книги из ГПНТБ / Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие

Эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера с гамильто­

Величина Wnm выражается через коэффициенты an(t) волновой функции (1.38) возмущенного состояния. Вычислим эти коэффициенты. Для этого подставим функцию вида (1.38) в уравнение (1.39):

Последний член левой части и первый член правой части этого ра­ венства взаимно приводятся вследствие соотношения (1.36). В резуль­ тате получаем:

Умножая правую и левую части этого равенства на \j)|0 " инте­ грируя по объему V с учетом условия ортогональности волновых функ­ ций, имеем:

dt п V

В интеграл в правой части уравнения подставляем явный вид вол­ новых функций а|з|0 и г|5п 0 . Тогда

20

Найдем его решение, считая гамильтониан взаимодействия малым возмущением.

Предположим, что при отсутствии возмущения система находилась только в одном из стационарных состояний, например в состоянии т. Это значит, что в момент, когда было включено возмущение (t = 0), коэффициенты a{k0) были равны:

значает нулевое приближение. Для определения первого приближе­

вая часть уравнения (1.44) содержит малые члены Hin (малое возму­

равны нулю, поэтому ьместо суммы остается только один член. В пер­ вом приближении вместо уравнения (1.44) будем иметь

Рассмотрим наиболее простую модель частицы (атома). Пусть атом состоит из бесконечно тяжелого ядра с эффективным потенциалом Ѵа и электрона с массой m и зарядом е. Тогда для электрона, движущего­ ся в электромагнитном поле с векторным потенциалом Л, скалярным потенциалом <рц и в стационарном поле с потенциалом Ѵа, полный га­ мильтониан имеет вид

где р — оператор импульса

21

Подставляя матричные элементы (1.53) в уравнение (1.47) и инте­ грируя его, получаем:

Из этого выражения видно, что первый член в нем велик, если ча­ стота электромагнитной волны со близка к частоте перехода coA m , т. е.

оставим лишь первый член, описывающий процесс поглощения.

Здесь вместо скалярного произведения Аф введена проекция вектора р на направление вектора Ах, а именно рА. Тогда Агр = АгрА- Приведем формулу для квадрата модуля матричного элемента, входящего в вы­ ражение (1.55), в дипольном приближении без вычислений:

Нетрудно видеть, что квадрат модуля в выражении (1.55) можно

23

Подставляя выражения (1.56) и (1.57) в равенство (1.55), получаем, что вероятность нахождения системы в состоянии к в момент времени / равна:

чают, что множитель Q1 удовлетворяет всем требованиям, предъявля­ емым к ô-функции. Поэтому при больших значениях t его можно аппрок­

где мы воспользовались следующим свойством ô-функции: ô(ax) =

— Êi^L (х — аргумент, а — некоторый множитель).

24

Подставляя формулу (1.60) в выражение (1.58), получаем:

Разделив это выражение на t, получим вероятность перехода-в е д и ­ ницу времени*:

Наличие ô-функции в формулах (1.61) и (1.62) выражает закон со­ хранения энергии. Именно, вероятность процесса поглощения стано­ вится бесконечной при резонансе (со = cofem ) и обращается в нуль,

если со ф(дкт.

Спектральная линия перехода в рассмотренном приближении для системы с дискретными уровнями энергии бесконечно узка. Следует отметить, что при учете конечной ширины энергетических уровней, или учете ширины линии, связанной с индуцированным излучением, вероятность поглощения, хотя и максимальна при выполнении резо­ нансного условия (со = o)7 i m ), но конечна, а спектральная линия пе­ рехода имеет конечную ширину. В конце этой главы дается строгое решение задачи о двухуровневой системе в электромагнитном поле. Приведенное там решение может служить иллюстрацией этого поло­ жения.

Теперь определим входящую в формулы величину | ^ x | 2 через аб­ солютную величину вектора потока энергии S:

25

Подставляя выражение (1.64) в формулу (1.62), получаем:

При выводе этой формулы мы считали электромагнитное поле стро­ го монохроматическим. Между тем оно обычно обладает некоторой ко­ нечной шириной спектра. Поэтому в общем случае вместо средней по периоду колебаний величины потока энергии следует ввести спектраль­ ную плотность интенсивности излучения S (со) и для спектрального интервала ширины do> заменить | 5 | с р на произведение S((a)d(ù. Фор­ мула (1.65) в этом случае будет определять вероятность перехода в еди­ ницу времени под действием излучения в полосе частот doi и примет вид

Для получения коэффициента Эйнштейна Bhm в дипольном при­ ближении сравним формулу (1.68) с формулой (1.3а). Имеем

где были приведены два выражения для коэффициента Эйнштейна

26

за счет спонтанных переходов на уровень т. Проведенные оценки по­ казывают, что в радиодиапазоне это время очень велико: ж 105 сек (для электрических дипольных переходов) и » 10й сек (для магнитных дипольиых переходов), и, следовательно, спонтанное излучение в ра­ диодиапазоне не играет обычно большой роли. В оптическом диапазоне роль спонтанного излучения существенно возрастает. Действительно, если Xkm = 0,4 мкм = 4 - Ю - 5 см (фиолетовая граница видимой об­ ласти спектра), то, как следует из формулы (1.70), коэффициент Эйн­ штейна Akm возрастает примерно в 1015 раз (остальные величины в формуле берем такими же, как в проведенных выше оценках для радио­ диапазона).

§ 1.5. Форма и ширина спектральной линии

До сих пор мы говорили об энергетических уровнях, предполагая, что они бесконечно узки. Между тем энергетические уровни имеют некоторую ширину, т. е. энергия каждого атомного состояния не яв­ ляется строго фиксированной, а несколько размыта. Следовательно, существует некоторое распределение интенсивности поглощения (из­

ширины, а полуширины спектральной линии.

Некоторая размытость энергетических уровней и связанное с этим появление у спектральной линии конечной ширины может быть обус-

27

ловлено различными причинами. В следующей главе перечисляются причины уширения линий в газовой радиоспектроскопии. Сейчас же мы рассмотрим лишь одну из этих причин—конечную ширину энерге­ тических уровней, связанную с конечностью времени жизни частицы на энергетическом уровне (естественная ширина линии).

Дело в том, что если время жизни частицы на энергетическом уров­

Отметим, что естественная ширина линии определяет тот предел, ниже которого ширина спектральной линии быть не может.

Для вычисления формы спектральной линии, связанной с конеч­ ностью времени жизни частицы на энергетическом уровне, можно ис­ пользовать результаты, полученные в предыдущем параграфе. Конечность времени жизни частицы на уровне проще всего учесть,

времени жизни частицы на энергетическом уровне. Действительно, вероятность нахождения частицы в состоянии с энергией Wn пропор­ циональна величине 'фпо'Фпо. т - е - пропорциональна ехр (—ynf), дру­ гими словами, как функция времени затухает с константой затухания у п . Время жизни частицы At на уровне, таким образом, равно At =

~~Уп'

Повторим все выкладки предыдущего параграфа, используя в ка­ честве волновых функций невозмущенного состояния функции (1.72). Проще всего это сделать следующим образом. Подставим волновые функции (1.72) в уравнение (1.41). Тогда интеграл (1.42) примет вид

приходим сразу к уравнению (1.44), в котором вместо (ofe n стоит (ù'kn. Поэтому все последующие выкладки остаются теми же, но надо всюду поменять частоты (ùhn [см. формулу (1.43)] на комплексные частоты

28

(i>'kn [см. формулу (1.73)1. В результате вместо выражения (1.54) полу­ чаем

" Y f t,

ехр

Ay [pexp{ikr)]hn

Действительно, обратимся, например, к показателю экспоненты первого члена уравнения (1.54), т. е. к i(ahm — со)/. В соответствии с указанным выше его следует заменить на

І (©*„, — ©) t = i[ (йкт — Щ^ — <Й И = j K , „ -

Рассмотрим опять, как и в предыдущем параграфе, процесс погло­ щения, и поэтому оставим в решении только первый член. Кроме того,

пусть t ^> — \ — . Это условие означает, что нас интересует решение

Уh + Уm

в достаточно далекие моменты времени (установившийся процесс). Поскольку t > , т. е. ^ + ^"1 / ^> і( члены, определяю­

щие процесс установления, затухают по экспоненте и ими можно пре­ небречь. Тогда

тора р на направление вектора А1. Наконец, подставляя в (1.75) выра­ жение (1.56) для квадрата модуля матричного элемента | [exp(ikr)pA]hm |2

29