книги из ГПНТБ / Физико-химические основы металлургических процессов

димости за 1 сек в 1 см3 вследствие их рассеяния на ионах проводника будет равно

Уравнение (V-8) связывает макроскопическую величину — удель­ ное электросопротивление р проводника — с микроскопическими характеристиками — концентрацией коллективизированных элек­ тронов п, импульсом Ферми-электронов mvF и их длиной свободного пробега /.

В теории рассеяния микрочастиц фигурирует важная характе­ ристика процесса — дифференциальное сечение рассеяния. Рас­ смотрим падающий на рассеивающий центр О пучок частиц, парал­ лельный оси z (см. рис. 15). Угол # является полярным, а ф — акси­ альным. Если поле, создаваемое центром О, сферически симметрично, то распределение рассеянных частиц будет обладать осевой симме­ трией относительно оси z. Пусть плотность потока частиц в первичном пучке равна / 0 частиц/(см2-сек), а поток частиц, рассеянных в эле­ мент телесного угла dQ, равен dj частиц/сек. Тогда отношение

не будет зависеть от / 0 и связано лишь со свойствами рассеиваемой частицы и формой рассеивающего поля. Величина а ($) имеет размер­ ность площади.

Целесообразно ввести понятие п о л н о г о с е ч е н и я р а с ­ с е я н и я а, определяемого вероятностью рассеяния на любой угол 0 < : # ^ 180°. Для этого можно было бы проинтегрировать дифференциальное сечение а ($) по всем углам. Однако нас интере­ сует в конечном счете участие рассеяния в проводимости, поэтому переход к полному сечению рассеяния несколько видоизменяют. Дело в том, что рассеяние на большие углы дает больший вклад в электросопротивление, чем рассеяние на малые углы, поскольку в первом случае системе ионов передается больший импульс. Рассмо­ трим эту ситуацию на рис. 15. До рассеяния электрон имел импульс р, а после рассеяния р'. Поскольку Ферми-электроны рассеиваются

п р о в о д н о с т и . Сопоставляя уравнения (V-11) и (V-12), находим, что

Итак, если дифференциальное сечение рассеяния a (ft) известно, то легко вычислить полное сечение.

Из теории рассеяния известно [1 ], что для медленных электронов, длина волны Де Бройля которых гораздо больше радиуса действия

Ясно, что длина свободного пробега электронов проводимости должна быть связана с полным сечением рассеяния о. Длина свобод­ ного пробега в квантовой механике также может быть определена с помощью уравнения, оперирующего средними величинами, по­ скольку рассеяние происходит не в результате некоего импульсного акта, а в процессе непрерывного взаимодействия. Величина / должна выражаться через полное сечение рассеяния а и число рассеивающих атомов в единице объема па. Из соображений размерности можно записать

Выведем это соотношение следующим наглядным способом. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед с площадью основа­ ния / и высотой h. В таком параллелепипеде находится /7ша рассеи­ вающих частиц. Если они рассеивают независимость друг от друга, то полное сечение рассеяния для влетающего перпендикулярно осно­ ванию электрона должно равняться fhnao. Если эта величина меньше

фактической площади сечения /, то существует вероятность, что электрон пролетит через параллелепипед без рассеяния. Следова­ тельно, длину свободного пробега I можно определить как такое значение высоты параллелепипеда h, при котором полное сечение fhnao станет равным площади /. Отсюда

fltigO = / и па1а = 1.

Уравнения (V-13) и (V-15) позволяют вычислить длину свободного пробега, зная дифференциальное сечение рассеяния о (&):

я

о

По смыслу приведенных рассуждений уравнение (V-16) пригодно в том случае, если рассеяние на силовых центрах происходит неза­ висимо. Такая ситуация осуществляется для рассеяния на молекулах газа или на атомах примеси в твердых разбавленных металлических растворах.

Дифференциальное сечение рассеяния а (р) вычисляется в курсах квантовой механики; по своему смыслу оно относится к процессу

рассеяния на одиночном атоме (ионе). Введем волновой вектор ча- ->

стицы к как вектор,-*направление которого совпадает с направлением импульса частицы р, и которые связаны соотношением

Здесь й — постоянная Планка, деленная на 2л.

от рассеивающего центра. Тогда дифференциальное сечение упругого

dV — элемент объема.

В уравнении (V-19) справа вычисляется квадрат модуля комплекс­

Таким образом, зная потенциал рассеяния Ua (г), можно вычи­ слить сечение а (•&), а затем и длину свободного пробега / по урав­ нению (V-16).

На самом деле проблема электропроводности выглядит гораздо сложнее. Дело в том, что модель независимого рассеяния выпол­ няется не всегда. Например, в случае рассеяния электронов прово­ димости твердого металла на тепловых колебаниях решетки нельзя считать рассеяние от отдельных атомов независимым, поскольку атомы находятся слишком близко друг от друга и их смещения из положений равновесия строго упорядочены. Также нельзя считать независимым рассеяние электронов на частицах жидкого металла. Поэтому нам понадобится учесть связь между рассеянием электронов на различных частицах жидкости. Как было показано недавно в ряде работ, эта задача аналогична задаче о рассеянии рентгеновского излу­ чения жидкостями. Основные результаты по этому вопросу были получены Дж. Займаном и сотрудниками в 1961—1965 гг.

Основным предположением является то, что проблема рассеяния электронов проводимости на ионах металла может рассматриваться методом возмущений. Метод возмущений применим, строго говоря, лишь при слабых потенциалах рассеяния. Поэтому долгое время представлялось сомнительным, чтобы этот метод мог дать удовлетво­ рительные результаты для задачи электросопротивления, поскольку рассеивающий потенциал иона в металле не мал. В последнее время было, однако, показано [3], что задача рассеяния может быть суще­ ственно упрощена. В области сильного понижения потенциала (в потенциальной яме) вблизи иона волновая функция электрона начинает сильно осциллировать, так как она должна быть ортого­ нальной к волновым функциям электронов ионных оболочек. Силь­ ные осцилляции волновой функции приводят к тому, что вблизи иона кинетическая энергия электрона значительно возрастает. Этот рост почти полностью гасит падение потенциальной энергии. В результате приходят к тому, что рассматривают не сильно колеблющееся поле ионных остовов, а сглаженное поле, или «псевдополе»; соответственно, вместо быстро осциллирующей действительной волновой функции можно определить сглаженную волновую функцию, которая оказы­ вается близкой к волновой функции свободного электрона. Описанный так называемый метод псевдопотенциала позволяет применить теорию возмущений, т. к. псевдопотенциал оказывается уже малой величиной.

Детали метода псевдопотенциала подробно описаны в монографии У. Харрисона [3]. Нам здесь будет достаточно лишь того, что веро­ ятность рассеяния электрона на ионах металла можно рассчитать в первом приближении теории возмущений. Для этого выберем не­ возмущенные волновые функции в виде уравнения плоской волны

где V — объем металла;

k — волновой вектор электрона; г — радиус-вектор.

Квадратная скобка представляет собой, по сути дела, среднее зна­ чение | U-* \2а (К), причем усреднение проведено с весом К3. В теории

к

Займана и др. эту скобку обозначают символом | U J2 (а (К)), тогда

Вычислим теперь удельное электросопротивление жидкости р. Подставляя уравнение (V-36) в равенство (V-8), находим

<У-*>

Исключая концентрацию коллективизированных электронов я, определяем окончательно удельное электросопротивление [4]

Выражение (V-39) позволяет непосредственно вычислить электро­ сопротивление жидкого металла, если выполняется модель свобод­

вычислены недавно для целого ряда чистых металлов [5]. Некоторые из них показаны на рис. 51. С помощью этих функций и структурных факторов жидких металлов, полученных при изучении рассеяния рентгеновых лучей, можно рассчитать значения удельного электро­ сопротивления металлов по уравнению (V-39) и сравнить их с на-

блюдаемыми экспериментально. Соответствующие величины для

ивторой зон Бриллуэна в жидком

итвердом состояниях наблюдается

смешанная электроннодырочная проводимость. Число электронов и дырок возрастает с увеличением температуры, что и приводит к небольшому уменьшению электросопротивления при нагревании.