РГЗ №2

6. Энтропия одного моля идеального газа:

S = CμV lnT + R lnV + const; S = Cμp lnT − R ln P + const;

S = CμV ln P + Cμp lnV + const.

Примеры решения задач.

Задача 1. Найти КПД цикла, состоящего из двух изохор и двух адиабат, если максимальное отношение объемов газа в цикле n = 8. Рабочим веществом является

2

3

КПД тепловой машины определяется отношением работы за цикл к количеству теплоты, получаемому рабочим телом за цикл:

η = A .

QÍ

Вданном цикле работа равна алгебраической сумме работ, выполняемых системой

вдвух адиабатных процессах A = A12 + A34 , так как в изохорных процессах 2 – 3

и 4 – 1 работа не совершается.

Работы: A12 = − E12 = vCμV (T1 − T2 ) ,

A34 = vCμV (T3 − T4 ) .

Рабочее тело получает количество теплоты в изохорном процессе 4 – 1. Для процесса 4 – 1 имеет место соотношение:

P1 = P4 .

T1 T4

Так как P1 > P4, то T1 > T4. Рабочее тело нагревается. Количество теплоты, получаемое газом, равно

QН = Q41 = vCμV (T1 − T4 ) .

Для КПД цикла получаем

Из уравнений для адиабатных процессов 1 – 4 и 3 – 4

P1V1γ = P2V2γ , P4V4γ = P3V3γ

Правая часть уравнения является безразмерной.

Учитывая, что для одноатомного идеального газа i = 3, γ = 5/3, производим вычисления:

Объем V0, соответствующий максимуму энтропии, найдем из условий:

Ответ: V0 =1,25м3 .

Задача 4. Во сколько раз следует изотермически увеличить объем идеального газа

Ответ: V1 /V2 = 2,7 .

Задачи для самостоятельного контроля.

4.1. На рис 4.1 изображены два цикла Карно: 1-2-3-4-1 и 4-3-5-6-4. Процессы 6-4-1 и 2-3- 5 адиабатные. Сравнить КПД циклов, если Т1-Т2=Т2-Т3.

4.2. Тепловая машина работает по циклу Карно с температурой нагревателя Т1 и

температурой холодильника T2. В первом случае увеличивают только Т1 на ∆Т, а во втором – температуру холодильника Т2 уменьшают на ∆Т. Сравнить КПД новых циклов.

4.3.При адиабатном расширении газаd цикле Карно произведение PV уменьшается в 1,5 раза. Вычислить КПД цикла.

4.4.В состояниях 2 и 4 цикла Карно (рис. 4.2) давления газа равны, а отношение объемов V2/V4=2. Вычислить КПД цикла.

4.5.В состояниях 2 и 4 цикла Карно (рис. 4.2) давления газа равны, а отношение объемов V2/V4=4/3. Вычислить КПД цикла.

4.6.В состояниях 2 и 4 цикла Карно (рис. 4.2) отношение объемов V2/V4=1,5, а отношение давлений P2/P4=2. Вычислить КПД цикла.

4.7.В состояниях 1 и 3 цикла Карно (рис. 4.2) отношения объемов V3/V1=2, а отношение давлений P1/P3=1,5. Вычислить КПД цикла.

4.8.Изобразить цикл Карно на диаграмме T-S (S – энтропия). По диаграмме вычислить: а) переданное рабочему телу количество теплоты; б) отданное рабочим телом холодильнику количество теплоты; в) работу, совершенную рабочим телом в цикле.

4.9.Как изменится КПД цикла Карно, если в качестве рабочего тела взять одноатомный газ вместо двухатомного? Относительное изменение объема газа при адиабатном расширении оставить без изменений.

4.10.Тепловая машина работает по циклу Карно. Рабочим веществом машины является идеальный одноатомный газ. При адиабатном расширении газа объем газа увеличивается в 8 раз. Вычислить КПД машины.

4.11.Тепловая машина работает по циклу Карно. Работа, совершенная рабочим телом при изотермическом расширении, по абсолютной величине в 1,5 раза больше, чем при изотермическом сжатии. Вычислить КПД машины.

4.12.Тепловая машина работает по циклу Карно (рис. 4.2). Как изменится работа, совершаемая за цикл, если в качестве рабочего тела взять одноатомный газ вместо двухатомного? Состояния 1 и 3 в цикле не изменяются.

4.13.Как изменится работа, совершаемая за цикл Карно (рис. 4.2), если в качестве рабочего тела взять двухатомный идеальный газ вместо трехатомного? Состояния 2 и 4 в цикле не изменяются.

4.14.Идеальный одноатомный газ совершает цикл Карно. Работа, совершаемая газом при изотермическом расширении, равна его работе при адиабатном расширении. Объем газа при изотермическом расширении увеличивается в 2,72 раза. Вычислить КПД цикла.

4.15.Идеальный одноатомный газ совершает цикл Карно (рис. 4.2). Как изменится количество теплоты, полученное от нагревателя, и количество теплоты, отданное холодильнику, если в качестве рабочего тела взять двухатомный газ? Состояния 1 и 3 в цикле не изменяются.

4.16.Идеальный трехатомный газ совершает цикл Карно (рис. 4.2). Как изменится количество теплоты, полученное от нагревателя, и количество теплоты, отданное холодильнику, если в качестве рабочего тела взять двухатомный газ? Состояния 2 и 4 в цикле не изменяются.

4.17.Идеальный газ с числом степеней свободы i совершает цикл Карно. Количество теплоты, полученное газом от нагревателя, равно его работе при адиабатном расширении.

Объем газа при изотермическом расширении увеличивается от V1 до V2. Вычислить КПД цикла.

4.18.Газ совершает цикл Карно. Абсолютная температура нагревателя в n раз больше

температуры холодильника. Нагреватель передал газу количество теплоты Q1. Вычислить работу, совершенную газом в цикле.

4.19.В цикле Карно газ отдал холодильнику 3/4 теплоты, полученной от нагревателя. Найти температуру нагревателя, если температура холодильника 300 К.

4.20.Внутри теплоизолированного цилиндра с подвижным поршнем находится газ. При горизонтальном положении цилиндра поршень находится по середине цилиндра. Температура газа по обе стороны поршня одинакова. Когда цилиндр поставили вертикально, поршень сместился под действием силы тяжести. Вычислить изменение энтропии газа в обеих частях цилиндра. Считать, что поршень не проводит тепло.

4.21.Как изменится энтропия газа в обеих частях цилиндра в задаче 4.20, если поршень является теплопроводящим? Будут ли обратимы процессы, проходящие в газе?

4.22.Как будет изменяться энтропия термодинамической системы при изотермическом расширении и изотермическом сжатии? Сравнить изменение энтропии системы в этих процессах по абсолютной величине.

4.23.Газ в закрытом сосуде разделен теплопроводящей перегородкой на две части с разными температурами. В результате теплообмена температура газа в обеих частях выравнивается. У какой части газа больше приращение энтропии по абсолютной величине?

4.24.Нагретый кусок металла бросают в холодную жидкость. Как изменится энтропия металла и жидкости после установления равновесия? У какого из тел приращение энтропии по абсолютной величине будет больше?

4.25.Холодный предмет бросают в горячую воду. Как изменится энтропия предмета и воды, после установления теплового равновесия? У какого из тел приращение энтропии по абсолютной величине будет больше?

4.26.Воздушный пузырек всплывает со дна водоема на поверхность. Вычислить приращение энтропии воздуха в пузырьке. Считать, что температура воды на глубине и у поверхности одинакова.

4.27.На рисунке 4.3 показаны обратимые процессы перехода идеального газа из состояния 1 в состояние 2 (1-2 изотерма). Доказать, что приращения энтропии газа в процессах 1-2 и 1-3-2 равны.

4.28. На рисунке 4.4 АВ – изотерма. Сравнить приращения энтропии в процессах I и II.

4.35. На рис. 4.10 изображен цикл состоящий, из изотермического (1-2), изохорного (2-3), изобарного (3-1) процессов. Как изменяется энтропия газа на различных участках цикла?

4.36. Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояния 2, 3, 4 (рис 4.11). Как изменяется энтропия газа? В каком процессе приращение энтропии будет максимально, минимально?

4.37. На рис. 4.12 АВ – адиабата идеального газа. В каком процессе 1 − 3 или 1 − 2 приращение энтропии газа ∆S больше? Сравнить алгебраические (с учетом знака) значения ∆S.

4.38. На рис. 4.13 АВ - адиабата. Как изменяется энтропия газа в процессах 1-2 и 3-4? В каком процессе приращение энтропии больше?

4.39.Два моля двухатомного идеального газа переходят из состояния c давлением P и объемом V в состояние c давлением 2P и объемом 2V. Вычислить приращение энтропии газа.

4.40.В адиабатном процессе объем ν молей двухатомного газа уменьшили в 2 раза, затем газ при постоянном объеме охладили до начальной температуры. Найти изменение энтропии газа.

4.41.Идеальный газ в количестве v молей сначала адиабатно сжимается так, что объем уменьшается в n раз, затем изотермически расширяется до начального объема. Найти изменение энтропии газа.

4.42.Идеальный газ в количестве v молей сначала изобарно уменьшает объем в n раз, затем изохорно увеличивает давление за счет нагревания в n раз. Найти изменение энтропии газа.

4.43.Смешивают горячую воду массой m при температуре t1 с такой же массой холодной воды при температуре t2. Найти приращение энтропии системы. Удельная теплоемкость воды равна c.

4.44.Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 (рис.4.14) через процессы

1-3-2, затем 1-4-2. Все процессы обратимы. Показать расчетом, что приращения энтропии газа в процессах 1-3-2 и 1-4-2 равны.

4.45. На рис. 4.15 1-2 – изотерма, 1-3 – адиабата, 3-2 – изобара. Идеальный газ переходит из состояния 1 в состояние 2 изотермически расширяясь (1-2), или через процессы 1-3-2. Все процессы обратимы. Показать расчетом, что приращения энтропии газа в обоих случаях равны.

4.46.Кусок льда массой 100 г нагревают от температуры 250 К до температуры плавления и плавят. Найти приращение энтропии льда.

4.47.Водяной пар массой 100 г при температуре 100° С превращается в воду, которая затем охлаждается до температуры 0° С. Вычислить приращение энтропии.

4.48.Температура вещества зависит от энтропии по закону Т = aSn, где а, n - постоянные. Найти теплоемкость С вещества как функцию S. При каком условии С < 0?

4.49.Один моль идеального газа совершает процесс, в котором энтропия газа изменяется

с температурой по закону S = аТ + Сv ln Т, где а - постоянная больше нуля; Сv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. Найти зависимость температуры газа от объема. При V = Vo температура газа Т = То.

4.50. Один моль идеального газа совершает процесс, в котором температура газа

изменяется по закону Т = То + R ln V , где То - начальная температура газа; Vo - a V0

начальный объем газа, а=const, a>0. Найти зависимость энтропии газа от температуры.

4.51.Идеальный газ с показателем адиабаты γ совершает процесс, в котором давление

изменяется по закону Р=Ро- α V, где Ро и α - положительные постоянные, V- объем. При каком значении объема энтропия газа окажется максимальной?

4.52.Один моль идеального газа с известным значением теплоемкости Cv совершает

процесс, в котором энтропия S зависит от температуры, как S = α /T, где а=const. Температура газа изменилась от T1 до Т2. Найти: а) теплоемкость газа как функцию температуры; б) количество теплоты, сообщенное газу; в) работу, которую совершил газ.

4.53.Теплоизолированный сосуд разделен перегородкой на две части так, что объем одной из них в 2 раза больше другой. В меньшей части находится 0,3 молей азота, а в большей части 0,7 молей кислорода. Температуры газов одинаковы. В перегородке открыли отверстие, и газы перемешались. Найти приращение энтропии системы.

4.54.Процесс расширения двух молей аргона происходит так, что давление увеличивается прямо пропорционально объему. Найти приращение энтропии газа при увеличении его объема в 2 раза.

4.55.На рисунке 4.16 изображен обратимый цикл, который совершает моль идеального

газа. Найти работу и КПД цикла, как функции температур Т1, Т2, Т3. Процесс 1-3 адиабатный.