книги из ГПНТБ / Страховский Г.М. Основы квантовой электроники учеб. пособие

§ 1.2. Характеристики неравновесных состояний квантовых систем.

Отрицательная температура

В предыдущем параграфе при выводе соотношений между коэффи­ циентами Эйнштейна мы исходили из квантовой системы (частицы с двумя энергетическими уровнями), находящейся в состоянии теплового

для создания усилителей и генераторов. Для этого необходимо сущест­ венно нарушить равновесное состояние квантовой системы, т. е. при­

тальнейших понятий квантовой электроники, которое может быть вве­ дено в рамках системы двух энергетических уровней.

Пусть, как и раньше, уровни имеют номера m и п, а их энергии обо­ значаются Wm и Wn, причем для определенности уровень m лежит выше уровня n(Wm > Wn). Уже упоминалось, что в состоянии термо­ динамического равновесия число частиц на энергетическом уровне оп­ ределяется распределением Больцмана [см. формулу (1.8)], т. е. насе­ ленность уровня m (при отсутствии вырождения)

(1.16)

а населенность уровня п

(1.17)

Выразим величину из формулы (1.17) и подставим ее в формулу (1.16). Тогда

(1.18)

Формула (1.18) определяет отношение населенностей двух уров­ ней в тепловом равновесии при абсолютной положительной темпера­ туре Т, но формально ее можно использовать для определения самого понятия температуры. Действительно, формально из выражения (1.18) температура определится как

11

Изучим эту формулу более внимательно. Числитель здесь всегда положителен, так как уровень m лежит выше уровня п (Wm > Wn). Займемся теперь знаменателем. Если

то значение натурального логарифма положительно, а значит, и опре­

"m

населенность более высокого энергетического уровня всегда меньше, чем более низкого.

-X 1 X X I Х Х - і Х Х Х і Х Х Ю ^

Рис. 1.1. Схема заселения двух уровней m и п при различных температурах

Если ~ = 1, то знаменатель выражения (1.19) обращается в нуль

и получается бесконечная абсолютная положительная температура. Число частиц при Т -- + оо на обоих уровнях одинаково.

Наконец, если

становится отрицательным и определяемая по формуле (1.19) абсолютпая температура отрицательна.

На рис. 1.1 приведена схема заселения двух уровней m и //. на при­

положительна и конечна) часть частиц (на рисунке одна) переходит на верхний уровень, но все равно число частиц на нижнем уровне больше, чем на верхнем. Число частиц на уровнях сравнивается лишь при бе­ сконечной положительной температуре (Т = + оо). В правой части

12

рисунка указана область отрицательных температур. Из рисунка вид­ но, что при бесконечной абсолютной отрицательной температуре (Т — = — оо) уровни m и «заселены одинаково (по две частицы на каждом), как и при Г = + оо . Это означает, что как бесконечной положитель­ ной, так и бесконечной отрицательной температуре соответствует одно

ито же физическое состояние.

Вследующей за Т = — оо клетке расположена конечная отрица­ тельная температура Т --• — а. В этом случае верхний уровень заселен больше нижнего, и чем меньше по абсолютной величине температура, тем больше частиц на верхнем уровне по сравнению с нижним. Нако­ нец, при отрицательном нуле температуры все частицы расположены на верхнем уровне, а нижний уровень пустой. Таким образом, при из­

менении температуры от Т - -(-0 до Т = — 0 через Т = ± оо проис­ ходит переход частиц с нижнего уровня на верхний до полной инвер­ сии (от четырех частиц па нижнем уровне при пустом верхнем до четы­ рех частиц на верхнем уровне при пустом нижнем).

заселен меньше нижнего. При инверсии населенностей верхний уро­ вень становится более заселенным, чем нижний, и системе можно при­ писать отрицательную температуру ( Г < 0).

Термины «отрицательная температура» и «инверсная населенность» эквивалентны и выражают одно и то же содержание: населенность верх­ него из двух рассматриваемых уровней больше, чем нижнего. Можно также сказать, что для этой пары уровней создана инверсия населен­ ности или двухуровневая система находится при отрицательной тем­ пературе.

Подчеркнем некоторые особенности отрицательных .температур. Во-первых, состояния с отрицательной температурой имеют более вы­ сокую энергию или энтальпию, чем состояния с положительной тем­ пературой; в этом смысле отрицательные температуры более «горячи», чем положительные. Во-вторых, отрицательную температуру можно получить лишь для конечного числа энергетических уровней. Это свя­ зано с тем, что для создания отрицательной температуры между парой, уровней необходимо затратить конечную энергию. Если число уровней бесконечно, то необходима и бесконечная энергия для создания между ними отрицательной температуры.

Следует отметить, что понятия «температура среды (образца)» и «отрицательная температура» совершенно разные. В качестве примера приведем рубиновый стержень, широко используемый для квантовых усилителей и генераторов. Стандартный рубиновый стержень объемом несколько кубических сантиметров имеет температуру, колеблющуюся в зависимости от условий работы от температуры жидкого гелия до комнатных температур (примерно 300° выше абсолютного пуля). Од­ нако одновременно между уровнями рабочего перехода в результате сигнала вспомогательного излучения от лампы-вспышки образуется отрицательная температура.

13

с (1.10), изменятся. Соотношения между коэффициентами Эйнштейна приобретут вид

Наконец, для усиления в среде необходимо в общем случае, чтобы

Вывод всех этих формул проводится так же, как и вывод соответ­ ствующих формул для невырожденных уровней.

При наличии вырождения меняется и определение населенности энергетического уровня. Населенностью обычно называют число частиц на данном энергетическом уровне в 1 см3 вещества, деленное на стати­

(интегральную) интенсивность излучения. В дальнейшем обе величины І(ѵ) и / будем называть интенсивностью, различая их только наличием или отсутствием аргумента ѵ в скобках.

Пусть почти монохроматическая электромагнитная волна интен­ сивности / распространяется в активной среде вдоль некоторого на­ правления г. Изменение интенсивности волны в активной среде описы­

у с и л е н и я активной среды и является количественной характе­ ристикой свойств активной среды.

Выразим коэффициент квантового усиления через инверсную на­ селенность уровней среды и поперечное сечение индуцированного из­ лучения. Понятие «поперечное сечение» для процессов индуцирован­ ного излучения и поглощения часто используется в квантовой элект­ ронике. Оно обозначается а(ѵ) с соответствующими индексами, т. е. в принятой нами системе двух уровней m и n (m — верхний уровень)

15

— сечение индуцированного излучения, a crn m (v) — сечение индуцированного поглощения.

Введем а(ѵ) как величину, связывающую между собой вероятность индуцированного перехода dW фг и интенсивность излучения І(ѵ)- Связь между вероятностью и сечением индуцированного перехода имеет вид

После интегрирования по всем частотам равенства (1.27) получаем:

В частности, если излучение имеет очень узкий спектр в окрест­ ности частоты ѵ0 , то в пределах ширины этого спектра поперечное се­ чение о т п можно считать постоянным, т. е. cr„U!(v) = отп(ѵ0). Вынеся его из-под знака интеграла, получим:

Коэффициент квантового усиления выражается через сечение инду­ цированного излучения и населенности уровней среды следующим об­ разом:

стиц в единице объема активной среды на уровнях тип соответствен­ но, т. е. эти величины имеют размерность длины в степени минус три. Сечение имеет размерность площади, а следовательно, коэффициент квантового усиления имеет размерность обратной длины и обычно из­ меряется в обратных сантиметрах (слг1).

Из формул (1.28) и (1.28а) видно, что если Nт > Nn (отсутствие вы­

рождения) или Nm > NnMp (наличие вырождения), то G(v) > 0 и со-

gn

гласно формуле (1.26) среда усиливает проходящее через нее электро­ магнитное излучение [сравни с формулой (1.22)].

Подчеркнем, что при распространении волны в активной среде часть интенсивности волны может теряться за счет всякого рода потерь (на­ пример, рассеяние на неоднородностях среды и т. д.). При этом изме­ нении интенсивности волны при распространении ее в среде только за

теристикой потерь в активной среде.

16

Очевидно, если учесть как усилительные свойства активной среды, так и вносимые средой потери, то изменение интенсивности волны в активной среде будет описываться уравнением

Эта формула определяет изменение интенсивности электромагнит­ ной волны при распространении ее в активной среде. Интенсивность волны в среде нарастает, если коэффициент квантового усиления не только больше нуля, но больше коэффи­ циента потерь активной среды. Это есть условие, при котором активная среда яв­

генератор, т. е. сам будет генерировать электромагнитную волну, даже если в активную среду не поступает извне электромагнитная волна.

Для создания положительной обратной связи в квантовой электро­ нике используются резонаторы: в радиодиапазоне—объемные резона­ торы, а в оптическом диапазоне—система полупрозрачных зеркал — так называемые открытые резонаторы.

Выясним условие самовозбуждения квантового генератора на при­ мере схемы положительной обратной связи, используемой в оптических квантовых генераторах (лазерах).

Обратимся к рис. 1.2, на котором показана принципиальная схема оптического квантового генератора: два полупрозрачных плоских зер­ кала / и 2 и активная среда 3 между ними.

Пусть электромагнитная волна интенсивности / распространяется вдоль оси z, отражаясь попеременно от обоих зеркал. Достигнув одного из зеркал, волна частично отражается от него (эта часть зависит от ко­ эффициента отражения зеркала) и движется снова через активную сре­ ду в обратном направлении. Таким образом, электромагнитная волна

Гос. п у б л и ч н а я ц

! науччо-чгэхничіьс.чая Г Сиылио una С С С Р

I Э К З Е М П Л Я Р

{ Ч И Т А Л Ь Н О Г О З А Л А

при движении между зеркалами претерпевает двоякое изменение. С од­ ной стороны, если коэффициент квантового усиления активной среды G

тогда, когда волна становится самоподдерживающейся, т. е. потери на зеркалах компенсируются усилением в среде.

Выведем условие существования в генераторе самоподдерживаю­ щейся волны (условие самовозбуждения). Будем для определенности

отразится и снова пойдет через активную среду волна интенсивности

ho = h r ï r p — r 2 T p ho е х Р l(G — Gn )#]. Здесь использована формула (1.31). При движении волны через активную среду ее интенсивность снова начнет возрастать согласно формуле (1.30) и по достижении зер­

Уг о т р г о т р

(G—Gn )# = — I n

18

Это условие самовозбуждения квантового генератора. Генератор самовозбудится, если коэффициент квантового усиления его активной среды больше или равен пороговому коэффициенту усиления G n o p , определяемому равенством (1.34). Если формулировать словесно, то пороговый коэффициент усиления равен сумме коэффициента потерь собственно активной среды и коэффициента [второй член правой части выражения (1.34)], определяющего потери на зеркалах.

§ 1.4. Основы теории взаимодействия электромагнитного излучения

с квантовыми системами

Выведем выражения для коэффициентов Эйнштейна А т п и Для этого рассмотрим частицу, находящуюся под действием электро­

магнитного поля. Частицу будем описывать квантовомеханически, а поле — классически. Задачу будем решать в рамках теории возму­ щений.

где Н° — гамильтониан частицы без учета взаимодействия частицы с полем (невозмущенный гамильтониан), а Нв — гамильтониан взаимо­ действия.

Пусть известно решение уравнения Шредингера с невозмущенным гамильтонианом, причем Wn — собственное значение невозмущенного гамильтониана; соответствующую же волновую функцию г|)п 0 нетруд­ но найти. Действительно, волновая функция tyn0 должна удовлетво­ рять уравнению Шредингера:

at

Интегрируя это уравнение по времени, получаем волновую функ­ цию л-го невозмущенного состояния:

где ип — координатная часть волновой функции, не зависящая от времени.

Волновую функцию возмущенного состояния [с гамильтонианом (1.35)] будем искать в виде линейной комбинации волновых функций невозмущенного состояния:

19