сила — в Т. Рассмотрим дви

жение

груза. На

груз

действуют две

силы:

вертикально

вниз

вес груза

2Т,

вертикально

вверх — натяжение

троса.

Груз

спускался

равномерно,

следовательно,

до

защемле

ния натяжение троса равнялось весу груза. В этом

равновесном

положении

его

застала

авария.

После за

щемления

троса груз

не

остановился

мгновенно.

В это

( Ц І Ї

мгновение он имел скорость 5 м/сек

и продолжал

опускать

ся. Но по мере

опускания

груза

сила натяжения

троса

возрастала от своего начального значения 2Т.

Ускорение

груза

направлено

по силе

и пропорционально

ей. Поэто

му опускание груза было замедленным и в некоторое

Рис.

164

мгновение

скорость

груза,

перейдя

через

нуль,

стала

направленной

вверх,

направлении

силы

и ускорения.

Движение вверх было ускоренным, но по мере того как груз

поднимался,

растяжение

троса,

а следовательно,

и его

натяжение

уменьшались,

потому

уменьшалось

ускорение

груза,

скорость

же продолжала

увеличиваться

до

момента

прохождения

через

равновесное

положение. После

этого

груз,

набрав

скорость, продолжал подниматься,

но замедленно, так

как натяжение

троса

стало

меньше

силы

веса

и равнодействующая

приложенных

грузу

сил

была

направ

лена вниз. Затем скорость стала равной нулю, груз начал падать вниз, натяжение

троса

возрастало

и движение

повторялось снова

неопределенное

количество раз.

Начало О системы отсчета выберем обязательно в равновесном положении

груза,

относительно

которого происходят колебания, направив ось Ох вертикально

вниз

(рис.

164).

начальное

мгновение

(в момент защемления

троса) было:

х0--0;

х п = 500 см/сек.

Квадрат круговой частоты определим по (134). После подстановки

4•981

в формулу k2

= —

имеем

k2 ——-—-.

Определим

амплитуду

по

формуле

(143):

j /

А=

500а

1,28

см.

1962:

Таким образом, при равновесном положении груза натяжение троса					равно	2Г;
когда	же груз опустился		на одну амплитуду, то	трос растянулся еще на	11,28	см,
а при	жесткости	троса в	4 Т/см натяжение его	увеличилось еще на 45,12 Т.
О т в е т . 47,1		Т.

Натуральный логарифм отно-			Свободные		колебания		с	сопротивлением.
			Движение	под действием				восстанавливаю-
шения	двух последующих		с и л ы	и	силы	сопротивления				будем
амплитуд затухающих коле-			называть		,		r	,			J \Л
баний	называют логарифми-			свободными			колебаниями.				Мы
ческим декрементом			только что убедились,				что	свободные			коле
			бания без	сопротивления являются						гармо
ническими и, раз возникнув, они повторялись						бы до тех			пор,		пока
их не прекратила бы или			не изменила бы какая-нибудь внешняя								сила.
Пусть возмущающая сила отсутствует				(Р = О, Н = 0, h = 0), а на точку
действуют силы		F ——сх	и R——ах.		Дифференциальное				уравнение
(135)	движения	точки М принимает		вид
			x + 2nx + k2x		= 0,						(144)
а его	интеграл	получим,	положив в	(138) h — 0:

х = е-'1' (С1 cos]/ k2 — n4 + С2 sin У № —п31)

или, если воспользуемся соотношениями (140),

х — Ae~nt sin (|/ б2"——Тг2 t -j- р).

(145)

Постоянные А и Р определяют по начальным данным.

Наиболее существенное отличие уравнения (145) от уравнения (140), иначе говоря, наиболее существенное изменение в свободном колеба нии точки М, внесенное наличием силы сопротивления, заключается в множителе e~'lt, который с течением времени непрерывно умень шается, вследствие чего амплитуда Ae~nt колебаний с сопротивле нием убывает по экспоненциальному закону, асимптотически приб лижаясь к нулю. Такое колебание называют затухающим.

Переходя к определению периода затухающих колебаний, обратим внимание на то, что вообще периодом периодического движения назы вают промежуток времени между двумя последовательными прохож дениями точки (или системы) через одно и то же положение в одном и том же направлении. В случае затухающих колебаний только рав новесное положение удовлетворяет такому определению периода, через всякое же другое положение точка М (или любая система, совершаю щая затухающие колебания) проходит через неравные промежутки времени (см. рис. 165). Поэтому под периодом затухающих колебания понимают промежуток времени тг между двумя последовательными про хождениями точки М (или системы) через положение равновесия в оди наковом направлении. В таком же смысле колебания, описываемые уравнением (145), могут быть названы изохронными. Период зату хающих колебаний можно определить по формуле

<<< < Предыдущая 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 / 4728 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
21.10.20238.82 Mб6Геохимия и гидрохимия природных вод Восточной Сибири [сборник статей]..pdf
#
25.10.202317.21 Mб44Герасимов В.В. Материалы ядерной техники учеб. пособие.pdf
#
29.10.20234.09 Mб11Гермаидзе Г.Е. Уход за мартеновскими печами.pdf
#
19.10.20232.36 Mб4Герман, В. Т. Построение информационной системы управления технологическими процессами добычи и подготовки газа научно-экономический обзор.pdf
#
24.10.202311.14 Mб23Герметизация полимерными материалами в радиоэлектронике..pdf
#
27.10.202323.44 Mб63Гернет М.М. Курс теоретической механики учеб. для вузов.pdf
#
30.10.202316.68 Mб6Герои звездных трасс спец. вып.pdf
#
23.10.20238.36 Mб29Герсон Ф. Спектроскопия ЭПР высокого разрешения.pdf
#
23.10.202322.28 Mб33Герцберг, Г. Спектры и строение простых свободных радикалов.pdf
#
19.10.20234.69 Mб9Герш, Г. И. Электрооборудование тракторов и комбайнов.pdf
#
23.10.20236.08 Mб29Гессен В.Ю. Защита сельских электрических сетей от аварий.pdf