СЕМИНАР 6

СЕМИНАР 6

Вычисление определителей матриц, свойства определителей.

Вводная информация

Определитель матрицы.

Понятие определителя матрицы, который обозначается через или , имеет смысл только для квадратных матриц. Введем это понятие последовательно, увеличивая размерность матриц.

1. Определитель первого порядка. Рассмотрим матрицу, имеющую одну строку и один столбец . Тогда .

2. Определитель второго порядка. Пусть , тогда .

Пример. .

3. Определитель третьего порядка. Пусть , тогда .

Пример.

4. Определитель n-го порядка.

Определение. Минором элемента -матрицы называется определитель -го порядка, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы после вычеркивания в ней -ой строки и -го столбца. Минор элемента будем обозначать .

Пример. Пусть , тогда .

Определение. Алгебраическим дополнением элемента называется произведение на минор и обозначается , т.е. .

Пример. Пусть , тогда .

Определение. Определителем -го порядка (или определителем матрицы ) называется число , равное . Формула называется разложением определителя по -ой строке.

Пример. Разложим определитель по второй строке и вычислим его. .

Формула разложения определителя матрицы по -ому столбцу имеет вид .

Пример. Разложим определитель по третьему столбцу и вычислим его. .

Свойства определителей.

Перечислим основные свойства определителей.

1. Определитель -го порядка содержит слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение сомножителей, причем каждое произведение содержит лишь по одному представителю от каждой строки и каждого столбца.

2. .

3. .

4. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

5. Определитель с двумя равными строками (столбцами) равен нулю.

6. Общий множитель всех элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

7. Определитель матрицы, у которой все элементы, стоящие в какой-либо строке (столбце) равны сумме двух чисел, равен сумме двух определителей.

Пример. .

8. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя равны нулю, то и сам определитель равен нулю.

9. Если элементы двух строк (столбцов) определителя с учетом их порядка пропорциональны друг другу, то определитель равен нулю.

10. Если к элементам некоторой строки (столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число , то величина определителя не изменится.

11. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Вычисление определителя методом разложения его по строке (столбцу) особенно эффективно, когда в этой строке (столбце) имеются нулевые элементы. Поэтому при вычислении определителей большой размерности целесообразно предварительно, используя перечисленные свойства определителей, сформировать такие строки (столбцы).

Пример. /прибавим третий столбец ко второму столбцу/ /вычтем четвертую строку из третьей строки/ /разложим определитель по второму столбцу/ /вычтем вторую строку из первой строки/ /прибавим третий столбец ко второму столбцу/ /разложим определитель по первой строке/ / умножим первую строку на 2 и вычтем ее из второй строки/ /разложим определитель по первому столбцу/ .

Метод Гаусса.

В численных методах при вычислении определителей применяют метод Гаусса, основанный на приведении определителя с помощью указанных выше преобразований к треугольному виду.

Пример. Вычислим методом Гаусса тот же определитель, что и в предыдущем примере. / вычитая первую строку из второй, третьей и четвертой, делаем нулевыми элементы в них, стоящие в первом столбце (перед вычитанием из третьей строки умножим первую строку на 3)/ /поменяем местами третью и четвертую строку/ /умножим вторую строчку на и вычтем ее из четвертой строки/ / вычтем третью строку из четвертой/ /используя свойства треугольной матрицы, вычисляем определитель/ .

Метод рекуррентных соотношений.

Если матрица, определитель которой мы вычисляем, имеет достаточную симметрию, можно использовать метод рекуррентных соотношений.

Пример. Вычислим методом рекуррентных соотношений определитель -го порядка

. Разложим его по последнему столбцу. /разложим теперь определитель во втором слагаемом по последней строке/

. Замечаем, что мы теперь имеем три определителя одинаковой структуры, но разной размерности. Если мы обозначим первоначальный определитель -го порядка через , то можно написать рекуррентное соотношение . Чтобы воспользоваться этим соотношением, вычислим несколько первых определителей: .

Далее, используя рекуррентное соотношение, находим:

. Заметим, что . Следовательно, можно записать и т. д. Вычисление первых определителей дает общую формулу . Чтобы завершить доказательство, проверим справедливость этой формулы методом математической индукции. Предполагая, что эта формула верна для определителя -го порядка, мы должны показать, что определитель -го порядка равен . Находим, используя рекуррентное соотношение, . Полученное выражение доказывает справедливость формулы .

ЗАДАЧИ

1. Задачи удовлетворительного уровня сложности.

Вычислить определитель второго порядка.

6.1. . 6.2. . 6.3. . 6.4. . 6.5. . 6.6. . 6.7. . 6.8. . 6.9. .

6.10. .

Решить уравнения.

6.11. . 6.12. . 6.13. .

6.14. . 6.15. . 6.16. .

Вычислить определители.

6.17. . 6.18. . 6.19. . 6.20. .

6.21. . 6.22. . 6.23. . 6.24. . 6.25. . 6.26. .

Вычислить определители разложением по какой-нибудь строке или столбцу.

6.27. . 6.28. . 6.29. . 6.30. .

6.31. .

Решить уравнения и неравенство.

6.32. . 6.33. . 6.34. .

Вычислить определители.

6.35. . 6.36. . 6.37. .

6.38. . 6.39. . 6.40. .

2. Задачи повышенного уровня сложности.

Вычислить определители.

6.41. . 6.42. .

6.43. . 6.44. .

Вычислить определители методом рекуррентных соотношений.

6.45. . 6.46. .

6.47. .

6.48. Не вычисляя определителей, показать, что они делятся на :

а) ; б) .

Вычислить, используя свойства определителей.

6.49. . 6.50. .