Инженерные методы. Слайды. Часть 1
.pdf
«Инженерные методы обработки результатов эксперимента»
Кафедра ТЭС ИГЭУ
Статистические функция и плотность распределения
Теория
вероятностей
Вероятность событий
Математическое ожидание,
дисперсии
Законы распределения
Генеральная
совокупность
На практике |
Вопросами обработки |
|
экспериментальных данных, |
Результаты опытов |
анализа явлений |
|
по полученным результатам |
Среднее |
при массовых явлениях |
арифметическое, |
занимается математическая |
частота событий |
|
|
статистика |
Выборочная |
|
|
совокупность |
|
n→∞ Характеристики |
|
Характеристики |
|
|
||
|
выборочной |
генеральной |
|
совокупности |
совокупности |
2 |
Инженерные методы обработки |
результатов эксперимента |
Статистические функция и плотность распределения
Задача: требуется определить закон распределения случайной величины из опыта или проверить экспериментально гипотезу о том, что величина Х подчиняется тому или иному закону.
Простая статистическая совокупность |
|
№ опыта |
1 |
2 |
|
I |
(простой статистический ряд) |
|
|
|
|
|
|
Значение Х |
х1 |
х2 |
|
xi |
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Статистический ряд k = 10...20
№ интервала |
1 |
2 |
|
I |
|
k |
Ширина интервала |
х1-х2 |
х2-х3 |
|
xi-xi+1 |
|
xk-xk+1 |
Частота попадания Х |
P*1 |
P*2 |
|
P*i |
|
P*k |
в интервал |
|
|
Статистическая функция |
|
|
|
F* (x ) = P* |
( X < x ) |
F(x) |
|||||
распределения случайной величины Х |
|
|
|||||||||
|
|
i |
i |
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При увеличении n статистическая функция распределения |
|
|
|||||||||
будет приближаться к подлинной функции распределения |
|
|
|||||||||
F(x) случайной величины Х |
|
|
|
|
|
|
х |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для x < x1 |
F* (x) |
= 0 |
|
x |
= |
x + x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
i+1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
2 |
|
|
F* (x ) = P* |
F* (x |
|
) = P* + P* |
|
|
|
Инженерные методы обработки |
||||
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
результатов эксперимента |
Статистические функция и плотность распределения
Статистическая плотность распределения случайной величины X
. |
|
p* |
|
|
|
||
hi |
= |
= f |
* |
(x)i |
|||
|
i |
||||||
xi+1 |
− xi |
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
Характеристики случайной величины в математической статистике
Среднее арифметическое
Выборочная дисперсия и выборочное среднеквадратичное отклонение
Несмещенная оценка дисперсии (несмещенная выборочная дисперсия) и несмещенное среднее
квадратичное отклонение
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m* = x = |
åxi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å(xi − x )2 |
|
||||
|
|
|
|
å(xi − x )2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
S = S2 = |
|
|
|||||||||||||||||
|
S2 = |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å(xi − x )2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
n |
å(xi − x )2 |
|
|
= |
|
|
|||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
i=1 |
|
|
|
S |
|
i=1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
S = S |
|
n −1 = |
|
|
|
|
|
n −1 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n −1 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
Инженерные методы обработки |
4 |
результатов эксперимента |
Законы распределения непрерывных случайных величин
Равномерное (прямоугольное)
распределение
Экспоненциальное распределение
f (x) = |
1 |
|
|
|
x |
|
1 |
x |
x − a |
|
|
|
F(x) |
= ò f (x)dx = |
|
òdx = |
|
||||||
b - a |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
a |
b − a a |
b − a |
||||||
|
|
|
b |
|
b2 − a2 |
|
a + b |
|
|
||
|
|
mx = ò x f (x)dx = 2(b − a) = |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
Dx = bò(x − mx )2 f (x)dx = |
|
1 |
bò(x − mx )2 d(x −mx ) = (b − a)2 |
||||||||
|
|
||||||||||
a |
|
|
|
|
b − a a |
|
|
|
12 |
||
F(x) = 1− e−λ0x |
|
f (x) = dF(x) |
= λ0e−λ0 x |
|||||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
mx = ò x λ0e−λ0 xdx = |
|
|
|
|||||||
λ0 |
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ æ |
1 |
ö |
2 |
−λ0 x |
|
|
1 |
|
||
Dx = ò |
ç |
÷ |
λ |
dx = |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
ç x - |
λ |
÷ |
0 e |
|
2 |
|
||||
0 |
è |
0 |
ø |
|
|
|
|
|
λ0 |
|
|
Инженерные методы обработки |
5 |
результатов эксперимента |
Законы распределения непрерывных случайных величин
Распределение Гаусса или нормальное распределение
f (x) = |
1 |
|
− |
(x −m)2 |
|
|
|
|
e |
2σ 2 |
|
|
|||||
|
|
|
||||||
σ |
|
|
|
|
|
|
||
2π |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Инженерные методы обработки |
6 |
результатов эксперимента |
Статистические выводы
Проверка статистических гипотез
f(U)
|
u* |
|
U |
Область принятия гипотезы |
Критическая область |
f(U)
-u*
Критическая область Область принятия гипотезы
P(U > u* ) = α
∞
α = ò f (u)du
u*
u* U
Критическая область
|
−u* |
∞ |
∞ |
α = |
ò f (u)du + ò f (u)du = 2 ò f (u)du |
||
|
−∞ |
u* |
u* |
|
Инженерные методы обработки |
7 |
результатов эксперимента |
Статистические выводы
Проверка статистических гипотез
f0(U)
Область принятия гипотезы Н0
а)
f1(U)
u*
Критическая область гипотезы Н1
б)
u*
β = −∞ò f1 (u)du
u* U
Критическая область гипотезы Н0
|
u* |
∞ |
(u)du |
γ =1- β =1- |
ò f1 |
(u)du = ò f1 |
|
|
−∞ |
u* |
|
U
Область принятия гипотезы Н1
|
Инженерные методы обработки |
8 |
результатов эксперимента |
Выравнивание статистических рядов
Выравнивание или сглаживание статистических рядов – подбор для
данного статистического ряда теоретической кривой распределения в процессе обработки статистического материала.
Наиболее часто для оценки совпадений распределений используется критерий Пирсона χ2 (хи-квадрат).
|
|
|
k |
( p* - p )2 |
|
|
|
||
|
Оценка расхождения: U = åc |
|
|
|
|||||
|
|
|
i=1 i |
i |
i |
|
|
|
|
|
где сi – весовые коэффициенты |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если ci = |
n |
|
|
k ( p* - p )2 |
|||||
|
, то при больших n |
Þ U = χ 2 |
= nå |
|
i |
i |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
pi |
||||||
|
pi |
|
|
i=1 |
|
||||
|
|
k |
(m - np )2 |
|
|
|
|||
|
|
U = χ 2 = å |
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
npi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Инженерные методы обработки |
9 |
результатов эксперимента |
Выравнивание статистических рядов
Распределение χ2 зависит от параметра ν, называемого «числом степеней свободы» распределения.
Число степеней свободы ν равно числу
разрядов минус число независимых условий (связей), наложенных
на частоты p*i. ν = k – s
|
k |
|
=1 |
|
|
|
|
|
1 |
å pi* |
|
|
|
Это условие должно выполняться всегда |
|||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
k |
|
|
|
|
|
Среднее арифметическое должно совпадать |
|
å x p* = m |
x |
|
с математическим ожиданием |
|||||
|
i=1 |
i i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
k |
|
|
2 |
* |
|
Должны совпадать теоретическая |
|
3 å(xi - x ) |
= Dx |
|||||||
|
pi |
и выборочная дисперсии |
||||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
||
|
Инженерные методы обработки |
10 |
результатов эксперимента |