Методические указания к лабораторным работам по механике
.pdf
Лабораторная работа №3.
Изучение основного закона динамики вращательного движения на маятнике Обербека
Цель работы: экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения твердого тела с неподвижной осью вращения.
Приборы и принадлежности: Маятник Обербека, набор грузов с известными массами, метровая линейка или рулетка, штангельциркуль, секундомер, технические весы.
ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ.
Маятник Обербека представляет собой систему, состоящую из шкива и ступицы со спицами (рис.1). Система может вращаться относительно неподвижной оси, проходящей через центр симметрии системы. На каждую из спиц насажены равные по массе грузы m, передвигая которые можно менять момент инерции системы. Грузы закрепляются на спицах винтами, масса которых входит в массу грузов.
m
m
m
m
m 0
Рис. 1
К шкиву крепится гибкая нить, к свободному концу которой крепится
груз массой m 0 . Натяжение нити создает момент силы, приводящий маятник во вращение.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ.
Основной закон динамики твердого тела, вращающегося около
неподвижной оси, имеет вид: |
|
M=I×ε , |
(1) |
где M ─ алгебраическая сумма моментов сил, действующих на тело, |
|
относительно оси вращения; |
I ─ момент инерции тела относительно той же |
оси;ε ─ угловое ускорение. |
|
Для маятника Обербека, если пренебречь растяжимостью нити и ее |
|
массой, основной закон динамики вращательного движения принимает вид: |
|
T× r- M тр = (I 0 +nml 2 )ε , |
(2) |
m
m
r |
|
|
|
|
|
→ |
m |
ℓ |
|
T |
|
m |
→ |
m о |
|
|
- T |
|
|
|
|
|
→ |
Рис. 2. |
|
m 0 |
g |
|
|
|
где Т ─ сила натяжения нити;
M тр |
─ момент силы |
трения |
системы; |
|
|
Ι о |
─ момент инерции |
маятника |
Обербека без грузов (для каждого маятника известен);
→n ─ число грузов m, равное 3 или 4;
a |
ℓ ─ расстояние от центра тяжести |
|
грузов m до оси вращения ( рис. 2); |
|
r ─ радиус шкива (для всех |
|
установок r= 5,9 см). |
Экспериментальная проверка основного закона |
динамики вращательного |
|
движения на маятнике Обербека заключается в |
независимом определении |
|
левой и правой части соотношения (2) и их сравнении. |
||
Из второго закона Ньютона для груза m0 |
выразим натяжение нити |
|
Т=m0(g-a), |
|
(3) |
где а ─ ускорение поступательного движения груза m 0 , g ─ ускорение
свободного падения.
Таким образом, для экспериментального определения натяжения нити Т необходимо найти ускорение a и знать значение массы m 0 .
Ускорение а можно определить из следующего опыта. Замотать нить с грузом m 0 на шкив маятника и предоставить возможность грузу m 0 из
состояния покоя пройти вниз расстояние h, равное длине нити, одновременно измерив время t. Тогда ускорение можно рассчитать по формуле
a = |
2h |
. |
(4) |
|
|||
|
t 2 |
|
|
Значение массы груза m 0 известно, но при необходимости значение можно определить с помощью технических весов. Момент силы трения M тр можно определить по работе сил трения. Для этого необходимо предоставить грузу m 0 возможность опускаться с высоты h, равной длине нити. Груз m 0 , опустившись до конца, поднимается затем на высоту h1 < h (рис. 3).
m
m
r
|
h |
h |
m |
|
h 1 |
Рис. 3
Начальная потенциальная энергия груза
m 0 восстанавливается частично. Очевидно, что убыль потенциальной энергии равна работе сил трения
Aтр |
= m0 gh − m0 gh1 |
= m0 g h |
. |
(5) |
|
|
|
В экспериментальной установке момент силы трения M тр определяется в основном трением внутри системы и его можно принять постоянным. Тогда
|
|
|
Атр = Mтр ×ϕ , |
|
|
|
(6) |
||
|
|
|
где ϕ = 2π N = 2π |
h + h1 |
= |
h + h1 |
. |
(7) |
|
|
|
|
2π r |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
||
Приравнивая правые части (5) и (6) с учетом (7), получим |
|
||||||||
Мтр = μ m0 gr , |
|
|
|
(8) |
|||||
где μ = |
|
h |
|
. |
|
|
|
|
(9) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2h |
− |
|
|
|
|
|
|||
|
h |
|
|
|
|
||||
Зная длину нити, и, измерив h , можно определить коэффициент μ , а затем момент силы трения M тр , т.к. m 0 и r известны.
В правую часть (2) входят неизвестные ℓ и ε . Длину можно измерить с помощью линейки. При отсутствии проскальзывания нити по шкиву касательное ускорение точек на поверхности шкива совпадает с ускорением
поступательного движения груза m 0 .Угловое ускорение ε |
связано с |
||
ускорением α соотношением (10) |
|
||
ε = |
а |
. |
(10) |
|
|||
|
r |
|
|
Соотношение (2) с учетом (3), (8) и (10) принимает вид |
|
||
m |
|
gr( 1 |
− μ − |
a |
) = ( Ι |
|
+ nmℓ2 |
) |
a |
, (11) |
0 |
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
g |
|
|
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ.
1. Установите значение момента инерции Ι0 , число спиц n, массу груза m, радиус шкива r и занесите эти значения в протокол испытаний.
2.Измерьте длину нити h с помощью рулетки или метровой линейки.
3.Грузы на спицах маятника установите в крайние положения, и измерьте длину ℓ ─ расстояние от центра грузов m до оси вращения.
4.Подберите груз m 0 не менее 100 г.
5.Закрутите полностью нить на шкив маятника и отпустите груз без толчка, одновременно включив секундомер.
6.В крайнем нижнем положении груза m 0 фиксируйте время падения и
дайте возможность закрутиться нити. В максимальной точке подъема груза m 0 остановите маятник и измерьте расстояние недохода груза m 0 до
первоначального положения h. Чтобы убедиться в правильности фиксации времени падения, опыт проведите 5раз.
7.Сдвиньте грузы m на спицах ближе к оси вращения и измерьте расстояние
ℓ. Повторите опыт по изменению времени падения t и расстояния недохода груза m 0 h
8.Подберите груз m 0 меньше 100 г и проведите опыты как в двух
предыдущих случаях.
9. По результатам опытов вычислите ускорение а по формуле (4), коэффициент μ по формуле (9), левую и правую части (11) для каждого из четырех опытов.
10.Результаты измерений и расчета занесите в протокол испытаний.
11.Сравните результаты всех четырех опытов и установите, в каком опыте получается наименьшее расхождение между левой и правой частями (11). Попытайтесь проанализировать причины большого расхождения в других опытах.
Протокол испытаний.
N |
положение грузовm |
|
1
2
3
4
Известные
величины
|
|
|
|
|
|
|
|
Левая часть (11) |
Правая часть (11) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m gr(1−μ− |
a |
) |
(Y0 + nm ℓ2 ) |
a |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
h, м |
ℓ,м |
m0 , кг |
t, с |
h, |
а, |
м |
|
0 |
|
|
|
g |
|
|
|
|||
μ |
|
|
|
|
|
м2 |
||||||||||||
м |
с2 |
|
кг ∙ |
м2 |
кг ∙ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n= |
m 0 = 0,255 кг |
g= 9,8 |
м |
Io = Ι |
r=0,059 м. |
c 2 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ.
1.Запишите и сформулируйте основной закон динамики вращательного движения. Сопоставьте его со вторым законом Ньютона, проведите аналогию.
2.Что называется моментом инерции тела относительно оси и каков его физический смысл?
3.Запишите и сформулируйте теорему Штейнера.
4.Что называется моментом силы?
5.Какие предположения сделаны в данной работе относительно физических
свойств нити? Обоснуйте их.
Лабораторная работа №4.
Механические колебания. Определение момента инерции тел методом трифилярного подвеса
Цель работы: ознакомление с трифилярным подвесом и экспериментальное определение с его помощью момента инерции диска, полого цилиндра и прямоугольного бруска.
Приборы и принадлежности: трифилярный подвес, секундомер, рулетка или линейка, штангенциркуль, весы, набор тел.
ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Трифилярный подвес (рис.1) состоит из двух цилиндрических дисков разного диаметра, соединенных металлическими нитями длиной l.
Точки крепления нитей на дисках расположены симметрично вдоль обода дисков по вершинам равностороннего треугольника. Верхний диск Q жестко закреплен. Нижний диск P имеет возможность совершать гармонические крутильные колебания. Для этого необходимо его повернуть вокруг вертикальной оси на небольшой угол (γ 0 < 30 ) и отпустить. Период колебания
диска зависит от его момента инерции. Если на диск Р поместить тело, то период колебаний измениться. Это обстоятельство используется для экспериментального определения момента инерции тел.
Введем расчетную формулу для момента инерции. При совершении крутильных колебаний центр тяжести диска Р перемещается вверх и вниз по оси вращения. При закручивании диска на угол γ 0 центр тяжести поднимается
на высоту h (рис.2) и диск приобретает потенциальную энергию.
En = mgh ,
которая через четверть периода Т/4 при прохождении положения равновесия переходит в кинетическую энергию вращения.
EK = 1 Iω02 .
2
Пренебрегая диссипацией механической энергии, можно записать
= 2mgh
I (I)
ω02
Здесь m – масса диска, ω0 - угловая скорость диска при прохождении положения
равновесия, g – ускорение свободного падения. Найдем ω0 и h .
Для гармонических крутильных колебаний можно записать
ϕ=ϕ0сos 2π t ,
T
где ϕ - угловое смещение диска, ϕ0 - амплитуда углового смещения, Т – период
колебаний, t – время.
Найдем угловую скорость вращения диска
ω = |
dϕ |
= − |
2πϕ0 |
2π |
|
||
|
|
sin |
|
t . |
|||
dt |
T |
T |
|||||
|
|
|
|
||||
К моменту времени t = T от начала движения (в момент прохождения
4
положения равновесия) абсолютное значение угловой скорости будет равно
ω0 |
= |
2πϕ0 |
(2) |
|||||
T |
||||||||
|
|
|
|
r |
||||
Q |
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r
H
|
l |
|
|
l |
|
|
C1 |
O1 |
|
ϕ0 |
h |
R |
P |
|
A |
O |
|
|
C |
|
|
A1 |
|
|
Рис.1 |
|
|
R |
|
Высоту h найдем из следующих геометрических соотношений (рис.2). При закручивании диска Р на угол ϕ0 точка крепления нити l переходит из
положения А в положение А1. При этом центр тяжести диска поднимается на высоту h=OO1=CC1. Из прямоугольных треугольников ABC и A1BC1 находим
l 2 = H 2 + (R − r )2 (3) l 2 = x 2 + (H − h) 2 (4)
где А1С1=х, АВ=А1В=l, ВС=H – расстояния между дисками Q и P в положении равновесия.
Из O1C1 A1 согласно теореме косинусов можно записать
x2 = R2 + r 2 − 2Rrсosϕ0 |
(5) |
т.к. О1С1=r, О1А1=R.
Решая совместно (3-5) с учетом малости h 2 и заменяя H l , получим
|
2Rrsin2 ϕ0 |
|
h = |
2 |
|
l |
||
|
Для малых углов ϕ0
sinϕ0 |
≈ ϕ0 |
|||
Таким образом для h получим |
Rrϕ02 |
|||
h = |
||||
|
|
(6) |
||
|
|
|||
|
|
2l |
||
Окончательно для момента инерции (1) находим
I = |
mgRr |
T 2 |
(7) |
|
|||
|
4π 2 l |
|
|
По формуле (7) можно определить момент инерции диска или системы диск + тело, т.к. все величины в правой части (7) могут быть непосредственно измерены.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Опыт 1. Определение момента инерции диска.
1.Измерить несколько раз диаметры дисков Q и P с помощью штангенциркуля, вычислить их среднее значение и найти радиусы дисков
R и r.
2.Измерить длину нити l с помощью линейки или рулетки.
3.Измерить при помощи секундомера время (t) n=10-20 полных колебаний диска P и определить период колебаний T=t/n (Измерения повторить 5 раз и вычислить среднее значение периода колебаний).
4.По средним значениям измеренных величин вычислить момент инерции диска Iд по формуле (7).
Опыт 2. Определение момента инерции полого цилиндра.
1.На диск Р поместить полый цилиндр и по аналогии с предыдущим случаем определить период колебаний системы диск + полый цилиндр.
2.По формуле (7) вычислить момент инерции всей системы Iс, принимая массу системы равной сумме масс диска и цилиндра.
3.Величину момента инерции полого цилиндра найти по формуле
Iц = Iс − I д
Опыт 3. Определение момента инерции прямоугольного бруска.
Поместите на диск Р прямоугольный брусок и по аналогии с опытом 2 найдите момент инерции бруска Iб.
Результаты измерений и вычислений для всех трех случаев занести в протокол испытаний №1.
Значение масс диска, полого цилиндра и прямоугольного бруска выбиты на телах.
При необходимости произвести взвешивание тел на технических весах. Расчеты можно проводить в единицах СГС (г, см, сек) или СИ (кг, м, с).
Таблица 1
№ |
Форма |
Масса |
Период |
|
|
|
Момент |
Момент |
|
R |
r |
l |
инерции |
инерции |
|||||
опыта |
тела |
системы |
колебаний |
||||||
|
|
|
системы |
тела |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
Диск |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
Диск + |
|
|
|
|
|
|
|
|
цилиндр |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Диск + |
|
|
|
|
|
|
|
|
брусок |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СРАВНЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОГО И ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЙ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ.
1.Измерить с помощью штангенциркуля внутренний и внешний радиусы
полого цилиндра R1, R2 и длины бруска L. Измерение провести несколько раз и определить среднее значение указанных величин.
2.Вычислить моменты инерции по соответствующим теоретическим формулам:
I д = |
m |
R 2 |
ц = mц |
R 2 |
+ R 2 |
б = |
1 |
mб L2 |
|||
д |
д |
; I |
1 |
2 |
; I |
|
|
||||
2 |
|
2 |
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3.Вычислить относительные погрешности
ε= I Э − IT 100 %
I Э
где I Э и IT соответственно экспериментальное и теоретическое значение
момента инерции исследуемых тел.
4. Результаты вычислений занесите в протокол 2.
|
|
|
Протокол 2. |
Форма тела |
Диск |
Полый цилиндр |
Брусок |
|
|
|
|
Момент инерции |
|
|
|
экспериментальный |
|
|
|
Момент инерции |
|
|
|
теоретический |
|
|
|
Относительная |
|
|
|
погрешность |
|
|
|
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.Какие колебания называются гармоническими?
2.При каких условиях крутильные колебания будут гармоническими?
3.Что такое момент инерции?
4.Вывести формулы для момента инерции полого цилиндра и прямоугольного бруска.
5.Сохраняется ли механическая энергия при гармонических колебаниях?